反復荷載作用下鋼筋混凝土柱的非線性分析

高向玲 張元達

(同濟大學建筑工程系，上海200092)

1 引言

鋼筋混凝土柱作為混凝土框架結構及橋梁結構的主要承重構件，在地震作用下表現為顯著的彈塑性受力特性。準確預測地震作用下鋼筋混凝土柱的受力性能及其震后殘余變形，對評估結構的震害程度和安全性具有重要意義。

研究者對鋼筋混凝土柱進行了大量的研究。Lee 和 Elnashai[1]基于纖維單元程序 ADAPTIC，對彎剪作用下鋼筋混凝土柱的滯回性能進行了模擬分析;Esmaeily和Xiao[2]基于纖維單元模型編制了橋墩的滯回分析程序;龍凌等[3]基于ANSYS對外包鋼筋混凝土加固鋼筋混凝土柱進行了有限元分析;高利軍等[4]基于ABAQUS對考慮約束混凝土的RC柱的承載力進行了研究。

本文分別采用ABAQUS和OpenSEES兩種不同的有限元分析軟件對一根鋼筋混凝土柱在反復荷載作用下的受力性能進行了模擬，并與試驗結果進行了對比，比較了兩者的異同。

2 基于ABAQUS的數值模擬

2.1 混凝土損傷塑性模型簡介

ABAQUS提供的混凝土損傷塑性模型是依據Lubliner[5]，Lee 和 Fenves[6]提出的損傷塑性模型確定的，其目的是為分析在循環加載和動態加載條件下混凝土結構的力學響應提供普適的材料模型，它考慮了材料拉壓性能的差異，主要用于模擬低靜水壓力下由損傷引起的不可恢復的材料退化。這種退化主要表現在材料宏觀屬性的拉壓屈服強度不同、拉伸屈服后材料表現為軟化及壓縮屈服后材料先硬化后軟化、拉伸和壓縮采用不同的損傷和剛度折減因子、在循環荷載作用下，剛度可以部分恢復等。

2.2 混凝土應力-應變關系

采用損傷塑性模型時，需要計算混凝土應力、非彈性應變和損傷因子，本文采用《混凝土結構設計規范》[7](GB 50010—2010)(下文簡稱為《規范》)推薦的混凝土應力-應變骨架曲線計算損傷塑性模型中所需的參數。

2.2.1 混凝土受拉應力-應變關系

《規范》建議的混凝土單軸受拉應力-應變關系表達式見式(1)—式(3)。

式中，αt為混凝土單軸受拉應力-應變曲線下降段的參數值;ft，r為混凝土的單軸抗拉強度代表值;εt，r為與單軸抗拉強度 ft，r相應的混凝土峰值拉應變。

由于KEEL試驗室提供的試驗柱的混凝土立方體抗壓強度實測值為35.7 N/mm2，其抗拉強度ft，r近似取立方體抗壓強度的十分之一，即3.5 N/mm2，彈性模量 Ec取 2.8 × 1010N/m2，查《規范》得 εt，r=128 ×10－6，αt=3.82。混凝土受拉本構相關參數取值如表1所示。2.2.2 混凝土受壓應力-應變關系

表1 混凝土受拉本構參數Table 1 Paraneters of concrete for tension

《規范》建議的混凝土單軸受壓應力-應變關系表達式見式(4)—式(7)。

式中，αc為混凝土單軸受壓應力-應變曲線下降段的參數值;fc，r為混凝土的單軸抗壓強度代表值;εc，r為與單軸抗拉強度 fc，r相應的混凝土峰值壓應變。

本文中 fc，r取 35 × 106N/mm2，Ec取 2.8 ×1010N/m2，查《規范》求得 εc，r=1 720 × 10－6，αc=1.65。混凝土受壓本構相關的參數取值如表2所示。

表2 混凝土受壓本構參數Table 2 Parameters of concrete for compression

2.2.3 損傷因子的確定

本文采用基于能量損失的方法來計算損傷因子。按照Najar的損傷理論[8]，脆性固體材料的損傷定義為

式中，W0為無損材料的應變能密度，且

式中，E0為無損材料的四階彈性系數張量;E為損傷材料的四階彈性系數張量;ε為相應的二階應變張量;ΔWε表示無損材料的應變能密度W0與損傷材料的應變能密度Wε之差。

