論數學建模教學中創新實踐能力的培養

李向軍

摘 要： 培養大學生創新實踐能力是高等教育的重要內涵.本文以整數規劃求解圖色數問題為例， 探討在數學建模教學中如何提高大學生的創新實踐能力等問題.

關鍵詞： 數學建模教學 創新能力 實踐能力

創新是一個民族進步的靈魂，培養大學生的創新實踐能力是高等學校教育的重要內涵.數學建模課程是高等教育中一門重要課程，它主要研究通過合理的假設，運用適當的數學工具建立數學模型解決實際問題的方法，內容涉及工程技術、經濟管理、社會生活等各個領域，是培養學生創新實踐能力的很好載體[1].數學建模教學的過程應該是一個培養學生創新能力和實踐能力的過程.數學建模教學要求教學方法的創新、改革[2].在目前的環境下，改進數學建模的教學方法，提高學生的創新實踐能力顯得尤為重要.

一、創設情境，激發學生探索欲望

在數學建模教學中，教師要主動采取措施，鼓勵并推動學生解決一些理論或實際的問題.讓學生親口嘗一嘗梨子的滋味，親身體驗數學的創造過程，取得在課堂里和書本上無法代替的寶貴經驗[3].在理論課教學中可以適度開放教學內容，創設情境，激發學生的創新意識和探索欲望，并給學生留有一定的思考和創新的空間.例如，某些問題可以通過案例進行教學，可將問題提給學生.

頻道分配問題：某地區有n家電視發射臺T ，T ，…，T ，主管部門給每家電視臺分配一個發射頻道.為排除同頻干擾，使用相同頻道的發射臺之間相距必須大于一定的距離d，問：你認為該地區至少需要多少個頻道？如何分配？

這個問題與現實生活聯系十分緊密，有深厚的實際背景.對學生來說，這個問題有一定的難度，但是學生很感興趣，都有躍躍欲試的沖動.問題提出來后，老師并不給出方法，將發揮的空間留給學生，讓他們討論和查找書籍資料完成.

二、進行研究性學習，培養學生創新能力

學生帶著疑問和求知的渴望，對上面的問題進行分析和考慮后發現這樣的規律，它屬于限制某兩個有特殊關系的對象（電視臺）禁止有相同的屬性（頻道）的安排問題.這類問題適合轉化為圖論模型進行分析.

通過查詢組合數學和圖論[4]相關書籍，將n家電視發射臺對應n個頂點，兩個頂點鄰接當且僅當它們代表的電視發射臺相距大于距離d，這樣得到一個圖G.圖G的色數x（G）就是所需頻道的最少數目，所以這個問題歸結到圖的色數問題.學生在這個過程中是自己重新發現問題的模型，老師并不參與，這樣有利于培養學生的發散性思維，提高學生的創新能力.

如何求解色數問題呢？同學們查詢書籍知道色數的確定目前沒有好的算法，怎樣根據自己所學的知識求解是學生面臨的又一次考驗.有的學生注意到色數問題實際上是一個帶約束的安排問題，想到了采用整數規劃方法.當圖的規模不是很大時，給出一個整數規劃解法求解圖色數問題是很有意義的.

通過查閱組合數學和圖論[4]中染色理論的相關資料可以知道，對一個連通圖G=（V，E），如果不是奇圈和完全圖，則f（G）≤△.對除了奇圈和完全圖之外的圖G，可以選一個顏色集合{1，2，…，△}給G頂點著色，我們的目標是相鄰點不同色，且使用顏色最少.

用顏色1，2，…，k（k≤△）給點v （i=1，2，…n）著色，引入0-1變量x ，y ，使得：

x =1，點v 著k色0，其他，y =1，使用顏色k0，其他

圖G的鄰接矩陣為A=（a ） ，

目標函數：MinZ= y ，

約束條件為：

（1）每個頂點只能著一種顏色，所以有：

x =1，i=1，2，…，n；

（2）兩頂點有邊相連則不能使用同色，則：

a ·x ·x =0，k=1，1，…，△；

（3）當給頂點v 著k色，意味著一定使用了k色，有x ≤y ；

（4）由于染色方案是給出用最少的顏色的方案，因此應該避免出現k色未使用而用到k+1色，即有：y ≥y ，k=1，2，…，△-1.

minz= y ，s.t.

