非線性邊界流下薄膜方程解的存在性

王美珊，梁波，沈慧穎

(大連交通大學 理學院，遼寧 大連 116028)*

0 引言

薄膜類型的方程可用來描述很多實際的自然現象或物理過程，如熱力學中的擴散現象、生物種群的競爭與排斥、流體流過物體表面的擴散過程等.薄膜方程的研究開始于F.Bernis，A.Friedman(JDE，1990)［1］，他們給出了問題

一類H?lder連續弱解的存在性，并討論了初值及參數在一定范圍內解的非負性，主要采用正則化辦法及H?llder模的估計.其中函數u表示薄膜的高度或厚度，常數n＞0.由于最大值原理及比較原理不成立，所以四階偏微分方程的研究主要是利用能量估計的方法，有關文獻還可參考［2－5］.

本文主要考慮下面的初邊值問題:

其中，u0∈H1(Ω)，u0≥0，Ω =(－ 1，1)，QT= Ω ×(0，T)時解的存在性和正性.

主要結論為下述定理:

定理1 稱問題(1)～(4)存在弱解，滿足:

1 逼近問題

首先考慮問題(1)～(4)的正則化逼近方程:

其中，δ＞ 0，u+=max{0，u}.

引理1 稱問題(5)～(8)存在弱解，若其滿足

證明 在方程(5)兩端同時乘以函數uxx，然后在QT上做積分，可得:

利用H?lder不等式，可得到:

2 存在性

接下來主要是證明逼近解uδ所滿足的一些估計，而且uδ不依賴于δ.首先建立如下函數［3］:

其中，φδ≥0，φδ∈(R)，則有 φ″δ(σ)=

引理 2 (Gagliardo － Nirerberg 不等式)［4］令u∈H1(Ω)，則滿足下面的不等式:

引理3 稱問題(5)～(8)存在弱解uδ，則下式成立:

其中，C是不依賴于δ的常數.

證明 在方程(5)兩端同時乘以函數φ″δ(uδ)，然后在 QT上做積分，可得:

由于ux(－1，t)=u+(－1，t)，ux(1，t)= －u+(1，t)，因此對于上式不可直接利用分部積分來計算，我們需要構造新的輔助函數(－x)uδ+，則有

此時，uδx－(－x)uδ+滿足零邊界，通過分部積分得到:

通過利用Gagliardo－Nirerberg不等式并結合等式(9)，此引理得證.

引理4 假設問題(5)～(8)存在弱解u，當δ→0時，滿足:

則有u≥0.在這里“?”表示弱收斂.

證明 由引理2和引理3，可得到如下估計:

通過利用弱列緊性和緊嵌入定理［4］，當δ→0時，得到:

uδ?u，在 L2(0，T;H2(Ω))中，

uδt?ut，在 L2(0，T;H－1(Ω))中，

uδ→ u，在 C(［0，T］;Hs(Ω))中，(0≤ s ＜ 2)

和 u∈ L2(0，T;H2(Ω))∩ C(［0，T］;Hs(Ω))，

從而有

由φδ的定義，可得出:

此外，當0 ＜ δ＜ 1時，δ(Lnδ)－ δ+1≥0，有

最后，來完成對定理1的證明.

證明 由引理2，對于檢驗函數φ∈L2(0，T;H*(Ω))，可得到:

對上式進行分部積分，有

當δ→0時，可得到:

從而定理1成立.

3 結論

本文僅考慮了在非線性函數邊界條件下，問題(1)～(4)解的存在性和正性.采用了熵泛函方法獲得所需能量估計，進而引入新的熵泛函及檢驗函數來得到解的存在性和正性.然而對于薄膜方程還有很多值得研究的問題，希望感興趣的讀者加入到薄膜方程的研究工作中.

［1］BERNIS F，FRIEDAM A.Higher order nonlinear degenerate parabolic equations［J］.J.Differential Equations，1990，83:179－206.

［2］伍卓群，尹景學，王春鵬.橢圓與拋物型方程引論［M］.北京:科學出版社，2006.

［3］BOUTAT M，HILOUT S，RAKOTOSON J E，et al.A generalized thin － film equation in multidimensional space［J］.Nonlinear Analysis，2008，69:1268－1286.

［4］梁波，皇甫明，戴曉鳴.定態多維量子流體動力學模型解的存在性［J］.大連交通大學學報，2008，29(1):6－8.