對于混凝土單軸受壓的一維受力狀態，可得

式中，W0和Wε分別為混凝土應力-應變關系圖(圖1)中三角形OAB和陰影部分的面積。

圖1 基于能量損失的損傷模型Fig.1 Energy loss-based damage model

根據式(14)，只要知道混凝土的受壓或者受拉應力-應變關系，將陰影部分面積分解成若干個梯形面積之和，運用Matlab編制相應的計算程序，即可得出陰影部分的近似面積。

本文采用《規范》推薦的混凝土應力-應變骨架曲線計算損傷因子。混凝土受拉上升段簡化為直線，不考慮損傷;混凝土受壓考慮全過程損傷。非彈性應變根據下式求得:

通過計算得到受拉損傷因子Dt和受壓損傷因子Dc隨非彈性應變的變化曲線分別如圖2和圖3所示。

圖2 受拉損傷因子-非彈性應變關系Fig.2 Tensile damage factor vs inelastic strain

圖3 受壓損傷因子-非彈性應變關系Fig.3 Compression damage factor vs inelastic strain

從圖2和圖3中可以看出，損傷因子均隨著非彈性應變的增加而增加，并且趨于1;隨著非彈性應變的增加，損傷因子的增長速率逐漸減小。

2.2.4 損傷塑性模型參數

1)混凝土受壓剛度恢復系數wc

此參數表示混凝土從受拉狀態轉入受壓狀態時混凝土材料的抗壓剛度恢復程度。由于本試驗是對柱端施加低周反復荷載，混凝土會經歷拉、壓的反復作用，故此參數在模擬中顯得尤為重要。當wc=0時表示材料不能恢復剛度;當wc=1時，則表示材料完全恢復抗壓剛度;當wc在0～1之間時，則表示剛度只能部分恢復，如圖4所示。經過反復試算，文中取wc=0.3。

圖4 受壓剛度恢復系數Fig.4 Recovery coefficient of compression stiffness

2)其他參數

混凝土損傷塑性模型其他相關的參數還包括:Ψ為膨脹角，μ為黏性系數，∈為流動勢偏移值，αf為雙軸極限抗壓強度與單軸極限抗壓強度的比值，Kc為拉伸子午面與壓縮子午面上第二應力不變量之比。各參數取值如表3所示。

表3 混凝土損傷塑性模型參數Table 3 Parameter of concrete damage plastic model

2.3 鋼筋本構模型

鋼筋本構模型采用PQ-Fiber中的USTEEL02模型[9]。PQ-Fiber是清華大學土木工程系基于ABAQUS開發的一組材料單軸滯回本構模型的集合，其中的USTEEL02本構模型是一種再加載剛度按Clough本構退化的隨動硬化單軸本構模型。

該模型如圖5所示，其主要特點是在反向再加載時，并不立即指向歷史最大點(εmax，fmax)，而是先按卸載剛度加載至歷史最大點對應應力的0.2倍，即0.2fmax，再指向歷史最大點。此模型定義的強度退化模型考慮累積損傷引起的鋼筋混凝土構件的受彎承載力退化，可采用表達式(16)表示如下:

式中，fyi表示第i個加載循環的屈服強度，正負號分別表示正向或反向加載;α為屈服后剛度系數;Eeff，i表示加載至第i個循環時的有效積累滯回耗能，將最大響應和滯回耗能兩個物理量結合在一起，在累積滯回耗能相等的情況下，較小位移幅值下的承載力退化程度小于較大位移幅值下的承載力退化程度。

圖5 反向再加載規則Fig.5 Rule of inverse loading

式中，Ei為第i個循環的滯回耗能;εi為第i個循環所達到的最大應變;εf為鋼筋混凝土構件在單調加載下達到破壞時的受拉鋼筋應變。

該模型中，鋼筋屈服強度的退化以及骨架曲線的下降并非僅考慮鋼筋本身的劣化，而是綜合反映了鋼筋混凝土界面的粘結滑移以及混凝土保護層剝落等引起的綜合退化效果。

2.4 有限元模型建立

2.4.1 試件尺寸及配筋

本文采用Kawashima Earthquake Engineering Laboratory數據庫[10]里的第一組數據的 TP-2作為研究鋼筋混凝土柱數值模擬的對象，柱基本信息如表4所示，柱截面尺寸及配筋分別如圖6和圖7所示。