綜上所述，色數問題可以轉換成如下0-1規劃：

x =1，i=1，2，…，n；k=1，2，…，△；a ·x ·x =0，i，j=1，2，…，n；k=1，2，…，△；x ≤y ，i=1，2，…，n；k=1，2，…，△；y ≥y ，k=1，2，…△-1；x ∈{0，1}；y ∈{0，1}.

可以說學生從建立圖色數模型到給出圖色數的整數規劃解法都是在進行一次自主研究性學習和探索.在探索過程中，更注重的是方法和思路，而不要太強調理論證明.在這個過程中，學生是認知的主體，教師主要起到適當引導和答疑的作用.這樣開拓學生的思路，使他們有自我成就感，同時也感受到學習的樂趣.

三、編寫程序，強化學生實踐技能

實踐環節對培養學生掌握知識技能、科研方法，提高創新能力具有重要的作用.在數學建模教學中，學生掌握基本數學模型、編程語言，如Matlab，LINGO等工具軟件后，應該利用軟件編寫程序將模型內容進行數值求解.這是一個很重要的過程.通過軟件編程進行實現不僅可以驗證建立模型的正確性，而且可以得到一般性的解決方案.值得指出的是，在程序的編寫過程中，往往不是一蹴而就的，學生都會在編寫過程中調試修改，甚至是改變解決方案.在這一環節中，學生不斷調整思路，突破知識瓶頸，最終解決問題，使得他們分析和解決問題的能力得到提高.

四、結語

在數學建模教學過程中，學生是主體.學生通過學習數學建模課程，獲取新知識和新經驗，同時也體會到應用數學知識解決實際問題的重要性.教師在數學建模教學中激發學生興趣，引導學生研究性學習，輔導學生編程實踐，通過一整套流程培養學生的創新精神，增強學生的動手意識，這對學生的洞察能力、發散思維能力、創新實踐能力的提高大有裨益.

參考文獻：

[1]姜啟源，謝金星，葉俊.數學模型[M].高等教育出版社，2011.

[2]姜禮平，李衛軍，戴明強.數模競賽與創新教育[J].數學的實踐與認識，2001（5）：633-634.

[3]李大潛.數學建模與素質教育[J].中國大學教學，2002（10）：41-43.

[4]徐俊明.圖論及其應用[M].中國科學技術大學出版社，2010.

基金項目：長江大學教研項目（JY2012003，JY2012004）。endprint

摘 要： 培養大學生創新實踐能力是高等教育的重要內涵.本文以整數規劃求解圖色數問題為例， 探討在數學建模教學中如何提高大學生的創新實踐能力等問題.

關鍵詞： 數學建模教學 創新能力 實踐能力

創新是一個民族進步的靈魂，培養大學生的創新實踐能力是高等學校教育的重要內涵.數學建模課程是高等教育中一門重要課程，它主要研究通過合理的假設，運用適當的數學工具建立數學模型解決實際問題的方法，內容涉及工程技術、經濟管理、社會生活等各個領域，是培養學生創新實踐能力的很好載體[1].數學建模教學的過程應該是一個培養學生創新能力和實踐能力的過程.數學建模教學要求教學方法的創新、改革[2].在目前的環境下，改進數學建模的教學方法，提高學生的創新實踐能力顯得尤為重要.

一、創設情境，激發學生探索欲望

在數學建模教學中，教師要主動采取措施，鼓勵并推動學生解決一些理論或實際的問題.讓學生親口嘗一嘗梨子的滋味，親身體驗數學的創造過程，取得在課堂里和書本上無法代替的寶貴經驗[3].在理論課教學中可以適度開放教學內容，創設情境，激發學生的創新意識和探索欲望，并給學生留有一定的思考和創新的空間.例如，某些問題可以通過案例進行教學，可將問題提給學生.

