螺旋錐齒輪齒面離散點空間坐標及法矢的計算

王志永， 翟華明

（中南林業科技大學機電工程學院，長沙410004）

螺旋錐齒輪齒面離散點空間坐標及法矢的計算

王志永， 翟華明

（中南林業科技大學機電工程學院，長沙410004）

根據螺旋錐齒輪的切齒加工方法和齒輪嚙合原理，運用矢量運算的方法建立了大輪成形法加工和小輪刀傾法加工的理論齒面方程并規劃了齒面計算網格點區域。運用Visual Studio 2008編程環境，編寫了理論齒面各離散點空間坐標及法矢的計算軟件，通過該軟件可計算得到螺旋錐齒輪理論齒面各離散點在齒輪坐標系中的坐標值和單位法矢。將得到的理論齒面坐標點及法矢導入到三坐標測量機中進行測量獲得各離散點的齒形誤差，然后將獲得該理論齒面坐標點及法矢的參數輸入到CNC3906齒輪測量中心進行齒形誤差測量，獲得齒面上各離散點的齒形誤差。將兩組齒形誤差測量數據進行對比分析，論證了所開發的計算軟件的正確性，為螺旋錐齒輪齒面偏差的測量以及螺旋錐齒輪數字化閉環制造提供了正確的理論齒面數據。

螺旋錐齒輪；空間坐標；齒面偏差；數字化閉環制造

0 引言

螺旋錐齒輪主要用于兩相交軸或交錯軸之間的傳動，是飛機、汽車和各種精密機床等設備中的重要傳動部件。隨著現代工業制造技術的發展，對齒輪傳動效率、傳動精度、噪聲等要求越來越高。因此，提高其制造精度和嚙合質量就顯得越來越重要。數字化閉環制造技術是提高其制造精度的重要途徑之一，而利用三坐標測量機或齒輪測量中心獲得齒面偏差信息，是實現螺旋錐齒輪數字化閉環制造最關鍵的環節之一［1］。根據齒輪測量中心的測量原理，要想獲得齒面偏差信息，首先必須獲得理論齒面各離散點的坐標值和單位法矢，然后通過各離散點的理論坐標值和法向矢量控制測頭與實際齒面接觸，獲得與理論齒面坐標點對應的實際齒面坐標點，通過誤差分析軟件獲得齒形誤差。獲得螺旋錐齒輪理論齒面各離散點的坐標值及其法向矢量是實現螺旋錐齒輪齒形偏差測量的前提。因此必須建立螺旋錐齒輪理論齒面方程，螺旋錐齒輪齒面是復雜的空間曲面，需要按其切齒加工過程以及齒輪嚙合理論來建立齒面方程。

1 齒面方程的建立

螺旋錐齒輪的加工方法有很多種，如成形法、展成法、刀傾法、全工序法、UMC等加工方法。在汽車驅動橋的螺旋錐齒輪傳動中，大輪主要用成形法加工，小輪主要用刀傾法加工。本文運用矢量運算法建立了大輪成形法加工和小輪刀傾法加工的理論齒面方程。

1.1 成形法大輪齒面方程

圖1是大輪的切齒加工示意圖。圖中的i-j平面為機床平面，機床平面過刀盤中心且垂直于產形輪軸線，機床平面與刀尖平面重合；k軸為搖臺的軸線；G2為齒輪的軸線；O為機床中心，是產形輪軸線與刀尖平面的交點；Oc2為刀盤中心，是刀尖平面與刀盤軸線的交點；Sg為徑向刀位；qg為角向刀位；M是刀盤切削面上的任意一點；θs為M點相位角；O2是軸錯交點即設計交叉點，Eg為垂直輪位；Xbg為床位；Xg為水平輪位修正量；βg為輪坯安裝角；刀尖頂點M0點的方程R02為：

R02=［Sgcosqg+R02sin（qg-θg）］i-［Sgsinqg-R02cos（qg-θg）］j。（1）

圖1 大輪加工圖

M點的單位法矢為Ng，沿母線方向的單位矢量為Tg。由圖1可以確定Ng和Tg的方程為：

其中，α02為刀齒壓力角。

設MM0＝s2，M點的坐標，即切削面的方程為：

大輪齒面與刀盤切削面是共軛曲面，可通過共軛曲面的方法求得。由圖1可知大輪軸線方向的單位矢量：

大輪設計交叉點與機床中心之間的矢量：

成形法加工大輪時，搖臺與被加工的齒輪都是不旋轉的，因此兩者的角速度、相對角速度、相對速度都等于零。垂直輪位Eg與床位Xbg等于零，qg為一常數。大輪齒面的形狀與切削面的形狀是相同的，大輪的齒面方程為：

