熵概念及其在生物學中的應用＊

高 峰

（天津大學理學院物理系 天津 3000 72 ）

“生物是物，生物有理”．物理學與生物學的相互促進由來已久，生物學曾為物理學啟示過能量守恒定律，而物理學也為生物學發展提供了大量的新思想和新工具［1］．例如，奧地利物理學家、量子力學奠基人之一薛定諤 （Erwin Schr dinger）在《生命是什么——活細胞的物理學觀》一書中從能量、遺傳和信息的角度來探討生命奧秘，對生命的分子基礎、生命的熱力學基礎和生命的物理規律進行了思考，并提出了負熵、非周期性晶體等思想，為生物學的革命性發展奠定了基礎［2］．熵是大學物理的重要教學內容，筆者在教學過程中結合自己的科研經歷，將熵概念在生物學中的應用進行了簡單介紹．

1 熵概念的提出

經典熱力學中關于熵的概念，最早由德國物理學家克勞修斯于1865 年提出，用來衡量熱力學過程的不可逆程度．克勞修斯通過熵的增量進行了定義，即熵的增量等于過程中吸收的熱量與溫度之比．因為熵和能在物理上都具有重要意義，而且關系密切，所以，克勞修斯在造詞時加了個前綴en，以便與能量energy這個詞相對應．而漢譯字是1923 年浙江大學的胡剛復教授在為來華講學的德國科學家普朗克（并非因提出能量子概念而獲得諾貝爾獎的普朗克）擔任翻譯時創造．他考慮到熵的定義為熱溫比，在數學上具有“商”的性質，而熱量、溫度又都與“火”有關，便創造了“熵”字．1877 年，玻爾茲曼提出了宏觀量熵S與無序度Ω（系統某一宏觀狀態所對應的微觀狀態的數目即熱力學概率）之間關系的玻爾茲曼熵公式，S∝l nΩ，后來普朗克把它寫成了等式S＝kl nΩ，式中k是玻爾茲曼常數．玻爾茲曼的統計理論使我們對熵的微觀本質有了更為深刻的認識，即熵是系統內分子熱運動無序性或混亂程度的一種量度．在玻爾茲曼熵公式的基礎上，1943 年薛定諤引入了“負熵”的概念，并提出“生命賴負熵為生”的觀點．他認為，“負熵”就是取負號的熵，它本身是有序的一個量度．“負熵”概念的提出雖然引起過非議，但對填平物理學與生物學之間的鴻溝有著積極意義［3］．

2 熵概念的發展及生物學應用

如今，熵不僅僅是一個重要的物理概念，在控制論、概率論、生命科學、天體物理等諸多領域都有重要應用．熵在不同學科中引申出更為具體的定義，并逐漸成為所在領域重要的參量．其中，信息熵的引入不僅為信息論和數字通信奠定了基礎，而且為熵概念的進一步泛化奠定了基礎．

1948 年，信息論的創始人香農 （Claude ElwoodShannon）發表了 《通信的數學原理》（AMathe－matical Theory of Communication）一文，提出了信息熵的概念，目前該文在學術谷歌的引用已超過6500 0次，成為香農的經典之作．假定有一事件可能有x1，x2，…，xN種結果，每一種結果出現的概率為P（xi），或簡寫為Pi，信息熵定義為

當對數以2為底時，單位是比特（bit），bit是二進制數字 （binary digit）的縮寫．

人類與其他生物基因組序列是大自然的偉大作品，它是用一種4字母組成的語言寫成的“天書”，大自然的奧秘就隱藏在這些厚厚的“天書”之中，而生物信息學正是解讀“天書”的鑰匙［4］．對于由4字母組成的D NA序列，信息熵H可以表示為

這里a，c，g和t分別表示在D NA序列中堿基A，C，G和T的出現頻率．既然熵可以作為系統無序性大小的量度，當然也可以用來量化D NA序列的組成差異．考察一個由N個堿基組成的基因組序列．設n為整數，且2≤n≤N－1．對于給定的位置n，基因組序列被分為左右兩個子序列．計算兩個子序列的熵，考慮長度因素，若滿足該點分成的兩個子序列負熵之和取得最大值，那么，該點即為該序列中首先找到的組成分段點，將同樣的過程應用于產生的左右子序列，這就是D NA序列的熵分段算法．研究表明，在D NA序列中的確存在著堿基組成的突變點，且蘊含著明確的生物學意義．例如，在細菌和古菌基因組中，鏈堿基組成的突變點往往對應于復制起始或終止位點，而G C含量的突變點可能對應于水平轉移基因組島的整合位點等，因此，分段算法在生物學中有著廣泛的應用［4］．我們證明由Z曲線導出的基因組序參數S＝a2＋c2＋g2＋t2也可作為量化D NA序列組成差異的度量［5］．信息熵H和基因組序參數S關系復雜［6］，但研究發現S和H 的相關系數幾乎為－1，這表明兩者成高度負相關，暗示S起到了某種“負熵”的作用［7］．在基因組序參數S的基礎上，我們實驗室研發出計算基因組分段點的算法，可以有效地、高精度地計算基因組的分段點［8］．

信息熵H和基因組序參數S高度負相關，可能是因為信息熵H和基因組序參數S都是α階Tsallis熵的特殊形式．Tsallis熵的定義如下［9］

如果α趨近于1，則T

sallis熵就退化為香農熵．如果α＝2，公式（3）變成

H2（X）又被稱作Gini－Simpson指數，它和信息熵、Tsallis熵等還可以用來衡量生物物種多樣性（diversity）．對于由4字母組成的D NA序列，公式（5）還可以有如下形式

可以看出，S與H2（X）對于四元字符序列存在線性關系，同時S具有明確的幾何意義［7］．

基于谷歌搜索，可以得到更多熵在生物學，特別是生物信息學中的應用實例，如基于多元熵距離法的微生物基因預測方法，基于熵定量篩選差異甲基化區域軟件等．

3 結論

物理學和生物學結合是自然科學發展中的重要趨勢，物理學思想在生物學中的應用能更好地促進生物學學科的發展．希望能通過熵概念在生物學，特別是生物信息學等相關交叉學科中應用的介紹，激發學生的學習興趣和求知欲，提高大學生的創新精神和實踐能力．

1 郝柏林．物理學和生物學 （上）．物理，2003 ，32 （04 ）：213 ～218

2 Erwin Schr dinger．What Is Life？The Physical Aspectof the Living Cell．London：Cambridge UniversityPress，1944

3 趙佩華．熵理論的幾個基本問題研究述評．系統辯證學學報，2000 ，8（1）：85 ～89

4 張春霆．人與其他生物基因組若干重要問題的生物信息學研究．自然科學進展，2004 ，14 （12 ）：1367 ～1374

5 Zhang Chun－Ting，Gao Feng，Zhang Ren．Segmentationalgorithm for DNA sequences．Phys Rev E，2005，72（4）：041917

6 Zhang Yi．Relations between Shannon entropy andgenome order index in segmenting DNA sequences．PhysRev E，2009，79（4）：041918

7 Zhang Chun－Ting， Zhang Ren． A nucleotidecomposition constraint of genome sequences．ComputBiol Chem，2004，28（2）：149～153

8 Gao Feng，Zhang Chun－Ting．GC－Profile：a web－based toolfor visualizing and analyzing the variation of GC content in genomic sequences．Nucl Acids Res，2006，34 （W1）：W686～W691

9 Tsallis Constantino．Possible generalization ofBoltzmann－Gibbs statistics．J Stat Phys，1988，52：479～487