準雙曲面齒輪運動參數和曲率特性的研究

趙志忠， 閔曉勇， 楊榮松

（1.四川大學制造科學與工程學院，成都610065；2.四川科技職工大學，成都610101）

準雙曲面齒輪運動參數和曲率特性的研究

趙志忠1， 閔曉勇2， 楊榮松1

（1.四川大學制造科學與工程學院，成都610065；2.四川科技職工大學，成都610101）

文中根據機床加工調整參數，推導了準雙曲面齒輪的齒面數學表達式，建立了準雙曲面齒輪的三維模型，并通過數值迭代方法求解了準雙曲面齒輪點接觸彈流潤滑分析所需的相對運動速度、卷吸速度以及瞬時接觸橢圓長短軸方向的曲率等參數，為準雙曲面齒輪彈流潤滑分析奠定了基礎。

準雙曲面齒輪；三維模型；相對運動速度；卷吸速度;曲率

0 引言

準雙曲面齒輪的齒面是復雜的空間曲面，其齒面形狀決定于機床的加工調整參數。我們把能夠得到希望的傳動誤差、接觸區形狀及V/H調整值的機床加工調整參數作為“標準加工參數”，把由“標準加工參數”決定的齒面作為弧齒錐齒輪和準雙曲面齒輪的“基準齒面”［1－2］。為了得到準雙曲面齒輪的“基準齒面”形狀，需要根據機床的加工調整參數建立齒面數學模型求解齒面形狀［3］。此外，對于高質量的準雙曲面齒輪在設計過程中還必須考慮潤滑特性。本研究根據機床加工調整參數，建立準雙曲面齒輪的齒面數學模型，并通過數值迭代方法求解準雙曲面齒輪點接觸彈流潤滑分析所需的相對運動速度、卷吸速度以及瞬時接觸橢圓長短軸的方向的曲率等參數，為準雙曲面齒輪彈流潤滑分析奠定基礎。

1 齒面的數學表達式

準雙曲面齒輪的機床加工調整參數決定之后，其齒面形狀也就隨之確定了。齒面接觸分析求解過程中［1］使用齒面在固定空間坐標系的數學表達式進行求解。為了得到齒面的形狀，需要求得齒面和工件固定的坐標系中的數學表達式。

1．1 齒面加工嚙合點

首先以左旋齒輪作為研究對象，加工左旋齒輪的機床加工調整參數和坐標系如圖1所示。取加工左旋齒輪固定空間坐標系∑l＝（Ol，il，jl，kl），原點Ol在搖臺中心軸線上，坐標平面ilOljl和搖臺軸線垂直，并通過切刃頂面。il在搖臺的水平軸截面內，Obl是左旋齒輪軸線上的傳動交錯點。固定空間坐標系中，傳動交錯點到加工嚙合點的矢量可由式（1）求得（1）：

式中：Drl為傳動交錯點到∑l的距離；Acl為切刃刀尖點在∑l中的位置矢量；btl為從切刃刀尖點到加工嚙合點的距離。

2.2 固定空間坐標系到工件坐標系的變換

圖1 加工左旋齒輪的機床加工調整參數

在切齒過程中搖臺從初始位置q0轉動，工件也相應回轉θw角。這樣由式（1）得到的齒面矢量是搖臺在ql瞬時，工件回轉θw角后在固定空間坐標系的表達式。為了求得左旋齒輪的齒面形狀，需要求得矢量Rbl在固定于工件上的坐標系中的表達式。如圖1所示，取固定于工件上的坐標系∑lp＝（Obl，ilp，jlp，klp），最初的坐標平面ilpObljlp在水平面上，坐標原點Obl是左旋齒輪軸線上的傳動交錯點，ilp在工件軸線上。將在固定空間坐標系∑l中的矢量Rbl變換到工件上的坐標系∑lp中，就可以得到齒面矢量Rbl。

式中：M（－γm）j為坐標系∑l繞j1軸旋轉－γm角后的坐標系變換矩陣；M（θw）i為坐標系∑lp繞ilp軸旋轉θw角后的坐標系變換矩陣。

這樣根據機床的加工調整參數，可以求得左旋齒輪的齒面矢量方程。同樣右旋齒輪的齒面矢量Rbr也可以求得。據此可以建立準雙曲面齒輪的三維模型。

2 準雙曲面齒輪運動參數和曲率

圖2 準雙曲面齒輪安裝位置關系

圖3 瞬時接觸橢圓長短軸的方向

準雙曲面齒輪安裝位置關系如圖2所示，pr是從大輪大端到小端軸線方向的單位矢量，pl從小輪大端到小端軸線方向的單位矢量。

根據圖2和圖3，考慮到大小輪回轉方向相反，嚙合點處齒面的相對運動速度矢量US及其和橢圓短軸的夾角θs，卷吸速度矢量Ue及其和橢圓短軸的夾角θ按式（3）計算：

式中：ω1為小輪轉速；n為小輪齒數；N為大輪齒數。

如圖3所示，根據文獻［1］準雙曲面齒輪齒面接觸分析，可以求出小輪齒面和大輪齒面在相互垂直方向X1和Y1的法曲率K1X1、K1Y1、K2X1、K2Y1及扭曲率G1、G2。還可以求得瞬時接觸橢圓短軸方向和X1軸的夾角τ，以及橢圓短軸的大小和方向矢量u。

