基于Matlab 的可調(diào)磁力減振鏜桿控制系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化*

陳 可，李 偉，羅紅波

(四川大學(xué) 制造科學(xué)與工程學(xué)院，四川 610000)

0 引言

鏜桿是鏜削加工工藝系統(tǒng)中剛性最薄弱的環(huán)節(jié)。目前一些已有的一些對(duì)于鏜桿的研究已經(jīng)系統(tǒng)地研究了內(nèi)置式動(dòng)力單減振、雙減振鏜桿，設(shè)計(jì)出了減振性能良好的鏜桿，獲得了相應(yīng)的成果，但是這些內(nèi)置式減振鏜桿也存在一些不足:

(1) 彈性支承元件橡膠圈容易疲勞老化，且耐熱性欠缺，容易失去設(shè)計(jì)剛度值;

(2) 橡膠圈與阻尼液直接接觸，易被腐蝕;

(3) 阻尼液的粘度受溫度影響明顯，阻尼值容易減小;

(4) 需要考慮阻尼液的密封，鏜桿在鏜削過程中在不停地振動(dòng)，容易泄漏，對(duì)密封性能要求高。

因此提出利用電磁場(chǎng)提供的剛度阻尼代替橡膠圈和阻尼液，設(shè)計(jì)一種新型動(dòng)力減振鏜桿，克服上述內(nèi)置式動(dòng)力減振鏜桿的不足。

1 控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型建立

圖1 磁力減振鏜桿結(jié)構(gòu)示意圖

可調(diào)磁力減振鏜桿的結(jié)構(gòu)如圖1 所示，鏜桿體內(nèi)有高密度大質(zhì)量的減振塊4，減振塊兩端安裝有減振塊鐵芯7，減振塊鐵芯外是電磁鐵6。鏜削加工時(shí)，電磁鐵通電產(chǎn)生磁場(chǎng)，減振塊鐵芯在磁場(chǎng)作用下受到電磁吸力，電磁鐵中通過適當(dāng)?shù)碾娏鳎隙说碾姶盼Υ笥谙露穗姶盼Γ箿p振塊懸浮在鏜桿體中，即磁支承，并提供設(shè)計(jì)的剛度阻尼，達(dá)到動(dòng)力減振目的。只要結(jié)構(gòu)參數(shù)和控制參數(shù)設(shè)置得當(dāng)，就可以使鏜桿具有很好的減振性能。

磁力減振鏜桿中電磁力主要是由電磁鐵為減振塊提供適應(yīng)減振要求的剛度和阻尼，因此擬采用四個(gè)獨(dú)立的單自由度控制系統(tǒng)來進(jìn)行磁力減振鏜桿的電磁鐵控制系統(tǒng)簡(jiǎn)化。磁力減振鏜桿是利用電磁鐵產(chǎn)生的電磁力使減振塊懸浮于鏜桿的減振腔中，在鏜桿工作過程中，減振塊受到外力干擾會(huì)離開平衡位置，此時(shí)需要電磁力作用把減振塊吸回原來的平衡位置，因此比較好的設(shè)計(jì)方案是電磁鐵繞圈采用差動(dòng)聯(lián)接方式。磁力減振鏜桿一個(gè)自由度的電磁力控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2 所示。

圖2 磁力減振鏜桿電磁鐵差動(dòng)控制示意圖

這種設(shè)置使得電磁鐵能夠在兩個(gè)方向上對(duì)減振塊鐵芯產(chǎn)生磁力，整個(gè)磁力減振鏜桿由四個(gè)這樣的磁力控制系統(tǒng)構(gòu)成。此控制系統(tǒng)是采用的差動(dòng)聯(lián)接，設(shè)減振塊在坐標(biāo)正方向有位移，減振塊x方向電磁力與電流和位移的關(guān)系推導(dǎo)如下:

在圖2 所示的差動(dòng)聯(lián)接勵(lì)磁方式下，磁極1 的勵(lì)磁電流為偏置電流io與控制電流ix之和io+ix，磁極2 的勵(lì)磁電流為偏置電流與控制電流ix之差io-ix。磁極1 處的氣隙為設(shè)計(jì)氣隙s與氣隙變化量x之差s-x，磁極2 處的氣隙為設(shè)計(jì)氣隙x與氣隙變化量x之和s+x。減振塊受到的電磁力線性化后為:

