旋轉超聲換能器的建模與仿真

徐曉明， 張向慧

（北方工業大學機電工程學院，北京100144）

旋轉超聲換能器的建模與仿真

徐曉明， 張向慧

（北方工業大學機電工程學院，北京100144）

在輸入功率一定的一維縱振旋轉超聲加工系統中，為高效、精確地獲取加工刀具末端的輸出振幅，文中根據牛頓定律將換能器抽象為一個由質量、剛度和阻尼3個參數來描述的動力學模型。然后利用MATLAB/Simulink軟件對換能器系統進行動力學仿真，分析超聲換能器的數學模型及狀態空間仿真模型，并利用有限元分析軟件ANSYS驗證MATLAB/Simulink仿真的準確性。換能器末端輸出振幅的大小直接影響超聲振動系統的加工性能，得到的仿真結果為超聲振動系統的設計和改進提供了理論依據。

超聲換能器；MATLAB/Simulink；數學模型；仿真建模

0 引言

旋轉超聲加工是集傳統超聲加工與磨粒磨削加工為一體的復合加工，是加工硬脆性材料的一種有效方法。換能器是超聲加工機床的重要組件之一，用以將超聲頻電振蕩信號轉化為機械振動輸出。常用的換能器主要有磁致伸縮式和壓電式兩種類型，其中夾心式壓電換能器結構簡單、電聲轉化效率高，是普遍使用的一種結構類型［1］。一維縱振超聲振動系統的振動規律比較復雜，目前其設計依據主要以理論分析與實驗為核心，而借助于計算機軟件MATLAB進行仿真分析的研究還較少。本文在滿足工程要求的條件下，利用牛頓定律將換能器抽象為動力學模型，并采用MATLAB軟件對系統模型進行仿真處理。應用計算機仿真技術對換能器的動態工作特性進行分析，可在設計階段預測其運行結果，并能實現換能器的結構優化。MATLAB/Simulink仿真模塊能方便地定義和修改輸入參數，通過模型化圖形輸入/輸出系統模型，可高效地實現動態建模、仿真與分析。為了驗證MATLAB仿真研究的合理性，利用軟件ANSYS對換能器系統進行有限元分析，觀察所得結果與MATLAB仿真是否一致。

1 換能器空載受力分析

設換能器末端的機械負載阻抗為ZL，它與F3、u˙3滿足如下關系式：

圖1 超聲換能器的結構組成

F1、F2、F3分別代表換能器后蓋板、壓電陶瓷片、前蓋板所受的作用力。空載時，ZL=0，綜合式（1）～（3）可得：

換能器各組件的尺寸值及其材料屬性如表1所示。

表1 換能器的結構參數

2 換能器各組件的等效物理參數［4 ］

2.1 等效質量

質量是衡量物質慣性力大小的量，在求解等效質量時需遵循能量守恒原則，保證系統轉換前后的振動動能不變。旋轉超聲加工為一維縱振，則換能器的等效質量可近似等效為各組件的質心質量。

2.2 等效剛度

2.3 等效阻尼

由于材料的黏彈性而產生的內部阻力F=-cv，在振動中這些阻力稱為阻尼，阻尼力在一個周期內所做的功為：

多數金屬（如鋼、鋁）的阻尼在一個很大頻率范圍內與頻率ω無關，而在一個周期內所消耗的能量與振幅的平方成正比，即W=αX2，α為常數，是黏性阻尼比。

即等效阻尼與系統頻率ω（超聲振動系統的頻率為20 kHz）成反比。后蓋板、壓電陶瓷和前蓋板的黏性阻尼比α分別取α1=0.005，α2=0.01，α3=0.03。

3 建立換能器的動力學模型與數值仿真

3.1 建立超聲換能器的動力學模型

系統的數學模型是描述輸入、輸出變量及內部各變量之間關系的數學表達式，最常用的數學模型有微分方程與差分方程。正確的數學模型是原型系統的一次近似，是建立仿真模型的依據。當換能器的徑向尺寸小于介質中傳播的波的四分之一波長時，根據一維縱振理論，忽略泊松效應和徑向振動效應，有利于分析、建立換能器的數學模型［5］。

將換能器抽象為集中質量的質量—剛度—阻尼系統，忽略電極建立的三自由度模型如圖2所示。

超聲換能器矩陣形式的運動微分方程為［6］：

圖2 換能器的三自由度模型

M、C、K分別是3×3階的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，F為激勵力矩陣。利用影響系數法［7］建立系統矩陣如下：

3.2 建立換能器的仿真模型

正確的仿真模型是數學模型的近似，即原型系統的二次近似。在MATLAB/Simulink模塊中，換能器系統可以采用以下方法建立仿真模型［8］：1）Integrator模塊建模。換能器系統的數學模型為一個線性微分方程組，采用Integrator建模速度較快，但可讀性較差；2）S-function模塊建模。用MATLAB語言、C語言或C++等語言構成S函數模塊，以在Simulink模型中通過S函數直接調用，具有編程靈活的特點；3）State-space模塊建模。根據MATLAB語言編寫一個計算參數值的M文件，再進入Simulink環境設置相關仿真參數，應用簡單靈活。