頻道分配問題：某地區有n家電視發射臺T ，T ，…，T ，主管部門給每家電視臺分配一個發射頻道.為排除同頻干擾，使用相同頻道的發射臺之間相距必須大于一定的距離d，問：你認為該地區至少需要多少個頻道？如何分配？

這個問題與現實生活聯系十分緊密，有深厚的實際背景.對學生來說，這個問題有一定的難度，但是學生很感興趣，都有躍躍欲試的沖動.問題提出來后，老師并不給出方法，將發揮的空間留給學生，讓他們討論和查找書籍資料完成.

二、進行研究性學習，培養學生創新能力

學生帶著疑問和求知的渴望，對上面的問題進行分析和考慮后發現這樣的規律，它屬于限制某兩個有特殊關系的對象（電視臺）禁止有相同的屬性（頻道）的安排問題.這類問題適合轉化為圖論模型進行分析.

通過查詢組合數學和圖論[4]相關書籍，將n家電視發射臺對應n個頂點，兩個頂點鄰接當且僅當它們代表的電視發射臺相距大于距離d，這樣得到一個圖G.圖G的色數x（G）就是所需頻道的最少數目，所以這個問題歸結到圖的色數問題.學生在這個過程中是自己重新發現問題的模型，老師并不參與，這樣有利于培養學生的發散性思維，提高學生的創新能力.

如何求解色數問題呢？同學們查詢書籍知道色數的確定目前沒有好的算法，怎樣根據自己所學的知識求解是學生面臨的又一次考驗.有的學生注意到色數問題實際上是一個帶約束的安排問題，想到了采用整數規劃方法.當圖的規模不是很大時，給出一個整數規劃解法求解圖色數問題是很有意義的.

通過查閱組合數學和圖論[4]中染色理論的相關資料可以知道，對一個連通圖G=（V，E），如果不是奇圈和完全圖，則f（G）≤△.對除了奇圈和完全圖之外的圖G，可以選一個顏色集合{1，2，…，△}給G頂點著色，我們的目標是相鄰點不同色，且使用顏色最少.

用顏色1，2，…，k（k≤△）給點v （i=1，2，…n）著色，引入0-1變量x ，y ，使得：

x =1，點v 著k色0，其他，y =1，使用顏色k0，其他

圖G的鄰接矩陣為A=（a ） ，

目標函數：MinZ= y ，

約束條件為：

（1）每個頂點只能著一種顏色，所以有：

x =1，i=1，2，…，n；

（2）兩頂點有邊相連則不能使用同色，則：

a ·x ·x =0，k=1，1，…，△；

（3）當給頂點v 著k色，意味著一定使用了k色，有x ≤y ；

（4）由于染色方案是給出用最少的顏色的方案，因此應該避免出現k色未使用而用到k+1色，即有：y ≥y ，k=1，2，…，△-1.

minz= y ，s.t.

綜上所述，色數問題可以轉換成如下0-1規劃：

x =1，i=1，2，…，n；k=1，2，…，△；a ·x ·x =0，i，j=1，2，…，n；k=1，2，…，△；x ≤y ，i=1，2，…，n；k=1，2，…，△；y ≥y ，k=1，2，…△-1；x ∈{0，1}；y ∈{0，1}.

可以說學生從建立圖色數模型到給出圖色數的整數規劃解法都是在進行一次自主研究性學習和探索.在探索過程中，更注重的是方法和思路，而不要太強調理論證明.在這個過程中，學生是認知的主體，教師主要起到適當引導和答疑的作用.這樣開拓學生的思路，使他們有自我成就感，同時也感受到學習的樂趣.

