基于有限元法的滾珠絲杠進給系統熱特性分析*

黃 俊，袁軍堂，汪振華，董香龍

(南京理工大學 機械工程學院，南京 210094)

0 引言

滾珠絲杠副傳動系統，因具有傳動精度高、傳動效率高、傳動的可逆性、同步性能好、使用壽命長等優點而被廣泛應用于數控機床及加工中心，其熱變形將嚴重影響機床的加工精度。研究表明由機床熱變形引起的誤差已占機床全部誤差40%～70%［1］。為保證機床的加工制造精度，需要對滾珠絲杠的熱變形進行誤差補償設計。因此對實際工況下的滾珠絲杠進給傳動系統進行有限元熱仿真分析，對于提高機床的整體精度具有指導意義。

國內外已對滾珠絲杠進給系統熱分析進行了相關的研究:易學平［2］對機械系統中的絲桿機構在工作過程中摩擦引起的溫升和熱變形原因進行分析，得出了適用于實際工況的溫度場經驗公式。芮執元［3］建立中空絲杠傳動過程中溫度場和熱變形的數學模型，通過有限元仿真模擬和絲杠冷卻模擬運行試驗驗證該模型。王大偉［4］考慮絲杠導程引起表面積變化及螺母移動對溫度場的影響，建立滾珠絲杠傳動過程中的溫度場和熱變形模型。劉興業［5］、曹巨江［6］對加工中心滾珠絲杠傳動系統進行溫度場和熱變形分析，得出進給系統溫度場分布及變形情況。Huang［7］用絲杠螺母、前后軸承等處熱源的溫度作為模型的變量，用多元線性回歸的方法預測了滾珠絲杠在不同轉速下的熱變形。Kmisk［8］等通過有限元法建立機床滾珠絲杠進給系統的溫度場。Ahn［9］結合傳熱學理論提出一維傳熱模型和分段模型來實時預測系統的溫度場變化及熱變形情況。

本文以滾珠絲杠直線進給系統為研究對象，在ANSYS 中對不同進給速度和不同冷卻液流量下的溫度場進行特性分析，并重點分析在進給速度30m/min條件下進行熱變形分析，研究出滾珠絲杠整體熱變形規律，為進給系統熱補償提供依據。

1 滾珠絲杠進給系統熱分析模型

滾珠絲杠進給系統的主要熱源是螺母的移動摩擦生熱和軸承的旋轉摩擦生熱。絲杠與外界的熱交換形式主要為熱傳導。

1.1 滾珠絲杠導熱理論模型

在導熱過程中，單位時間內通過給定截面的導熱量，正比于垂直該截面方向上的溫度變化率和截面面積，熱量傳遞的方向則與溫度升高的方向相反，這就是導熱基本定律即傅里葉導熱定律［10］。傅里葉導熱定律用熱流密度q表示時有下列形式:

q—熱流密度，W/m2;λ—導熱系數，W/m·℃;

t—物體的溫度，℃;λx，λy，λz—材料沿x，y，z三個方向的導熱系數;nx，ny，nz—等溫面沿x，y，z三個方向的分量;gradt—空間某點的溫度梯度。

絲杠工作工程中沒有內熱源，載荷為軸對稱形式，滿足熱傳導微分方程:

絲杠溫度分布初始條件為

式中:T0—初始溫度，絲杠與工作環境的初始溫度均取293K。

1.2 發熱量及邊界條件計算

(1)軸承發熱量主要是由軸承的摩擦力矩引起的，其發熱量可由下式計算:

式中:n為絲杠的轉速(r/min);M為滾動軸承的摩擦力矩(N/mm)。

其中M = M0+ M1

式中:M0—與軸承類型、轉速和潤滑油性質有關的力矩;M1—與軸承所受負載有關的力矩。

(2)絲杠螺母發熱量與軸承類似，也是主要由摩擦力矩引起，其計算公式:

式中:n為絲桿的轉速(r/min);M為滾珠絲桿螺母副的摩擦力矩(N/mm)。

其中M =2z(Me + Mg)cosβ

式中:Me—摩擦阻力矩;Mg—幾何滑移摩擦力矩;z—滾動體數目;β—滾珠絲桿滾道的螺旋角。

式中mα，mβ—與球接觸變形橢圓區偏心率有關的系數;Q—單個球體所受徑向壓力(N);f—滑動摩擦系數;μ1、μ2—分別是材料的泊松比;E1，E2—分別是材料的彈性模量;分別是滾道和滾珠的曲率半徑;

