光的折射定律的理論分析與推導

梁 雄 賴國忠

（龍巖學院 福建 龍巖 3640 12 ）

1 引言

反射定律和折射定律是幾何光學兩個基本定律，可利用費馬定理證明［1～3］，也有一些《工程光學》教材是利用電磁場的連續條件來分析平面光波在各向同性介質分界面上的反射和折射［4，5］．這些教材一般都是列出s波（電場強度在垂直入射平面方向的分量）滿足電場強度切向連續的方程，然后，通過簡單的觀察和分析得出反射光波（或折射光波）的頻率與入射光頻率相等的有關內容，但是教學中發現，大多數學生對這樣的探討方式所得的結果疑惑不解，總覺得推導過程不夠嚴密．現就在原有方程的基礎上利用導數和矢量叉乘進行詳細分析和推導．

2 折射定律有關內容的推導

圖1 平面光波在界面處傳播

如圖1所示，一束光從折射率n1的介質1入射到折射率n2的介質2，電場矢量在垂直于入射面方向的分量稱作s波，平行于入射面的分量稱作p波，坐標系中y軸垂直紙面向外．根據電磁場的連續條件［6］列出電場的s波在界面處滿足的方程［5］

利用exp ［i（ α ＋β）］＝e x p（iα）e x p（iβ） 可 將 式 （1）中時間部分和空間部分分離，并令入射光、反射光和折射光中的s波復振幅分別為

A1＝A1sexp （i k1·r）

A′1＝A′1sexp （i k′1·r）

A2＝A2sexp （i k2·r）

即

兩邊同除以e x p（－ i ω1t），整理可得

其中，Δω2＝ω1－ω2，Δω1＝ω1－ω′1．將式（3）對時間求一階導數并化簡可得

式（4）兩邊同除以exp （iΔ ω2t）得

通常情況下，該方程中A′1≠0，A2≠0．觀察方程（5）的兩邊會發現其右邊與時間無關，而左邊卻含有exp ［i（Δω1－Δω2）t］時間因子，只存在兩種可能，第一種，當Δω1＝0時，方程的左邊為零（即與時間無關），這就要求方程的右邊也為零，即有Δω2＝0；第二種，當Δω2＝Δω1時，則因子

exp ［i（ Δω1－Δω2）t］≡1

將這一結果代入式（3）并整理后可得

仔細觀察式（6），其左邊為一個不為零的常量，這就要求方程右邊與時間無關，即有Δω1＝0．

綜合上述兩種情況均可得出同一個結論，即反射光束和折射光束的角頻率都與入射光束的角頻率相等，將其表示成數學表達式為

將式（7）代入式（1），兩邊同除以e x p［i（k1·rω1t）］化簡得

其中N ＝k′1－k1，N′＝k2－k1．將算符

作用于式（8）兩邊可得

式（9）兩邊同除以N2exp （i N ′·r）得

式（10 ）的右邊與位矢r無關，這就要求其左邊也與r無關，即

將式（11 ）代入式（8）進行整理后得

式（12 ）的左邊為一常量，這就要求右邊與r無關，即N′·r＝0．結合式（11 ）易得

其中，r為界面（x y平面）上任意位矢．由立體幾何知識可知，N和N′（或－N′）垂直界面，均可代表介質界面的法線．

下面利用矢量叉乘證明光的折射定律，證明過程中用－k1和k2分別代表入射光線和折射光線的位置，則入射角等于－k1與－N′之間的夾角θ1，折射角等于k2與N′之間夾角θ2，具體參見圖2．結合矢量減法的特點分析不難得出，－k1，k2和法線N′（或－N′）在同一平面內．根據矢量叉乘容易驗證下面的方程成立

圖2 各波矢及有關的矢量

注意連等式（14 ）的中間表達式中出現一個負號，不難由“矢積的方向用右手螺旋法則確定”分析出－k1和k2分居法線兩側，即折射光和入射光分居法線兩側．式（14 ）的兩邊取模得

3 結論

針對現有教材通過簡單的觀察，對比方程（1）得出光的折射定律等有關內容，大多數學生對所得結論難以接受，本文借助于高等數學中的導數和矢量叉乘等加以適當推導，使得分析所得的結論更加一目了然，從而提高了課堂的教學效果．

1 姚啟鈞．光學教程（第3版）．北京：高等教育出版社，2006 ．153 ～156

2 宮彥軍，王喜昌，宋東草，等．折射定律與反射定律的推導．物理實驗，2005 ，25 （2）：41 ～43

3 楊春艷，劉飛，吉恒，等．折射定律服從費馬原理的一種證明方法．玉溪師范學院學報，2010 ，26 （8）：27 ～28

4 田芊，廖延彪，孫利群．工程光學（第1版）．北京：清華大學，2007 ．17 ～19

5 郁益銀，談恒英．工程光學（第3版）．北京：機械工業出版社，2013 ．300 ～302

6 梁燦彬，秦光戎，梁竹健．電磁學（第3版）．北京：高等教育出版社，2012 ．108 ～109