基于灰關聯度的數控磨床故障間隔時間分布模型決策*

范晉偉，梁曉霞，鄭德榮，劉勇軍

(北京工業大學 機電學院，北京 100124)

0 引言

科學技術的高速發展，使可靠性變成了產品的重要指標之一，并貫穿于產品的整個研制過程。數控磨床作為現代制造業的工作母機，其對可靠性研究的需求也顯得越來越迫切［1］。平均無故障間隔時間(即MTBF)作為衡量數控磨床可靠性的一個重要指標，其計算的精確性也日漸重要。

可靠性評價過程中，首先要收集整理數控磨床無故障間隔時間，對數據進行分析處理后，給出該系列數控磨床的故障間隔時間的分布模型。通常采用的模型有威布爾分布、指數分布、正態分布和指數正態分布，但具體符合哪種分布大部分情況仍然由人為因素決定，故本文引入了灰色關聯度分析法。

灰色關聯度分析法是灰色系統分析方法的一種，灰色系統理論提出了對各曲線形狀進行灰色關聯度分析的概念。灰色關聯度分析的意義是指在曲線擬合過程中，如果兩條曲線的變化態勢是一致的，即擬合程度較高，則可以認為兩者關聯度較大;反之，則兩者關聯度較小［2］。因此，通過計算比較擬合曲線關聯度的大小，便可更準確的決策故障間隔時間的分布類型，從而可精確計算數控磨床無故障間隔時間。

1 灰色關聯度分析法簡介

灰色關聯度分析［3-4］來自灰色系統理論，最早由鄧聚龍教授于1982 年創始。灰關聯分析法的基本思想是根據統計序列曲線與擬合分布幾何形狀的相似程度來確定相關聯度。兩曲線的幾何形狀越接近，它們的關聯程度越大。對于時間離散序列，所謂兩條曲線的接近程度是指兩時間序列在對應各時段上的曲線斜率的接近程度，若兩曲線在各時段上的曲線斜率相等或相差較小，則兩曲線的關聯度就大，反之就小。通過二十多年大批學者的發展，相繼發展了相對關聯度、絕對關聯度、斜率關聯度、T 型關聯度、B 型關聯度、C 型關聯度以及若干種改進的關聯度計算方法，吉林大學張英芝等人參考王堅強教授提出的新的灰色關聯度的計算模型［5］，將灰色關聯分析引入機床故障分布擬合的擇優中。具體方法如下:

(1)生成增量序列:

(2)標準化:

(3)計算各時間點的關聯系數:

ξ(tk)=

(4)計算兩序列的關聯度r(x1，x2):

r(X1，X2)越大，則擬合的分布與樣本圖在相鄰兩時間點的曲線斜率越相近，則擬合分布曲線就越能描述故障間隔時間的分布規律。因而r(X1，X2)最大的分布模型為描述產品故障分布規律的最佳函數。

2 灰關聯度分析在數控磨床中的應用

本文以MSK 系列數控磨床為例，運用灰關聯分析法對其故障間隔時間分布模型進行決策。

2.1 可靠性數據采集

可靠性采集數據的方式有定數截尾、定時截尾、隨機截尾三種方式［6］。

鑒于分析對象為數控磨床，成批量生產，且使用廠家分散，不可能進行全數試驗。而且基于產品故障間隔時間從幾小時到上千小時不等，范圍較廣，不方便使用定數截尾試驗，因論文對包裝機械采用定時截尾試驗。

2.2 繪制散點圖

將統計的樣本點按從小到大的順序排列，以樣本值為橫坐標，對應的經驗分布函數值為縱坐標，得到故障間隔時間累積分布函數F(t)的散點圖。

設壽命樣本值由小到大的觀測值為:t1≤t2≤tn，則其經驗分布函數［7］為:

根據上式計算各故障對于的經驗分布函數值結果如表1 所示。

表1 圖形擬合檢驗數據計算表

以ti作為橫坐標，F(ti)作為縱坐標，即可獲得故障間隔時間樣本分布的散點圖，如圖1 所示。

圖1 分布函數散點圖

2.3 故障間隔時間分布函數的擬合與檢驗

由圖1 的曲線走勢可知，該數控磨床故障間隔工作時間所服從的分布不會是正態分布或對數正態分布，而可能是指數分布或威布爾分布。

2.3.1 威布爾分布

(1)分布擬合

威布爾分布密度函數為［8］

威布爾分布函數為

式中，m為形狀參數，m ＞0 ;η 為尺度參數，η＞0 ;γ為位置參數，γ＞0 。在實際應用中，往往假設在t =0時產品便發生故障。這樣，簡化為兩參數威布爾分布，相應地，上式分別簡化為:

