一類分數階積分多點邊值問題正解的存在性

戴 琛

(蘇州高等幼兒師范學校，江蘇蘇州 215008)

一類分數階積分多點邊值問題正解的存在性

戴 琛

(蘇州高等幼兒師范學校，江蘇蘇州 215008)

本文運用上下解和不動點定理的方法對一類分數階積分多點邊值問題進行研究，通過對格林公式性質的研究和分析得到了該問題正解的存在性。

分數階微分方程；不動點定理；上下解；正解

我們研究如下形式的一類帶有p-Laplacian算子的分數階m多點邊值問題：

近年來，分數階積分理論因其在物理、化學、機械、工程等領域的廣泛應用而受到國內外許多學者的關注.分數階微分方程解的存在性研究是微分方程定性理論的重要內容之一，也是進一步研究分數階微分方程理論及其應用的重要基礎.隨著分數階微分方程理論的不斷發展，關于分數階微分方程初值問題解的在存性研究有比較豐富的結果[1-11]，文獻[2]運用錐拉伸與錐壓縮不動點理論討論了含參數的分數階兩點邊值問題正解的存在與不存在性，文獻[9]運用上下解方法和不動點定理，研究了一類分數階兩點邊值問題正解的存在性，BashirAhmad在文獻[5]中用壓縮映射不動點定理，研究了一類分數階反周期邊值問題解的存在性.張淑琴在文[7]中利用不動點定理，研究了一類分數階高階奇異微分方程邊值問題正解的存在性.

引理1 設0<ηα<α(α-1). 如果h∈C[0,1]，那么

有唯一的解

(3)

其中G(t,s)=G1(t,s)+G2(t,s)，且

引理2 邊值問題(1)～(2)等價于下面的積分方程

.

(4)

在這部分，通過上下解的方法建立問題(1)～(2)中正解的存在性. 假設f:[0,1]×[0,+∞)→[0,+∞)是連續函數.

注：顯然，由引理1.1和引理1.2可知，當h(t)≥0時，u(t)≥0.

定義4 如果θ(t)∈C[0,1]且θ(t)滿足

稱θ(t)是問題(1)～(2)中的下解.

定義5 如果γ(t)∈C[0,1]且γ(t)滿足

稱γ(t)是定義問題(1)～(2)中的上解.

本文的主要結論如下：

定理6 如果u(t)滿足下列條件：(Hf)f(t,u)∈C([0,1]×[0,+∞),R+)對變量u是單調非增函數，f(t,ρ(t))≠0，?t∈(0,1)，存在一個常數μ<1，使得kμf(t,u)≤f(t,ku) ，?0≤k≤1，那么，問題(1)～(2)存在正解u(t).

由引理2，可知g(t)是下列方程的解

從引理3的結論可知a1ρ(t)≤g(t)≤a2ρ(t)，?t∈[0,1].

因此，利用定理6的假設條件可知

這意味著

顯然，函數θ(t)=k1g(t)和γ(t)=k2g(t)滿足邊界條件(2).因此，α(t)=k1g(t)，β(t)=k2g(t)分別是問題(1)～(2)的下解和上解.

下面證明問題

(5)

(6)

有解，其中

算子T:C[0,1]→[0,1]是連續的，那么G(t,s)和g(t,u(t))也是連續的函數. 由Arzela-Ascoli定理可知，T是一個緊算子.因此，由Leray-Schauder的不定點定理可以知道，算子T是有一個不動點，即問題(5)～(6)有解.

最后，證明問題(1)～(2)存在正解.

假設u*(f)是問題(5)～(6)的一個解. 由于f(t,u)是關于u的單調非增函數，則

那么

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Existence of Positive Solutions to the Multi-point Boundary Value Problems of Fractional Integral of the Same Category

DAI Chen

(Suzhou Higher Infant Normal School, Suzhou Jiangsu 215008, China)

This paper applies the methods of upper and lower solutions and the fixed point theorem to the study of multi- point boundary value problems of fractional integral of the same category. Through the research and the analysis of the Green formula properties, the existence of positive solutions to the problems is obtained.

Fractional differential equation; Fixed-point theorem; Lower and upper solution; Positive solutions

2014-01-07

戴 琛(1980- )，女，江蘇蘇州人，蘇州高等幼兒師范學校講師，從事應用數學研究。

O175

A

2095-7602(2014)04-0003-04