3.2.1 將微分方程化成狀態方程

3.2.2 利用State-space模塊建立仿真模型

啟動MATLAB/Simulink之后，采用Continuous模塊庫中的State-space模塊建立模型，選擇Sources模塊組中的Sine Wave模塊為輸入信號，輸出子模塊庫中的Scope模塊來顯示仿真結果［9］。

采用State-space模塊庫建立的仿真模型如圖3所示。

圖3 采用狀態空間模塊建模

1）模塊參數設置。

采用State-space模塊建立的模型需要設置各模塊參數，在運行仿真前新建一個M文件，輸入計算A、B、C、D的程序代碼，仿真時在MATLAB命令窗口中調用此M文件。換能器系統進行仿真分析的程序代碼如下：

雙擊Sine Wave Function模塊，在彈出的對話框中，Amplitude設置為向量［0.171 54.2 477］，Frequency為2*pi*20000，其余為默認值。雙擊State-space模塊，設置參數A為A，B為B，C為C0，D為D，初始條件設為0。

2）仿真參數配置。

在對模型進行仿真之前需要配置仿真參數，在模型窗口中，選擇 Simulation主菜單下的 Configuration Parameters命令，在Solve參數配置界面中設置仿真start time為0，stop time設為0.25。解算器選項配置Solver options中，Type設為Variable-step，解算方法Solve采用ode45類型，其余采用默認設置。

3）運行仿真模型及分析仿真結果［10］。

執行窗口菜單Simulink→Start，再點擊各個示波器Scope，對應傳遞函數的圖形結果將顯示出來。其中，換能器系統仿真位移幅值—時間曲線如圖4所示。

由圖可知，換能器末端輸出位移振幅可達0.001mm，滿足超聲振動加工要求。利用Simulink仿真，可以方便地在模型窗口上畫出各個環節傳遞函數模型圖，以對系統進行仿真與分析。

圖4 位移-時間曲線

4 ANSYS軟件仿真驗證與結論

通過有限元仿真軟件ANSYS Workbench中的模態分析模塊，可以方便地得到換能器的固有振動特性。設定換能器的工作頻率為f=20 kHz，因超聲換能器暴露在空氣中，所以進行模態分析時，只需要在壓電陶瓷片上施加零電壓載荷便可得到超聲換能器的固有頻率和振型。仿真得到換能器的三階縱振頻率f=20.10 kHz，模態振型如圖5所示。

圖5 三階模態振型

由振動模型圖分析知，換能器在頻率為20 101 Hz時沿軸向作一維縱向振動，此頻率和激勵頻率的誤差為0.505%，誤差在允許的范圍之內，滿足工程設計的要求。

5 結語

本文根據換能器的結構特征，求得各組件的等效物理參數，并利用牛頓運動定律建立超聲換能器振動系統的動力學方程，采用影響系數法求出系統的質量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣，建立了一維縱振超聲波換能器加工系統的數學模型。基于MATLAB/Simulink軟件進行了數值仿真，并通過ANSYS Workbench軟件進行了有限元分析，驗證了建模和數值仿真方法的可行性。通過對三自由度換能器振動系統的仿真研究，為處理整個超聲振動系統的仿真提供了理論依據，可應用于超聲振動系統的結構優化設計。

［1］ 張向慧．旋轉超聲加工振動系統設計及關鍵技術的研究［D］．北京：北京林業大學，2011．

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［3］ 顧煜炯，周兆英，姚健．超聲振動系統的四端網絡設計方法及其應用［J］．機械工程學報，1997，33（3）：95-100．

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［5］ Potthast C，Twiefel J，Wallaschek J．Modelling Approaches for an Ultrasonic Percussion Drill［J］．Journal ofSound andVibration，2007（308）：405-417．

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［8］ 王文娟．機械振動分析的MATLAB/Simulink仿真研究［J］．現代電子技術，2006，29（24）：6-48．

［9］ 王中鮮．MATLAB建模與仿真應用［M］．北京：機械工業出版社，2012．

［10］ Voronina S，Babitsky V．Autoresonant Control Strategies of Loaded Ultrasonic Transducer for Machining Applications［J］．Journal of Sound and Vibration，2008（313）：395-417．

（編輯：立 明）

Modeling and Simulation of the Rotary Ultrasonic Transducer

XU Xiaoming,ZHANG Xianghui
（North China University of Technology,College of Mechanical and Electrical Engineering,Beijing 100144,China）

In the one-dimensional longitudinal vibration rotary ultrasonic machining system while the input power is set,in order to obtain the tip of the tool’s amplitude efficiently and accurately,the transducer system can be abstracted as a dynamic model described with mass,stiffness and damping according to Newton’s law.Then the MATLAB/ Simulink software is used to carry out dynamics simulations of the transducer system,the mathematical model and the state space simulation model of the ultrasonic transducer are studied,the ANSYS software is used to verify the exactness of the MATLAB/Simulink.The amplitude of transducer tip will influence the processability of the ultrasonic vibration system directly,the simulation results provides a new method for the design of the ultrasonic vibration system.

ultrasonic transducer;MATLAB/Simulink;mathematical model;simulation modeling

TH 16;TH 128

A

1002－2333（2014）04－0121－04

徐曉明（1986—），女，碩士研究生，主要研究方向為超聲振動系統的仿真與研究，振動與噪聲的防止和治理；張向慧（1966—），女，博士，碩士生導師，主要研究方向為旋轉超聲加工、機械振動與沖擊、機器人技術等。

2014-01-09