1.2 刀傾法小輪齒面方程

圖2是小輪的切齒加工圖。圖中的i-j平面為機床平面，機床平面與刀盤平面之間有一個刀傾角；k軸為搖臺的軸線；P1為齒輪的軸線；O為機床中心；Ocl為刀盤中心；Sp為徑向刀位；qp為角向刀位；M為刀盤切削面上的任意一點；ip、jp為刀傾角和刀轉角；c為刀盤軸線；O1為軸錯交點；Ep為垂直輪位；Xbp為床位；Xp水平輪位修正量；βp為坯安裝角。

刀尖頂點M0的方程為：

沿母線方向的單位矢量Tp，M點的單位法矢Np和刀盤軸線c的方程分別為：

圖2 小輪加工圖

其中，α01是小輪刀齒壓力角。

刀盤切削面是母線MM0繞刀盤軸線旋轉一周而得到的，將刀尖頂點、法矢、母線、繞刀盤軸線c旋轉一個θ角度得到刀盤任意軸截面的刀尖頂點R01′、法向量Np′和母線Tp′。

因為刀傾法加工小輪的過程中，小輪齒面各離散點都繞其軸線旋轉了一個角度φi（i代表齒面上的任意一點），因此，在齒輪坐標中，需要將齒面各離散點都繞其軸線旋轉相應的角度-φi。設Rp′＝Rc1+mp，則小輪的齒面方程可表示為：

2 齒面離散化處理及網格劃分

螺旋錐齒輪的齒面是復雜的空間曲面，沒有像漸開線圓柱齒輪那樣的標準齒形與齒線，因此，其齒形誤差的測量要比圓柱齒輪復雜。一般采用“點陣式”測量［4］，因此需要對螺旋錐齒輪的齒面進行離散化處理，即在齒輪的旋轉投影面上對齒面進行網格劃分，所有網格點都與實際齒面上的點一一對應，一般采取齒高方向取5行，在齒長方向取9列的原則［5－6］。為了避開齒根圓角和齒頂倒角，網格劃分的區域要沿整個齒面邊界往里適當收縮。根據AGMA標準，在齒寬方向，兩端各收縮齒寬的10%，齒高方向，兩端各收縮齒高的5%且不能少于0.6 mm。收縮后的齒面各邊界與收縮前的齒面各邊界平行，再根據齒高和齒長方向的網格點數將齒面各邊界等距平分，齒面網格劃分情況如圖3所示，圖中O為齒輪的交叉點，P為齒輪的軸線，XO為冠頂距，D為外徑，δ、δa、δf、θa、θf分別為節錐角、面錐角、根錐角、齒頂角、齒根角，Δ1、Δ2、Δ3、Δ4分別為齒頂、齒根、小端、大端的收縮量。

圖3 齒面網格劃分示意圖

由圖3可知，收縮前的大端頂點A′的橫坐標Ax′為齒輪的冠頂距，縱坐標Ay′為齒輪的外端半徑。收縮后的大端頂點A的坐標：

求出收縮后的頂點A的坐標值后，根據圖3中的幾何關系可求出其它各網格點的坐標值。大輪的方程是s2和θg的函數；小輪的齒面方程是θp和Δq1的函數。由圖3可知任意點M的R和L值：

式中：P是齒輪軸線的單位方向矢量；r為齒面上任意點的矢量。

以小輪為例，其齒面上任意點M的R、L值可由式（23）、式（24）求得，且都是θp和Δq1的函數，要求得滿足R、L值的θp和Δq1兩個參數，不能用解析法直接求得，只能通過二元迭代法來計算，求出以上2個參數θp和Δq1，就可求出小輪齒面上對應點的坐標值、法向矢量、齒高方向的矢量。同理也可求出大輪齒面上各離散點的坐標值、法向矢量、齒高方向的矢量。

3 計算軟件開發及計算結果驗證

3.1 計算軟件開發

根據以上分析，運用Visual Studio 2008編程環境，開發了螺旋錐齒理論齒面離散點空間坐標及法矢的計算軟件，軟件采用模塊化設計思想，包括三個部分的內容：1）成形法理論齒面坐標點計算模塊；2）刀傾法理論齒面坐標點計算模塊；3）理論齒面坐標點數據輸出模塊。