三、編寫程序，強化學生實踐技能

實踐環節對培養學生掌握知識技能、科研方法，提高創新能力具有重要的作用.在數學建模教學中，學生掌握基本數學模型、編程語言，如Matlab，LINGO等工具軟件后，應該利用軟件編寫程序將模型內容進行數值求解.這是一個很重要的過程.通過軟件編程進行實現不僅可以驗證建立模型的正確性，而且可以得到一般性的解決方案.值得指出的是，在程序的編寫過程中，往往不是一蹴而就的，學生都會在編寫過程中調試修改，甚至是改變解決方案.在這一環節中，學生不斷調整思路，突破知識瓶頸，最終解決問題，使得他們分析和解決問題的能力得到提高.

四、結語

在數學建模教學過程中，學生是主體.學生通過學習數學建模課程，獲取新知識和新經驗，同時也體會到應用數學知識解決實際問題的重要性.教師在數學建模教學中激發學生興趣，引導學生研究性學習，輔導學生編程實踐，通過一整套流程培養學生的創新精神，增強學生的動手意識，這對學生的洞察能力、發散思維能力、創新實踐能力的提高大有裨益.

參考文獻：

[1]姜啟源，謝金星，葉俊.數學模型[M].高等教育出版社，2011.

[2]姜禮平，李衛軍，戴明強.數模競賽與創新教育[J].數學的實踐與認識，2001（5）：633-634.

[3]李大潛.數學建模與素質教育[J].中國大學教學，2002（10）：41-43.

[4]徐俊明.圖論及其應用[M].中國科學技術大學出版社，2010.

基金項目：長江大學教研項目（JY2012003，JY2012004）。endprint

摘 要： 培養大學生創新實踐能力是高等教育的重要內涵.本文以整數規劃求解圖色數問題為例， 探討在數學建模教學中如何提高大學生的創新實踐能力等問題.

關鍵詞： 數學建模教學 創新能力 實踐能力

創新是一個民族進步的靈魂，培養大學生的創新實踐能力是高等學校教育的重要內涵.數學建模課程是高等教育中一門重要課程，它主要研究通過合理的假設，運用適當的數學工具建立數學模型解決實際問題的方法，內容涉及工程技術、經濟管理、社會生活等各個領域，是培養學生創新實踐能力的很好載體[1].數學建模教學的過程應該是一個培養學生創新能力和實踐能力的過程.數學建模教學要求教學方法的創新、改革[2].在目前的環境下，改進數學建模的教學方法，提高學生的創新實踐能力顯得尤為重要.

一、創設情境，激發學生探索欲望

在數學建模教學中，教師要主動采取措施，鼓勵并推動學生解決一些理論或實際的問題.讓學生親口嘗一嘗梨子的滋味，親身體驗數學的創造過程，取得在課堂里和書本上無法代替的寶貴經驗[3].在理論課教學中可以適度開放教學內容，創設情境，激發學生的創新意識和探索欲望，并給學生留有一定的思考和創新的空間.例如，某些問題可以通過案例進行教學，可將問題提給學生.

頻道分配問題：某地區有n家電視發射臺T ，T ，…，T ，主管部門給每家電視臺分配一個發射頻道.為排除同頻干擾，使用相同頻道的發射臺之間相距必須大于一定的距離d，問：你認為該地區至少需要多少個頻道？如何分配？

這個問題與現實生活聯系十分緊密，有深厚的實際背景.對學生來說，這個問題有一定的難度，但是學生很感興趣，都有躍躍欲試的沖動.問題提出來后，老師并不給出方法，將發揮的空間留給學生，讓他們討論和查找書籍資料完成.

二、進行研究性學習，培養學生創新能力

學生帶著疑問和求知的渴望，對上面的問題進行分析和考慮后發現這樣的規律，它屬于限制某兩個有特殊關系的對象（電視臺）禁止有相同的屬性（頻道）的安排問題.這類問題適合轉化為圖論模型進行分析.

通過查詢組合數學和圖論[4]相關書籍，將n家電視發射臺對應n個頂點，兩個頂點鄰接當且僅當它們代表的電視發射臺相距大于距離d，這樣得到一個圖G.圖G的色數x（G）就是所需頻道的最少數目，所以這個問題歸結到圖的色數問題.學生在這個過程中是自己重新發現問題的模型，老師并不參與，這樣有利于培養學生的發散性思維，提高學生的創新能力.