ρ11，ρ12，ρ21，ρ22分別是兩滾動體的主曲率。

(3)絲杠與空氣的熱傳導

絲杠以一定速度旋轉且絲杠具有螺旋槽特征，故其對流放熱的效率應比等直徑光桿要大。其準則方程為

式中:Re—雷諾數，—絲杠角速度;d—絲杠直徑;Pr—普朗特數。

(4)絲杠熱變形基本方程

根據材料熱膨脹變形理論，滾珠絲杠進給系統中絲杠的熱變形主要有溫升值及熱膨脹系數α 決定:

式中:α—絲杠的線膨脹系數，K-1;Δt—溫度變化值;l—絲杠的長度。

結合公式(1)～(6)，及絲杠與冷卻介質熱對流溫度分布表達式［3］，計算出不同進給速度和冷卻流量下的邊界條件，q1、q2分別為軸承和絲杠螺母的熱流密度，如表1 和表2 所示。

表1 不同進給速度下的邊界條件

表2 不同冷卻液流量下的強制對流系數

2 滾珠絲杠進給系統有限元分析

滾珠絲杠進給系統的熱態特性分析主要包括系統的穩態溫度場分析、瞬態溫度場分析以及熱-結構耦合場分析。

2.1 建模及網格劃分

先通過Solidworks 建立滾珠絲桿系統的模型，再導入ANSYS，其三維簡化模型如圖1 所示。建模時，用等直徑的空心光桿代替滾珠絲杠，用等直徑的空心圓柱體代替軸承以簡化模型。

圖1 滾珠絲杠進給系統有限元模型

絕大部分絲杠的材料主要為鉻鋼，其屬性如下:彈性模量E=210GP，泊松比μ =0.3，密度ρ =7800kg/m3，熱膨脹系數α =1.2e -5 1/℃，熱導率λ =30W/(m·℃)，比熱C=450J/(kg·℃)，各零件結合面的熱接觸傳導系數= 3200(w/℃)。選擇熱實體單元SOLID70 劃分網格。采用具有熱結構特性的面接觸對CONTA174 和TARAE170 來模擬絲杠系統中絲杠與螺母及軸承之間的熱傳導。由于絲杠的不規則，采用自由法劃分網格。

2.2 移動載荷的施加

機床在空載進給時，螺母一直往復移動，為得到真實的溫度場，運用APDL 語言在絲杠上施加往復移動的熱源載荷，螺母每移動一次，在前一位置處刪除熱流密度，施加對流載荷，再在新的位置處刪除其對流載荷并施加熱流密度，進行求解。如此往復進行，直到絲杠、螺母和軸承溫度不再升高，達到熱平衡為止。

3 計算結果分析

3.1 溫度場、熱與結構耦合分析

以進給速度30m/min 為例，螺母循環5000 次時，對絲杠進給系統的溫度變化進行定量的仿真計算，驗證絲杠傳動過程中的溫度變化理論。

由上圖2 可以看出進給系統各部分的最高溫升分布不均勻，滾珠絲杠系統中兩端軸承溫度最高，約為45℃，溫升為25℃，滾珠絲杠中間處溫度相對較低，約為25℃，溫升為5℃，且溫度由中間向兩端逐漸增大。由溫度不均引起的熱變形也不一樣，容易產生過大的加工誤差，可以通過采取散熱裝置使得熱負載均勻。

在實際工況下，隨著絲杠表面溫度的升高，其與外界環境的溫差增大，故對流放熱系數也增大，當單位時間內流入的熱量和流出的熱量相等時，系統達到熱平衡，并保持穩定狀態。絲杠達到動態熱平衡的時間與絲杠材料的傳熱系數、絲杠周圍空氣的流動速度、絲杠冷卻方式、絲杠兩端軸承的潤滑冷卻系統等因素有關。

由圖3 可知，螺母需要大約800s 達到熱平衡狀態，軸承在前500s 溫升很快，1000s 后溫度逐漸趨于熱平衡。因此，在結構設計時，采用合理的潤滑和冷卻系統，軸承的溫升會迅速的減小，減小其對絲杠系統的影響。

