干摩擦自激振動系統的滑模變結構控制

賈尚帥，李明高，李強，丁千

(1.中國北車集團 唐山軌道客車有限責任公司 產品技術研究中心，河北 唐山 063035;2.北京交通大學 機電學院，北京 100044;3.天津大學 機械工程學院，天津 300072)*

0 引言

干摩擦廣泛存在于各種機械和工程結構當中，在系統低速運行時表現出強烈的非線性特性，會引起部件的振動和失穩，從而降低系統的性能.干摩擦系統的摩擦顫振是由于Hopf分岔導致系統失穩而產生的一種非常有害的高頻振動［1-3］.合理的解決機械和工程中由于干摩擦引起的非線性振動極其穩定性問題，已成為當前該領域研究的重點問題.

分岔控制是抑制摩擦顫振的有效手段［4-5］.文獻［6］將基于微分幾何法和線性二次型最優控制方法結合在一起，針對剎車系統的分岔臨界速度進行控制器設計.Chatterjee［7］通過 Lyapunov第二方法得到控制摩擦自激振動的控制率.Lignon等［8］證明μ-synthesis控制方法能夠有效抑制剎車系統的自激振動.

本文考慮Stribeck摩擦力的兩自由度干摩擦系統的動力學模型，利用平均法分析系統純滑動自激振動的特性.設計滑模變結構控制器并推廣其在干摩擦系統中的應用，有效地抑制摩擦顫振現象.

1 干摩擦自激振動

1.1 系統模型分析

圖1為考慮Stribeck摩擦力的兩自由度干摩擦系統的動力學模型.

圖1 考慮Stribeck摩擦力的兩自由度干摩擦系統

當只考慮純滑動運動，干摩擦自激振動系統的無量綱運動微分方程［9］.

Stribeck摩擦力為

1.2 純滑動運動分析

當傳輸帶速度始終大于兩質體的速度時為純滑動運動，干摩擦力系數中的符號函數sgn(vri)=－1.

取系統參數為

系統的平衡點

令

在阻尼項和非線性項前加入小參數，得到

其中

派生方程組為

對式(5)采用變換

由派生方程組和共軛方程組基礎解系正交關系

對式(8)應用KB變換

新變量

式中，Yk和Zk不顯含時間t.Uk，Vk和為?的以2π為周期的周期函數和t的周期函數.綜合式(8)、(9)和式(10)得

確定函數Yk和Zk

由式(6)λ1=5.5，λ2=3.2，Δ1=2.05，Δ2=1.95

進而得到一次近似解的振幅

令式(13)左邊為零，得到定常解振幅

2 滑模變結構控制

針對干摩擦系統模型，將系統的數學模型寫成仿射非線性形式

式中，y為狀態變量同式(4);u為控制量;ξ為系統輸出，其他表達式

應用微分幾何法，通過非線性狀態反饋和坐標變換，將非線性系統精確線性化

精確線性化得到的獨立子系統式(16)為單輸入單輸出且狀態變量是相變量的線性系統，當子系統進入滑動模態，其運動狀態僅僅取決于相應的滑動面參數.

系統滑模變結構控制的原理圖如圖2，其中滑模控制器的設計包括切換面的設計和變結構控制律的設計.

圖2 控制原理圖

對于系統(16)，設計切換方程

切換面s(z)=0通過原點，廣義滑模存在條件為

式(18)為不等式條件，可以采用趨近律約束系統達到切換面

指數趨近律為

式(19)使得式(18)自然成立，并可得到等式

其中 c= ［ci1］，f(z， v， t)=Az+Bv.

變結構控制律

等效控制作用下的滑模運動方程為

若使滑模狀態反饋自治系統穩定，需要式(22)特征根無正實部，可以給定一組滑模面參數c，隨后驗證式(22)特征根條件是否成立，這樣即滿足滑模穩定性條件［10］.

3 仿真結果

系統參數同1.2中所示，采用四階精度龍格-庫塔法，考慮v=0.47的速度狀態，SMC參數c=［1，1］，ε =5，k=10.

圖3為兩質體振幅的分岔圖，由圖可見，當v＞0.482和0.496時，m1和m2的定常解振幅為零，當v小于以上速度邊界點時，產生自激振動且振幅隨著v減小而增大，為典型的超臨界Hopf分岔.

圖3 分岔圖

圖4為質量塊m1在控制函數作用下的狀態軌線，由圖可見，在顫振曲線上的初始點在趨近律的作用下迅速趨近到控制函數(s=0)，此時控制律在v+和v-間快速切換，系統狀態在滑模面兩側穿行，最終系統狀態沿設計的控制函數漸進穩定于平衡狀態.

圖4 SMC控制曲線圖

圖5為控制參數對抖振的影響，相應的控制參數ε=0.5，k=100時的抖振變小，即減小ε的同時增大k值有利于減弱SMC中的抖振現象.

圖5 控制抖振圖

圖6 漸進穩定曲線圖

圖7 切換函數

圖6、圖7分別為SMC漸進穩定曲線時間歷程和切換函數，其中控制時間響應在經歷3 s的振蕩后穩定.

4 結論

研究干摩擦自激振動系統的振動特性及控制，應用滑模變結構控制方法，設計了非線性控制器，主要結論:①兩自由度干摩擦系統純滑動運動為典型的超臨界Hopf分岔;②滑模變結構控制器能夠有效抑制干摩擦系統的摩擦顫振，并具有一定魯棒性;③通過調節ε、k可以有效地抑制控制器自身的抖振，提高控制系統的穩定性.

［1］丁千，陳艷，周翔.純滑動形式的干摩擦自激振動研究［C］.第十一屆全國非線性振動、第八屆全國非線性動力學和運動穩定性學術會議，2007.

［2］黃毅.摩擦自激振動系統的非線性動力學特征與分岔控制研究［D］.天津:天津大學，2008.

［3］李博，丁千，陳艷.剎車系統摩擦自激振動的數值研究［J］.科技導報，2007，25(23):28-32.

［4］郭桂梅.摩擦自激系統的分岔控制研究［J］.機械強度，2009，31(4):523-526.

［5］黃毅，王太勇，張瑩，等.機械系統中摩擦顫振機理的非線性分析［J］.中國機械工程，2008，19(14):1677-1680.

［6］賈尚帥，丁千.剎車系統的摩擦自激振動和控制［J］.工程力學，2012，29(3):252-256.

［7］CHATTERJEE S.Nonlinear control of friction-induced self-excited vibration［J］.International Journal of Nonlinear Mechanics，2007，42(3):459-469.

［8］LIGNON S，SINOU J J，JEZEQUEI L.Stability analysis and μ-synthesis control of brake systems［J］.Journal of sound and vibration，2006，298(4-5):1073-1087.

［9］黃毅，王太勇，李強，等.干摩擦系統的自激振動數值研究［J］.機械強度，2008，30(4):539-543.

［10］JEAN-JACQUES E.Slotine，Weiping Li，應用非線性控制［M］.北京:機械工業出版社，2006.