一道“帶電粒子在電磁場中運動”命題的思路及體會

黃良文

（浙江省永嘉中學 浙江 溫州 3251 00 ）

前段時間對學生進行了“帶電粒子在電磁場中的運動”的一輪復習，于是借機給學生做了一道以該考點為命題背景的自編計算題．學生做完后意猶未盡，相互討論著題目中的某些環節及解題思路，這讓學生對該考點的知識鞏固起到了很好的作用．

下面筆者就用這道以“帶電粒子在電磁場中的運動”為考點的自編題為例，談一下在命題中的思路及體會．

1 基本思路

1．1 編排軌跡

分析帶電粒子的運動軌跡是學生解決電磁場類題目的關鍵，所以教師命題時應先定好運動軌跡．

1．2 安放道具

為了讓帶電粒子順利完成預定的軌跡，需要在合適的區域加上電場、磁場或復合場．當無法用場來控制路線時，往往會在某些位置安放一些輔助道具，比如具有完美彈性的擋板，帶電粒子與擋板碰撞后會被鏡像反彈．

1．3 拼湊數據

為方便表達，數據的拼湊應在合理的前提下使答案盡量簡便．所以需要邊解題、邊拼湊、邊修正．

2 命題過程

圖1 預設軌跡

為了提高題目的趣味性，讓學生做題不覺得枯燥，筆者將軌跡定為一個心形圖案，如圖1所示．彎曲軌跡由磁場控制，直線軌跡由電場控制，圖案的底部尖角處則安放一塊擋板．坐標軸的建立如圖2所示，橫軸上方為垂直紙面的勻強磁場，下方為與直線軌跡平行的勻強電場．此時電場的出現反而無形中給學生透漏了橫軸下方的軌跡圖，所以，最終只能將電場去除．為了便于湊數據，直線軌跡與橫軸的夾角采用了45 °角．

圖2 預設背景

3 題目展示

3．1 原題及參考答案

如圖3所示，在x軸上方有一方向垂直紙面向里，磁感應強度為B的勻強磁場．兩寬度均為a的上、下擋板平行x軸放置，各自的中點P，Q均在y軸上，且O P＝a，OQ ＝ （1＋槡2）a．一正電粒子（不計重力）從P點以速度v0沿y軸正向離開上擋板．粒子從磁場出來后撞向下擋板的Q點，粒子與擋板碰撞前后，x方向的分速度不變，y方向的分速度反向且大小不變．π≈4）

（1）在圖3中畫出粒子的運動軌跡（作圖中涉及到角度需寫出必要的求解過程）；

（2）求粒子再次回到上擋板所需的時間t；

（3）若不借助下擋板，而采用磁感應強度也為B的半圓形勻強磁場，讓粒子在離開半圓形磁場后依然沿原先的路線運動，則半圓形磁場的最小面積為多大．

圖3 題目插圖

參考答案：

（1）設粒子從x軸上的S點離開磁場，由對稱性可知

軌跡如圖4所示．

圖4 粒子軌跡

（2）設粒子在x軸上方勻強磁場中做圓周運動的半徑為r，周期為T，則

設粒子在第二象限運動的時間為t1，第三象限運動的時間為t2，則

所以，粒子運動一周所需時間為

圖5 第（3）問軌跡

3．2 題目拓展及參考答案

還可以根據學生的水平或者結合教學目的，在此題目的基礎上改出多種版本．

比如，可以在題目第（1）問前面加入“速度選擇器”．

添加1：如圖6所示，在上擋板與x軸間還有一方向平行x軸向右的勻強電場，兩極板與y軸平行且關于y軸對稱，間距為a，兩板間電壓U＝a B v0，O點處有一粒子源，能沿y軸正方向放出速度大小不等的正電粒子，現在P點開一小孔，求從P點飛出的粒子的速度大小．

圖6 添加1插圖

參考答案：由題意可知，粒子從P點飛出，則所受洛倫茲力與電場力為一對平衡力，即

則v＝v0

也可以利用電場對帶電粒子有偏轉作用將題目條件替換，在第（3）問后添加．

添加2：如圖7所示，x軸上方有一對碰撞特性與下擋板相同的絕緣板，平行x軸放置且寬度均為2槡2a，中點分別為P，M，其中M點與Q點關于O點對稱，兩板間有沿y軸負方向的勻強電場但無磁場．現讓之前的正電粒子以v0的速度從電場右上角平行x軸進入電場．為使粒子能形成與（1）相似的軌跡，求勻強電場的場強E．

圖7 添加2插圖

圖8 添加2軌跡

參考答案：

由對稱性可知粒子在電場中的軌跡關于y軸對稱，軌跡如圖8所示．

在勻強電場區域沿x軸方向

沿y軸方向

在磁場區域

聯立得

E＝2B v0

當然也可以把電場放在x軸下方．但是設計的時候一定要注意不能超綱，而且畫的插圖應合理，不能誘導甚至誤導學生．

添加3：如圖9所示，若在第三象限（不含y軸）加一沿x軸負方向的勻強電場，在第四象限（含y軸）加一等大沿x軸正方向的勻強電場，為使粒子能垂直撞向下擋板且離開電場后依然沿原先的路線運動，應將下擋板沿y軸向上或向下平移多大距離．

圖9 添加3插圖

參考答案：

設擋板平移至Q′點，如圖10 所示，由平拋規律可知

圖10 添加3軌跡

對該問還可以進行難度的調控，比如將“垂直撞向下擋板”去除．

添加4：若在第三象限（不含y軸）加一沿x軸負方向的勻強電場，在第四象限（含y軸）加一等大沿x軸正方向的勻強電場，為使粒子撞向下擋板反彈離開電場后能依然沿原先的路線運動，試求下擋板沿y軸向下平移距離L的范圍及場強E的大小范圍．

參考答案：

要使粒子返回磁場后能沿原先路線運動，必須使粒子撞在下擋板的中點．

當E＝0時，無需移動下擋板，即L＝0．

當E取最大時，粒子剛好垂直撞向下擋板的中點，如圖10 所示．

粒子沿y軸方向的速度大小為

沿y軸方向

沿x軸方向

由圓周運動周期公式

當然，還可以將軌跡改成非45 °角的情況．

圖11 添加5軌跡

參考答案：

可得 θ＝60 °

3．3 特殊數據普通化

如果想直接將題目背景設計成粒子進入電場的速度為任意角的話，在作插圖時，可以先畫兩個關于y軸對稱等大的圓，如圖12 所示．然后將x軸補上去（只需低于圓心即可）交兩圓于S點、S′點，如圖13 所示．再分別過兩交點作圓的切線并延長交y軸于Q點，如圖14 所示．

圖12 畫兩對稱圓

圖13 補上x軸

圖14 過交點作切線

圖15 拼湊數據

最后修改題干中的數據即可．

如圖15 所示，依然以O P＝a為例．

4 測試反饋

最好能將命好后的題目給學生測試一下．學生會反應出題目中某些不合理的細節和其解題時碰到的難點在何處．結合學生的反饋對題目進行修正．

5 命題體會

題目最終還是給學生做的，命題時應把握好考點，否則，再精心設計的題目也是徒勞的．

插圖需標準，像帶電粒子在電磁場中運動的題目，常常要畫運動軌跡，找幾何關系，如果插圖不標準容易給學生造成不必要的麻煩甚至誤導學生．

多借鑒已有的題目，分析考點所對應的常用命題背景，博采眾長．在平時的教學中，如果碰到合適的題目還可以讓學生對這個題目進行改編，比如，替換條件或者增加一問，這樣，能培養學生將題目歸類和舉一反三的能力．