如何求解色數問題呢？同學們查詢書籍知道色數的確定目前沒有好的算法，怎樣根據自己所學的知識求解是學生面臨的又一次考驗.有的學生注意到色數問題實際上是一個帶約束的安排問題，想到了采用整數規劃方法.當圖的規模不是很大時，給出一個整數規劃解法求解圖色數問題是很有意義的.

通過查閱組合數學和圖論[4]中染色理論的相關資料可以知道，對一個連通圖G=（V，E），如果不是奇圈和完全圖，則f（G）≤△.對除了奇圈和完全圖之外的圖G，可以選一個顏色集合{1，2，…，△}給G頂點著色，我們的目標是相鄰點不同色，且使用顏色最少.

用顏色1，2，…，k（k≤△）給點v （i=1，2，…n）著色，引入0-1變量x ，y ，使得：

x =1，點v 著k色0，其他，y =1，使用顏色k0，其他

圖G的鄰接矩陣為A=（a ） ，

目標函數：MinZ= y ，

約束條件為：

（1）每個頂點只能著一種顏色，所以有：

x =1，i=1，2，…，n；

（2）兩頂點有邊相連則不能使用同色，則：

a ·x ·x =0，k=1，1，…，△；

（3）當給頂點v 著k色，意味著一定使用了k色，有x ≤y ；

（4）由于染色方案是給出用最少的顏色的方案，因此應該避免出現k色未使用而用到k+1色，即有：y ≥y ，k=1，2，…，△-1.

minz= y ，s.t.

綜上所述，色數問題可以轉換成如下0-1規劃：

x =1，i=1，2，…，n；k=1，2，…，△；a ·x ·x =0，i，j=1，2，…，n；k=1，2，…，△；x ≤y ，i=1，2，…，n；k=1，2，…，△；y ≥y ，k=1，2，…△-1；x ∈{0，1}；y ∈{0，1}.

可以說學生從建立圖色數模型到給出圖色數的整數規劃解法都是在進行一次自主研究性學習和探索.在探索過程中，更注重的是方法和思路，而不要太強調理論證明.在這個過程中，學生是認知的主體，教師主要起到適當引導和答疑的作用.這樣開拓學生的思路，使他們有自我成就感，同時也感受到學習的樂趣.

三、編寫程序，強化學生實踐技能

實踐環節對培養學生掌握知識技能、科研方法，提高創新能力具有重要的作用.在數學建模教學中，學生掌握基本數學模型、編程語言，如Matlab，LINGO等工具軟件后，應該利用軟件編寫程序將模型內容進行數值求解.這是一個很重要的過程.通過軟件編程進行實現不僅可以驗證建立模型的正確性，而且可以得到一般性的解決方案.值得指出的是，在程序的編寫過程中，往往不是一蹴而就的，學生都會在編寫過程中調試修改，甚至是改變解決方案.在這一環節中，學生不斷調整思路，突破知識瓶頸，最終解決問題，使得他們分析和解決問題的能力得到提高.

四、結語

在數學建模教學過程中，學生是主體.學生通過學習數學建模課程，獲取新知識和新經驗，同時也體會到應用數學知識解決實際問題的重要性.教師在數學建模教學中激發學生興趣，引導學生研究性學習，輔導學生編程實踐，通過一整套流程培養學生的創新精神，增強學生的動手意識，這對學生的洞察能力、發散思維能力、創新實踐能力的提高大有裨益.

參考文獻：

[1]姜啟源，謝金星，葉俊.數學模型[M].高等教育出版社，2011.

[2]姜禮平，李衛軍，戴明強.數模競賽與創新教育[J].數學的實踐與認識，2001（5）：633-634.

[3]李大潛.數學建模與素質教育[J].中國大學教學，2002（10）：41-43.

[4]徐俊明.圖論及其應用[M].中國科學技術大學出版社，2010.

基金項目：長江大學教研項目（JY2012003，JY2012004）。endprint