構建一般化電荷模型求解靜電物理問題

王浩川 余泓燁 金旭統

（浙江省鎮海中學高二（1）班 浙江 寧波 3152 00 ）

黃國龍

（浙江省鎮海中學 浙江 寧波 3152 00 ）

解答某些特殊情形下靜電場競賽問題時，如果運用特殊電荷模型對應的理論和方法進行解答，往往比較困難，有時容易發生錯誤．事實上，物理模型及相對應的理論之間往往存在特殊與一般的對應關系，如果能根據物理模型間特殊與一般關系，構建與特殊物理模型相對應的一般化物理模型，并揭示物理模型間特殊和一般關系，運用一般化物理模型所對應的物理規律，常能求解疑難的特殊物理問題，使疑難問題得到創新解答．本文結合物理競賽中的具體靜電場問題實例，就構建一般化靜電模型創新解答靜電物理問題作一小結．

1 構建等量異種電荷模型創新解答勻強電場中感應電荷問題

【例1】如圖1所示，在電場強度為E的勻強電場中放置一個均勻金屬球，其半徑為R，感應電荷在球上產生了面電荷密度為σ的電荷，σ和圖1中標出的θ角有關系，試求σ和θ的關系式．

圖1

分析：解答這個問題常規的方法有兩種，在普通物理中運用微積分方法求解，而在高中物理競賽中，通過構建疊加的等量異種均勻分布球形電荷模型結合類比方法求解．下面運用構建一般化電荷模型求解這個問題．

構建一般化電荷模型：現構建如圖2所示的等量異種點電荷模型，在兩點電荷中點放置金屬球，當滿足R d時，可以近似地認為，金屬球所處區域電場為勻強電場，且滿足

因而，可以認為，勻強電場是等量異種點電荷電場的中點區域的特殊電場．

圖2

等效構建鏡像電荷模型：在一般化電荷模型中，金屬球電勢為零，球面上非均勻分布的感應電荷可以等效為在球內對稱的鏡像電荷＋q′和－q′．根據鏡像法得

移植運用偶極子模型：在R d條件下，在求球面上和球面外區域激發電場時，由于a＝很小，可把兩鏡像電荷等效為偶極子，如圖3所示．

圖3

偶極子在球面上任意點P產生電場強度為

P點徑向電場強度滿足

由式（1）、（2）、（4）得

通過構建勻強電場模型的一般化電荷模型（等量異種電荷模型），運用近似、對稱、等效和移植等方法創新地解決了這個比較復雜的非均勻電荷問題．

2 構建雙球面鏡像電荷模型創新解答雙平面感應電荷問題

【例2】如圖4所示，兩塊無限大的接地導體平面相距為L，在兩板之間距離A板為d處放置一帶＋q電量的點電荷．試求每塊板上感應電荷．

圖4

分析：直接運用平面鏡像電荷法解答這個問題需要構建無數個鏡像電荷，求解比較復雜和困難．相關物理競賽參考資料［1］上常構建平面電容模型，運用電容器知識求解這個問題．下面構建一般化電荷模型求解這個問題．

（1）球面鏡像電荷模型和平面鏡像電荷模型的一般和特殊關系的論證

這兩種模型間的一般和特殊關系，證明如下．

球內鏡像電荷情形：

當x R時

與平面鏡像電荷規律相同，等效為平面鏡像電荷．

圖5

球外鏡像電荷情形：

圖6

如圖6所示，當點電荷Q放在接地導體球內時，內球面上非均勻分布的感應電荷等效為球外的鏡像電荷Q′，運用鏡像方法同理可得

當x R時

x′≈x Q′≈－Q

如今工業產業運用的電氣化系統中，數字技術最突出的一種應用就是現場總線技術，借助這一技術可以讓信息數據實現實時雙向傳輸，讓生產效率得到顯著提升。該技術可以讓電氣化系統與智能設備實現連接，然后借助光纖等網絡媒介，讓數據傳輸更加高效，這種傳輸系統是雙向的，對于控制平臺的操作人員來說，可以通過這一系統對數據進行傳遞，也可以通過平臺接收各類反饋信息，一旦發現問題可以采取有效的措施進行應對，這樣可以避免由于故障造成嚴重的損失，讓系統運行的質量以及效率得到提升。

球面鏡像電荷模型近似為平面鏡像電荷模型．

（2）構建一般化雙球面模型

如圖7所示，將左側的導體面等效為接地導體球（內球），半徑為R（R d），將右側的導體面等效為包裹內球的接地球殼，且表面與內球面距離為L，而點電荷被夾在中間．設外側感應電荷總量為Q1，內側感應電荷總量為Q2，由外球面接地可得

圖7

由于內球接地，因此在球心處的電勢為零．即

由式（6）、（7）解得

（3）特殊化推理

當d R，L R時，雙球面接地電荷模型近似為雙平面接地電荷模型，由式（8）、（9）解得

由上述分析可知，通過構建平面接地電荷模型的一般化電荷模型（雙球面接地電荷模型），運用接地球面電勢規律，創新地解答這個疑難問題．

3 構建橢圓運動模型創新解答復雜直線運動問題

【例3】如圖8所示，質量為m，帶電量為Q的點電荷放在離無限大導電板r處．現釋放該點電荷，求它經過多長時間到達板上．不計點電荷重力．

圖8

分析：解答這個問題的常規思路是，先運用等效方法構建平面鏡像電荷，然后，運用牛頓第二定律和庫侖定律列出微分方程，最后，解微分方程求解結果，解題過程比較復雜．下面運用構建一般化運動模型方法創新求解這個問題．

（1）等效方法構建固定鏡像電荷模型

先根據等效方法構建對稱的鏡像電荷－Q，如圖9所示，在等效構建鏡像電荷－Q的基礎上，把運動的鏡像電荷－Q等效為處于導體板上O點固定不動點電荷Q′，根據

圖9

（2）構建一般化橢圓運動模型

由于點電荷受到平方反比力的作用，因而，可以構建此直線運動一般化模型，即把點電荷運動近似為很扁的橢圓運動，長半軸．

（3）類比推理求解時間

與天體運動模型相似，運用類比思維方法得

根據開普勒第三定律得扁橢圓運動的運動周期滿足

通過等效、類比思維方法構建直線運動的一般化模型（扁橢圓運動），進行類比推理簡化解題過程，降低了求解復雜直線運動的靜電問題．

1 程稼夫．中學奧林匹克競賽物理教程（電磁學篇）．北京：中國科技大學出版社，2005