關于矢量與矢量微分之間標積的若干討論

彭成曉

（河南大學物理與電子學院 河南 開封 4750 04 ）

房彩麗

（河南大學計算機與信息工程學院 河南 開封 4750 04 ）

王 超

（河南大學物理與電子學院 河南 開封 4750 04 ）

1 問題的提出

在普通物理學習中，經常會遇到矢量與矢量微分之間標積的運算A·dA．例如，在推導質點的動能定理［1］，計算萬有引力（靜電力）做功［2］等情況時，經常會用到這樣的等式A·dA＝AdA，初學者經常會對這一等式產生困惑．A的模就是其矢量大小A，即＝A，但是dA表示A的微分，是矢量，而dA表示A的大小的微分，是標量，dA與dA意義不同，如圖1所示，dA大小等于PM長度，dA等于NM長度，因此它們并不相等．但A·dA＝AdA為什么能成立呢？

圖1

由于A是矢量，其大小和方向的變化都可以引起矢量A改變，因此，關于矢量與矢量微分之間的運算，可分為以下幾種情況進行討論．

2 當矢量A大小不變（即A＝常量）僅方向改變時

矢量A大小不變（即A＝ 常量），僅改變方向［3］，如圖2（a）所示，由A變化為A＋ΔA．當矢量A增量很小，ΔA→dA，θ→0°，則α＝β→90 °，因此，A⊥dA，如圖2（b）所示，則A·dA＝0．而A為常量，所以dA＝0，得AdA＝0．因此A·dA＝AdA成立．

圖2

3 當矢量A大小改變而其方向不變時

圖3

4 當矢量A大小和方向均改變時

A·dA＝AdA，可以用以下方法理解．

4．1 圖形法

按照矢量標積運算

由于dA是A的微分，因此在△O PM中∠P OM→0°，那么在等腰三角形△O PN中∠O PN＝∠O NP→90 °，cosθ＝dA，因此

A·dA＝AdA

4．2 矢量微分運算

d（A·A）＝d（A2）＝2AdA

又 d（A·A）＝dA·A＋A·dA＝2A·dA

因此

A·dA＝AdA

4．3 不同坐標系中矢量與矢量微分標積運算

4．3．1 自然坐標系

A＝A eA，A為A的大小，eA為矢量A方向上的單位矢量．按照矢量微分運算，有

dA＝d（A eA）＝eAdA＋AdeA

A·dA＝A eA·（eAdA＋AdeA）＝

AdA＋A2eA·deA

其中eA·deA＝0，可用圖2（b）理解，eA為矢量A方向上的單位矢量，故其大小不變，始終為1，僅僅方向改變．eA與其微分deA垂直，因此，它們之間的標積為零，即eA·deA＝0

因此

A·dA＝AdA

4．3．2 直角坐標系

通常接觸最多的是直角坐標系，這里給出在直角坐標系下矢量與矢量微分之間的標積運算．在直角坐標系中，矢量A可表示為

A＝Axi＋Ayj＋Azk

dA＝dAxi＋dAyj＋dAzk

A·dA＝AxdAx＋AydAy＋AzdAz＝

為更好地理解不同情況下矢量與矢量微分之間的標積結果，可以用較為熟悉的情況加以理解，例如，位矢和速度的關系．v＝，速度和位矢微分的方向一致，而我們較為熟悉位矢和速度的方向關系，因此，利用位矢和速度的方向關系便于理解矢量和矢量微分之間的關系．如任意曲線運動（含直線運動）中，速度的方向總是沿著質點運動軌跡的切線方向，這里需要注意，切線方向并不一定和位矢方向垂直．但是如果質點做圓周運動，以圓心為原點，質點的速度方向沿著軌跡切線方向，那么r⊥v，即位矢和位矢微分垂直，r⊥dr，這時r·dr＝0．這里由于質點做圓周運動，其位矢大小不變，始終為半徑長度，其方向不斷變化，這時r·dr＝0，這種情況就是矢量大小不變，而方向變化，矢量和矢量微分之間的標積為零．至于一般曲線運動（含直線運動），位矢大小始終在變，速度的方向總是沿著質點運動軌跡的切線方向，位矢方向和速度方向并不滿足垂直的關系，因此r·dr＝rdr≠0．

5 結論

從上面幾種情況可以看出，當矢量A大小不變僅僅方向改變時，A與其微分dA之間的標積為零，即A·dA＝0；當矢量A大小變化，A與其微分dA之間的標積滿足關系式A·dA＝AdA≠0．初學者對于A·dA標積結果產生困惑的原因主要是由于對矢量A的矢量性理解不夠，易忽略其方向改變導致微分dA的產生．初學者在學習過程中應加強對矢量A的矢量性理解，即A大小和方向的改變均可引起dA的產生．

1 尹國盛，夏曉智．大學物理簡明教程（上）．武漢：華中科技大學出版社，2009 ．39

2 馬文蔚，周雨青．物理學教程（第二版）上冊．北京：高等教育出版社，2005 ．62

3 漆安慎，杜嬋英．普通物理學教程 力學（第二版）．北京：高等教育出版社，2005 ．471