式中

假設(shè)干擾力p(t)=0 ，可得

對(duì)上式進(jìn)行拉普拉斯變換，得

即可得到磁力減振鏜桿電磁鐵以位移X為輸出，電流I為輸入的傳遞函數(shù)模型

磁力減振鏜桿電磁鐵閉環(huán)控制框圖如圖3 所示，此控制系統(tǒng)由控制器Gc(s)、功率放大器Ga(s)、傳感器Gb(s)和對(duì)象模型G(s)組成。對(duì)象模型就是磁力減振鏜桿電磁鐵和減振塊組成的被控對(duì)象。

圖3 磁力減振鏜桿電磁鐵閉環(huán)控制示意圖

控制方式采用目前工業(yè)上廣泛應(yīng)用的PID 控制，其結(jié)構(gòu)改變靈活，參數(shù)調(diào)整方便，在工業(yè)控制過程中效果顯著且易于實(shí)現(xiàn)。控制器的傳遞函數(shù)為［10］

式中，Kp為比例系數(shù)，KI為積分系數(shù)，KD為微分系數(shù)，Td為微分時(shí)間常數(shù)。由于微分時(shí)間常數(shù)很小，可以忽略不計(jì)，因此式(5)可以簡(jiǎn)化為:

由此可建立如圖3 所示的計(jì)算機(jī)閉環(huán)控制系統(tǒng)框圖。框圖中為使用計(jì)算機(jī)控制增加了A/D 轉(zhuǎn)換器及D/A 轉(zhuǎn)換器，設(shè)A/D 轉(zhuǎn)換器增益為Kad，D/A 轉(zhuǎn)換器增益為Kad。

將PID 控制的磁力減振鏜桿等效于一般的彈簧阻尼減振鏜桿，則

式(7)即為磁力減振鏜桿時(shí)域剛度和時(shí)域阻尼與控制系統(tǒng)參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系。由式子可見只要結(jié)構(gòu)和控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)得當(dāng)，就可以得到所需要設(shè)計(jì)的剛度和阻尼。

2 控制系統(tǒng)仿真

根據(jù)磁力減振鏜桿的計(jì)算機(jī)閉環(huán)控制示意圖3，可以在數(shù)學(xué)軟件Matlab 的Simulink［10］進(jìn)行控制仿真。此時(shí)PID 控制器參數(shù)及被控對(duì)象參數(shù)都還是未知量，鏜桿設(shè)計(jì)時(shí)一對(duì)磁極面積，線圈匝數(shù)，氣隙，減振塊質(zhì)量，偏置電流。假設(shè)PID 控制器比例系數(shù)取，積分系數(shù)取、微分系數(shù);增益系數(shù)取P=2.0，增益系數(shù)取Q=10。由式f(ix，x)= k1x + k2ix

可以計(jì)算出k1=5.026×104N/m，k2=33.51A/m。稱以上參數(shù)賦值為賦值1。給控制系統(tǒng)參數(shù)賦值后，可在Simulink 中進(jìn)行仿真了。假設(shè)減振塊此時(shí)有一個(gè)幅值為0.2mm 的振動(dòng)，模擬控制系統(tǒng)此時(shí)作出的響應(yīng)。這個(gè)振動(dòng)可以用一個(gè)階躍信號(hào)表示，其作用時(shí)間步為5e -5s，初值為0.0002m，終值為0。系統(tǒng)響應(yīng)如圖4 所示

圖4 賦值1 時(shí)控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

由圖可見在控制系統(tǒng)參數(shù)在賦值1 時(shí)，PID 控制能夠使系統(tǒng)回復(fù)平衡位置附近，但系統(tǒng)靜、動(dòng)態(tài)誤差大，因此需要對(duì)控制系統(tǒng)的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，包括三個(gè)方面:

1)PID 控制器的三個(gè)參數(shù)，分別為比例系數(shù)KP，積分系數(shù)Ki和微分系數(shù)Kd;

2)D/A 轉(zhuǎn)換器增益為Kda與功率放大器的增益Aa之積增益系數(shù)P;

3)A/D 轉(zhuǎn)換器增益為Kad與功率放大器的增益Aa之積增益系數(shù)Q;

3 控制系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化

由仿真分析可以看出PID 控制器參數(shù)對(duì)控制效果有直接的影響，如果控制參數(shù)取得不當(dāng)時(shí)，對(duì)系統(tǒng)的控制性能十分不利。這些控制參數(shù)必須要進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，使得控制系統(tǒng)性能最優(yōu)化。優(yōu)化的目的是希望整個(gè)控制系統(tǒng)具有良好的動(dòng)態(tài)、靜態(tài)特性，使系統(tǒng)具有很好的穩(wěn)定性，并且要求響應(yīng)速度快，超調(diào)量小。在這里我們選用ItAE 誤差函數(shù)，