根據X1和Y1方向的法曲率K1X1、K1Y1、K2X1、K2Y1及扭曲率G1、G2由曲率計算的歐拉公式，可以求得瞬時接觸橢圓長軸方向v和短軸方向u的小輪齒法曲率面及扭曲率。

式中：K1u為小輪齒面u方向法曲率；K1v為小輪齒面v方向法曲率；G1u為小輪齒面扭曲率。

同樣可以求得瞬時接觸橢圓長軸方向v和短軸方向u的大輪齒面法曲率面K2u、K2v及扭曲率G2u。

令齒面中點嚙合為零點，小輪沿其軸線pl方向旋轉為正，即從齒面中點向齒頂方向嚙合小輪回轉角為正，向齒根方向嚙合小輪回轉角為負。根據齒面接觸分析，確定小輪回轉角及嚙合點位置，按以上計算即可求得準雙曲面齒輪各嚙合點的相對運動速度、卷吸速度以及瞬時接觸橢圓長短軸的方向的曲率參數及其變化規律。

3 計算實例

準雙曲面齒輪齒坯參數見表1所示，機床加工調整參數如表2所示。小輪的輸入轉速為3 000 r/min。

表1 齒坯幾何尺寸

表2 機床調整參數

圖4 準雙曲面齒輪輪齒嚙合模型

圖4為準雙曲面齒輪輪齒嚙合模型。

圖5為相對運動速度Us及其和橢圓短軸的夾角θs的變化規律，隨著小輪回轉角增大時，相對運動速度Us增大，從齒根到齒頂相對運動速度增加約3.5 m/s，隨著小輪回轉角增大時θs減小，從齒根到齒頂θs減小23°左右。

圖6為卷吸速度Ue和橢圓短軸的夾角θ的變化規律，隨著小輪回轉角增大時，卷吸速度Ue增大，從齒根到齒頂卷吸速度Ue增加約0.5 m/s，隨著小輪回轉角增大時θ減小，從齒根到齒頂θ減小22°左右。

圖5 相對運動速度Us和橢圓短軸的夾角θs

圖6 卷吸速度Ue和橢圓短軸的夾角θ

圖7和圖8是小輪齒面和大輪齒面沿嚙合軌跡，嚙合點法曲率的變化規律。法曲率為負表示齒線彎曲方向和齒面規定的法向方向相反。根據圖7和圖8可以看出：隨著小輪回轉角增大，即從齒根到齒頂小輪和大輪在u方向嚙合點的法曲率都逐漸增大，在v方向法曲率都逐漸減小。但在u方向和v方向法曲率的差值，即相對主法曲率變化并不大。

圖7 小輪齒面u方向與v方向法曲率

圖8 大輪齒面u方向與v方向法曲率

4 結 語

本文根據機床加工調整參數，建立了準雙曲面齒輪的三維模型，求解了準雙曲面齒輪嚙合點的相對運動速度、卷吸速度以及曲率Us、Ue、θs、θ、K1u、K1v、K2u、K2v等參數，得到了這些參數的變化規律，為準雙曲面齒輪彈流潤滑分析奠定了基礎。

［1］ 鄭昌啟.弧齒錐齒輪和準雙曲面齒輪［M］.北京：機械工業出版社，1988.

［2］ Litvin F L，Zhang Y.Local Synthesis and Tooth Contact Analysis of Faced-Milled Spiral Bevel Gears［C］//Proc.JSME MPT’91 Conf.，1991：721.

［3］ YangRongsong，KUMEHARAH，NezuK.SolidModelingandFinite Element Analysis of Hypoid Gear［J］.Journal of the Japan Society for Precision Engineering，2002，68（3）：446-450.

（編輯：立 明）

Research on the Kinematic Parameters and Curvature Characteristics of Hypoid Gear

ZHAO Zhizhong1,MIN Xiaoyong2,YANG Rongsong1
（1.School of Manufacture Science and Engineering,Sichuan University,Chengdu 610065,China; 2.Sichuan University of Science and Technology Worker,Chengdu 610101,China）

The mathematical expressions of hypoid gear tooth surfaces are derived,the 3-D model of hypoid gear is established according to the adjustment parameters of machining.The relative velocity,entrainment velocity and the curvature of momentary contact ellipse axis for the point contact EHL analysis of hypoid gear have been solved by numerical iterative method.The works provide reference for the later study of hypoid gear EHL analysis.

hypoid gear;3-D model;relative velocity;entrainment velocity;curvature

TP 391.7

A

1002－2333（2014）04－0020－03

趙志忠（1987—），男，碩士研究生，研究方向為計算機輔助設計與制造方向。

2013-11-11