對于兩參數威布爾分布［9］，其累積分布函數為

對上式兩端進行變換，并取自然對數得

設樣本的線性回歸函數為:

則，B = m，A = - mlnη

根據最小二乘法的原理，假設y與x有如下關系:

其中εi～N(0，σ2)，

解矩陣方程得:

圖2 為威布爾分布擬合出來的概率分布函數:

圖2 威布爾分布擬合概率分布函數

(2)線性相關性檢驗

由于威布爾分布可以變成線性關系來處理，故在顯著水平α=0.05 下采用相關系數法進行檢驗。

若采用相關系數法進行檢驗，其相關系數為［10］:

由于有105 個故障間隔時間，顯著水平位0.05，則查表可以得到ρ(103，0.05)=0.19179 。

經計算得威布爾擬合函數的線性相關系數為:

2.3.2 指數分布

(1)分布擬合

指數分布概率密度函數為［8］:

指數分布函數為:

根據最小二乘法的原理擬合得:

則指數分布函數為:F(t)=1- e-0.001388723t

圖3 為指數分布擬合出來的概率分布函數:

圖3 指數分布擬合概率分布函數

(2)線性相關性檢驗

同樣在顯著水平α=0.05 下采用相關系數法進行檢驗［10］:

2.4 灰關聯度分析法決策分布模型

根據灰色關聯度分析方法的具體計算過程，下面分別計算兩種分布的關聯度值。

首先計算增量序列，其中Δy1表示威布爾分布擬合的數據列的增量，Δy2表示指數分布擬合的數據列的增量，Δy0表示原始整理的數據列的增量。然后分別進行標準化、計算各時間點的關聯系數。最后分別求得威布爾分布和指數分布擬合數據列與采集故障數據列的關聯度r(X1，X0)和r(X2，X0)為:

從幾何上，灰關聯度分析法實際上是一種曲線間幾何形狀的分析比較，即幾何形狀越接近，則關聯度越大，反之則小。所以根據上述計算結果，指數分布的灰色關聯度更大，所以確定MSK 系列數控磨床的故障間隔時間的分布符合指數分布。

3 結論

灰色關聯度分析法已成功應用于很多領域，并取得很好的效果。但在數控磨床可靠性領域的應用卻幾乎沒有。本文將灰色關聯度分析法引入數控磨床故障間隔時間分布模型的決策中，能夠定量的擇優選擇分布模型，避免了很多認為因素，使可靠性評價的結果更準確、更具說服力。同時，將MKS 系列數控磨床作為實例，運用灰關聯度分析法進行故障間隔時間分布模型的決策，詳細說明了灰關聯分析的具體方法和步驟。最后，灰關聯度分析簡單、實用，在數控磨床可靠性研究過程中發揮了很大作用。

［1］邱邵虎，吳必才，蘇春.國產數控機床可靠性現狀及其改善對策研究［J］.中國制造業信息化(學術版)，2009，38(7):1-4.

［2］肖新平，毛樹華.灰預測與決策方法［M］.北京:科學出版社，2013.

［3］呂峰，劉翔，劉泉.七種灰色系統關聯度的比較研究［J］.武漢工業大學學報，2000，22(2):41 -43.

［4］周媛，張穎超，張大慶.基于灰關聯度分析的綜合評價模型的應用研究［J］.科技管理研究，2006(1):230 -232.

［5］王堅強.關于灰色絕對關聯計算模型的探討［J］.數學理論與應用，2000(3):103 -108.

［6］金偉婭，張康達. 可靠性工程［M］. 北京:化學工業出版社，2005.

［7］周廣文，賈亞洲. 專用計算機數控機床故障率實驗研究［J］.組合機床與自動化加工技術，2005(1):45 -48.

［8］Nelson W. Analysis of accelerated life test data-part I:The Arrhenius model and graphical mothods［J］.Electrical Insulation ，IEEE Transactions on.2007(4):165 -181.

［9］Zhang L F，etal.A study of two estimation approaches for parameters of weibull distribution based on WPP［J］.Reliability Engineering and System Safety，2007(92):360 -368.

［10］茍衛東.高速加工中心可靠性統計技術應用［J］.制造技術與機床，2012(11):56 -61.