圖2 螺母循環5000次的溫度場

圖3 螺母、兩端軸承溫升曲線

同時在絲杠工作導程部分各點的溫度分布和變形情況，如圖4 和圖5。可以看出，絲杠兩端受軸承的影響溫升較大，若考慮絲杠兩端支撐軸承的約束，調入溫度載荷分析，絲杠兩端的節點位移遠大于中間節點。

圖4 絲杠不同節點的溫度

圖5 絲杠節點位移變化曲線

圖6 中，絲杠總的伸長量約為25.4μm，由數學模型中Δl =α×Δt × l計算得到絲杠的伸長量為25.25μm，從而說明分析模型的準確性。

圖6 滾珠絲杠熱位移云圖

3.2 進給速度對平衡時間的影響

在未通冷卻液時，不同空載進給速度下，絲杠軸上溫升最高點的溫升曲線如圖7 所示，30m/min，20m/min、10m/min 空載進給時熱平衡的時間分別是1200s，1500s，2400s，進給速度越快，達到熱平衡的時間越少。

3.3 冷卻液對平衡時間的影響

中空絲杠一般只用于高轉速、重負載、大傳動力和高精度的工作狀況，當以高速空載進給速度30m/min進給時，分別通入1L/min，2L/min，5L/min 流量的冷卻油，其中油層對應的狀態分別是層流、過渡、紊流狀態。經過加載往復移動熱源載荷后，得到絲杠溫升最高點處的溫升曲線，見圖8。

圖7 不同進給速度時系統的溫升曲線

圖8 不同冷卻液流量下的溫升曲線

當流量分別以2L/min 和5L/min 時，二者的溫差值控制在2℃之內，故較適宜的冷卻液流量為2L/min，絲杠軸表面的熱平衡溫度顯著下降到13℃，達到熱平衡時間僅為200s。

4 結論

根據對滾珠絲杠進給系統熱有限元仿真，獲得螺母、軸承的溫升變化曲線，通過對絲杠各節點溫度變化的對比，可以得出軸承的發熱對絲杠溫升影響較大，為設計合理的軸承系統提供參照。以移動載荷分析的熱結果，進行熱-結構耦合分析，得到絲杠節點的熱變形曲線和總熱伸長量，為絲杠的熱補償提供依據。對不同進給速度和冷卻流量的定量分析，為進給系統的熱平衡提供運行參數。

［1］陳兆年，陳子辰.機床熱態特性基礎［M］.北京:機械工業出版社，1989.

［2］易學平.絲杠結構熱變形及近似估算探討［J］.機械工程與自動化，2011，166(3):170 -171.

［3］芮執元，張傳輝，郭俊鋒.基于有限元法的中空冷卻滾珠絲杠溫升及熱變形研究［J］. 機械設計，2011，28(12):17 -20.

［4］王大偉，劉永紅，張龍，等.基于有限元法的滾珠絲杠傳動過程中的溫度場和熱變形仿真［J］. 計算機輔助工程，2009，18(2):29 -33.

［5］劉興業，殷國富，劉立新，等. 龍門加工中心滾珠絲杠傳動系統的溫度場和熱變形分析［J］. 組合機床與自動化加工技術，2011，4(4):1 -4.

［6］曹巨江，李龍剛，劉言松，等. 基于有限元法的高速空心滾珠絲杠系統熱特性仿真［J］. 組合機床與自動化加工技術，2010(12):21 -24.

［7］Shyh-Chour Huang. Analysis of a model to forecast thermal deformation of ball screw feed drive systems［J］. International Journal of Machine Tools and Manufacture，1995，35(8):1099 -1104.

［8］S. K. Kim，D. W. Cho，Real-time estimation of temperature distribution in a ball-screw system［J］. International Journal of Machine Tools ＆ Manufacture，1997，37(4):451 -464.

［9］Ahn，J.Y.，Chung，S.C. Real–time estimation of the temperature distribution and expansion of a ball screw system using an observer［C］. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers，Part B:Journal of Engineering Manufacture，2004，218 (12):1667 -1681.

［10］楊世銘，陶文銓. 傳熱學［M］. 北京:高等教育出版社，2006.