勻強磁場中的通電懸鏈線＊

邱為鋼

（湖州師范學院理學院 浙江 湖州 3130 00 ）

經典的懸鏈線是指質量均勻分布的繩子，在重力場中兩端固定時候的位形［1，2］．除重力之外，如果給予繩子某種外力，那么，繩子就會呈現類似懸鏈線形狀．垂直勻強磁場的通電導線所受的安培力就是一個很好的例子．在重力和安培力共同作用下，通電導線（懸鏈線）的形狀，相比通常的懸鏈線，有什么變化？

1 通電懸鏈線的形狀方程

首先，我們利用微元分析法推導通電懸鏈線的形狀方程，為簡單起見，通電懸鏈線是對稱放置的．設磁感應強度為B，方向垂直于通電懸鏈線所在平面，電流為I．懸鏈線長度為2l，線密度為ρ．忽略電流元之間的相互作用，弧長坐標在（s，s＋ds）的懸鏈線微元在重力G，兩端張力T（s），T（s＋ds）和安培力F作用下平衡，如圖1所示．通電懸鏈線微元在x，y軸方向受力平衡

通電懸鏈線上弧長微元滿足

把式（1）～（3）無量綱化，張力以ρg l為單位，長度以l為單位，比例參數

那么，式（1）、（2）轉化為

或者

圖1 勻強磁場中通電導線微元受力分析示意圖

現在先給出一般邊界情況下懸鏈線形狀方程式（3）～（7）的解．以通電懸鏈線的最低點為原點，在原點處切角是θ0，張力為T0．式（4）和式（5）積分，并利用原點的邊界條件，得到

式（6）直接積分得到

聯立式（8）和式（10 ），得到

把式（11 ）代入式（6），積分得到

其中

x的參數表示由式（9）、（13 ）和（14 ）給出．懸鏈線端點切角值θ1由a＝確定，其中a是懸鏈線的半寬度．當＞1時，式（14 ）出現的反正切函數具有多值性，θ1可能取多個值．

2 通電懸鏈線的形狀

通電懸鏈線的形狀由比例參數λ和懸鏈線寬度a確定，分為多類情況．取a＝為例來討論．

第一類情形是λ＞－a，θ0＝0．

當λ＝1時，懸鏈線形狀的參數方程是

懸鏈線形狀如圖2所示，其中虛線是未通電時懸鏈線的形狀．

第二類情形是λ＝－a，θ＝arc cos（a）．

此時懸鏈線的形狀就是“V”字形．

第三類情形是λ＜－a，θ0＝π．

此時懸鏈線形狀類似扭結形．當λ＝－1時，懸鏈線形狀的參數方程是

圖2 比例參數λ＝1時通電懸鏈線形狀

懸鏈線形狀如圖3所示，其中虛線是未通電時懸鏈線的形狀．

圖3 比例參數λ＝－1時通電懸鏈線形狀

第四類情形是λ＜－a，θ0＝．

此時懸鏈線底下部分重合，設重合部分長度為s0，分叉點處張力與底下部分重力平衡，即

T0＝s0

切角為θ0＝．仿照以上推導，計算得到分叉部分的參數方程為

當λ＝－1時，懸鏈線分叉部分形狀的參數方程是

懸鏈線形狀如圖4所示，其中虛線是未通電時懸鏈線的形狀．

圖4 比例參數λ＝－1時通電懸鏈線形狀

由于懸鏈線端點切角值θ1方程a＝是超越方程，沒有解析解，所以，其余比例參數時的懸鏈線形狀直接數值求解式（3～5）來畫出．數值計算發現，當λ＝－3時，存在多種形狀，因篇幅所致，只給出6種形狀，如圖5所示．

圖5 比例參數λ＝－3時通電懸鏈線形狀

3 結束語

我們的模型忽略了通電導線本身電流元的相互作用，解析和數值計算發現，相對于經典懸鏈線，通電懸鏈線形狀豐富多彩．當比例參數λ和懸鏈線寬度2a取不同組合時，由于最底端的幾何條件不一樣（切線水平或垂直），最底端的張力不一樣，以及體系重力勢能和安培力對應的勢能之和不一樣，懸鏈線形狀存在多種可能性．

1 于鳳軍，崔金玲，李立新．利用平衡原理導出懸鏈線方程．工科物理，1998 ，8（4）：14 ～16

2 李玉良 黃湘茹．勻質懸鏈幾何形狀的力學研究．物理與工程，2013 ，23 （1）：8～10