優(yōu)化目標(biāo)就是使式(8)W取得最小值。將其描述為數(shù)學(xué)模型:

目標(biāo)變量:Kp、Ki、Kd、P、Q;

優(yōu)化目標(biāo):優(yōu)化函數(shù)取得最小值;

約束條件:100 ≤Kp≤5000 ，100 ≤Ki≤50000 ，

而根據(jù)減振塊的剛度阻尼要求，即要使磁力減振鏜桿刀尖相對(duì)振幅獲得較小值時(shí)，根據(jù)在Maple 中編寫好優(yōu)化程序計(jì)算得到修正后的參數(shù)a =0.79 ，u =0.20 ，ζ1=0.09 ，ζ2=0.23 ，計(jì)算可得k =3.2×105N/m，c=753.48N·s/m。根據(jù)式(7)，可以得到Kp，Ki，Kd，P，Q，i0之間的約束關(guān)系為:

式中，ω 為刀尖受到外界激振力頻率。由于當(dāng)外界激振力頻率與鏜桿體固有頻率相等時(shí)會(huì)產(chǎn)生共振，振幅將會(huì)達(dá)到最大值，因此設(shè)計(jì)時(shí)ω 取鏜桿固有頻率值，使減振鏜桿在這個(gè)頻率的外界激振力作用下也能夠有較好減振性能。即取

在上述優(yōu)化數(shù)學(xué)模型中還應(yīng)該加入式(9)的等式約束。

這個(gè)優(yōu)化過程可以利用Simulink 與Matlab 優(yōu)化工具箱相結(jié)合進(jìn)行優(yōu)化。首先在Simulink 中繪制控制系統(tǒng)與誤差函數(shù)模型，由于要對(duì)系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，而在Simulink 中各模塊參數(shù)是Simulink 里的局部參數(shù)，不能傳遞到Matlab 工作空間中，因此需要對(duì)各參數(shù)所在子系統(tǒng)進(jìn)行封裝，以便能夠設(shè)置成全局變量進(jìn)行優(yōu)化。圖中PID 框?yàn)镻ID 控制器子系統(tǒng)的封裝，設(shè)置Kp、Ki、Kd為參數(shù);CLTG 框?yàn)榇帕p振鏜桿電磁鐵子系統(tǒng)的封裝，設(shè)置偏置電流io為參數(shù);P框?yàn)樵鲆娣庋b，設(shè)置P為參數(shù);Q框?yàn)樵鲆娣庋b，設(shè)置Q為參數(shù)。

圖5 控制系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化模型

設(shè)置好參數(shù)后，就可以利用Matlab 的優(yōu)化工具箱中的有約束優(yōu)化函數(shù)fmincon()進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化。

程序編制好后，直接在Matlab 中運(yùn)行，即可根據(jù)ItAE 準(zhǔn)則得到一組優(yōu)化參數(shù)。

用優(yōu)化的控制參數(shù)進(jìn)行仿真，可以看到控制系統(tǒng)具有較小的超調(diào)量，較快的響應(yīng)速度和動(dòng)、靜態(tài)穩(wěn)定性。如圖6 所示。

圖6 優(yōu)化后系統(tǒng)響應(yīng)曲線

4 結(jié)論

通過建立可調(diào)磁力減振鏜桿的控制系統(tǒng)模型，并經(jīng)過對(duì)磁力減振鏜桿減振塊剛度阻尼與傳統(tǒng)彈簧阻尼液剛度阻尼的等效，利用Matlab 中Simulink 模塊及優(yōu)化工具箱，根據(jù)ItAE 準(zhǔn)則，得到一組優(yōu)化的控制參數(shù)KP =590 、Ki =540.77 、Kd =3.3 、P =2 、Q=8.04。

利用此優(yōu)化參數(shù)進(jìn)行仿真，可以看到控制系統(tǒng)具有較小的超調(diào)量，較快的響應(yīng)速度和動(dòng)、靜態(tài)穩(wěn)定性，控制參數(shù)影響可調(diào)磁力減振鏜桿減振塊的剛度阻尼，最終影響鏜桿的減振性能，說明此優(yōu)化方法是可行的。

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