為了使生成的齒面坐標點數據能夠被三坐標測量機讀取并進行齒形偏差測量，齒面坐標點文件的輸出格式以三坐標測量機定義的格式輸出。

3.2 計算結果實驗驗證

將本文開發的計算軟件生成的成形法大輪理論齒面坐標點及法矢文件導入到三坐標測量機中進行測量，得到齒面上各離散點的齒形誤差。圖4為大輪在三坐標測量機上進行測量時的情況，圖5為三坐標測量機輸出的齒形誤差，圖5中的（1，1）點為齒輪的大端齒根。

圖4 三坐標測量機測量實例

圖5 三坐標測量機齒形誤差測量報告

將生成理論齒面坐標點及法矢的機床調整參數和刀具參數輸入到CNC3906齒輪測量中心，然后進行測量獲得齒面上各離散點的齒形誤差值。圖6為CNC3906齒輪測量中心輸出的齒形誤差報告。圖6中的（1，1）點為齒輪的小端齒根。將兩種齒形誤差測量結果進行對比分析，兩者在對應點的齒形誤差的差值的最大值為3.4 μm，最小值為-2.4 μm。產生這一差值的主要原因是：1）三坐標測量機和齒輪測量中心本身的測量誤差；2）本文開發的計算軟件生成理論齒面坐標點及法矢時的網格劃分方法與齒輪測量中心齒面網格劃分方法的差異。因此，通過以上的對比分析，驗證了本文開發的計算軟件的正確性。

圖6 CNC3096齒輪測量中心測量報告

4 結論

1）運用矢量運算的方法建立了大輪成形法加工和小輪刀傾法加工的理論齒面方程。

2）將理論齒面離散化處理，通過齒輪的基本幾何參數計算得到了各離散點的R、L值。

3）根據齒輪嚙合原理，運用牛頓二元迭代法計算了螺旋錐齒輪齒面離散點的空間坐標及法矢。

4）運用Visual Studio 2008編寫了齒面離散點空間坐標及法矢的計算軟件，將生成的理論齒面坐標點及法矢導入到三坐標測量中進行了測量，并將測量結果與CNC3906齒輪測量中心的測量結果進行了對比分析，驗證了本文開發的計算軟件的正確性。

［1］ 黃新冠，鄧效忠，李天興.弧錐齒輪齒面偏差測量［J］.機械傳動，2007，31（6）：67-69.

［2］ 曾韜.螺旋錐齒輪設計與加工［M］.哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，1989.

［3］ 吳序堂.齒輪嚙合原理［M］.北京：機械工業出版社，1982.

［4］ 方宗德，楊宏斌，鄧效忠.弧齒錐齒輪齒面優化修正及計算機仿真［J］.航空動力學報，2002（1）：140-143.

［5］ 徐娟.基于CNC齒輪測量中心的錐齒輪測量分析方法研究及軟件開發［D］.重慶：重慶大學，2006.

［6］ 梁艷，張琳，等.弧齒錐齒輪齒面坐標法測量的研究［J］.工具技術，2006，40（2）：120-123.

（編輯昊 天）

Calculation of Spatial Coordinates and Normal Vector for Spiral Bevel Gear Tooth Surface

WANG Zhiyong，ZHAI Huaming
（College of Mechanical and Electrical Engineering,Central South University of Forestry and Technology,Changsha 410004,China）

According to the processing methods and gear meshing theory of spiral bevel gear,vector operations method is used to establish theoretical tooth equations of formate gear and tilt cutter pinion,and the tooth surface area of grid point is planed.Using visual studio 2008 programming environment,a calculation software is written for getting the theoretical tooth surface spatial coordinates and normals of discrete point in the gear coordinates system.The resulting theoretical tooth surface coordinates and normals are imported into the coordinate measuring machine to measure and get profile errors of the discrete points.Then,the corresponding parameters are imported into CNC3906 gear measuring center to calculate and measure,and get profile errors of the discrete points.The two kinds of profile error are compared to demonstrate the correctness of calculation software.The method provides a correct theoretical tooth surface data for the three-coordinates measurement of tooth surface deviation and digital closed-loop manufacturing of spiral bevel gear.

spiral bevel gear;spatial coordinates;tooth surface deviation;digital closed-loop manufacturing

TH 132.421

A

1002－2333（2014）05－0012－04

王志永（1973—），男，副教授，主要從事螺旋錐齒輪數控加工裝備以及螺旋錐齒輪數字化閉環制造技術的研究。翟華明（1987—），男，在讀研究生，從事螺旋錐齒輪測量及齒形誤差分析軟件開發等方面的工作。

2014-03-04

湖南省教育廳科研資助項目（12B133）