表4 鋼筋混凝土柱信息Table 4 Information of reinforced conerete column

2.4.2 模型建立

共創建三個分析步，初始分析步施加柱底固端約束;分析步一施加柱頂荷載，模擬中為了消除集中荷載的影響，將柱頂力簡化為均布荷載，取為981 250 Pa;分析步二采用位移加載模式，在柱頂端施加低周反復荷載。為了消除加載端的應力集中，在水平加載處設置了剛度較大的墊塊，如圖8所示。

圖6 試件尺寸及配筋圖Fig.6 Dimension and reinforcement of testing element

圖7 截面配筋圖Fig.7 Reinforcement of cross section

圖8 柱子模擬圖Fig.8 Diagram of column

混凝土采用縮減積分實體單元C3D8R，鋼筋采用桁架單元 T3D2，進行分離式建模，采用ABAQUS軟件自帶的Embed技術，將鋼筋嵌入到混凝土中，共同受力。

2.4.3 加載制度

本文進行低周反復的位移加載制度下柱的受力模擬，加載制度如圖9所示。

圖9 位移加載模式Fig.9 Loading mode of displacement

2.4.4 應力云圖

ABAQUS程序分析的結果如圖10、圖11所示。從圖10中可以看出，混凝土柱的底部區域應力最大，破壞從柱底部區域開始發展，符合試驗現象描述。圖11中柱和基礎相交處的底部箍筋所受應力大部分達到屈服強度。2.4.5 數值模擬結果與試驗結果比較

圖10 混凝土應力云圖Fig.10 Stree distribution of concrete

圖11 鋼筋應力云圖Fig.11 Stree distribution of reinforcement

如圖12所示。從圖中可以看出:①滯回環骨架曲線峰值強度低于真實值，初始剛度略大于真實值;②數值模擬所得的滯回環整體趨勢與真實情況吻合較好;③模擬的滯回環骨架曲線呈下降趨勢，反映了鋼筋混凝土柱加載后期的軟化行為。

圖12 模擬結果與試驗數據對比Fig.12 Comparison of numerical simulation and experimental data

3 基于OpenSEES的數值模擬

OpenSEES采用纖維模型建模，纖維模型是指將纖維截面賦予梁柱構件，即定義構件的每一截面為纖維截面。纖維截面是將構件截面劃分成很多小纖維，包括鋼筋纖維和混凝土纖維，對每一根纖維只考慮它的軸向本構關系，且各個纖維可以定義不同的本構關系。纖維模型中，假定構件的截面在變形過程中滿足平截面假定。

3.1 單元選擇

文中采用OpenSEES中的dispalcement-based beam column element單元，該單元允許剛度沿桿長變化，首先通過節點位移得到相應的單元桿端位移，然后根據位移插值函數求得截面的變形，再根據截面的恢復力模型得到相應截面抗力與截面切線剛度矩陣，最后按照Gauss-Legendre積分方法計算出整個截面抗力與切線剛度矩陣。

3.2 混凝土本構模型

混凝土采用OpenSEES中的Concrete01本構模型。為了考慮箍筋約束作用，截面核心區混凝土采用Mander模型[11]確定材料參數。

Mander模型的表達式如式(18)、式(19)所示。式中和εcc為約束混凝土的峰值應力及其對應的應變;fco'和εco為非約束混凝土的峰值應力及其對應的應變;為混凝土的割線模量;為混凝土的切線模量。

考慮箍筋約束修正后的混凝土各參數取值如表5所示。

表5 約束混凝土本構參數取值Table 5 Parametor of constrained concrete

3.3 鋼筋本構模型

鋼筋采用OpenSEES中的Steel02模型，該模型為雙折線模型，可反映鋼筋的包興格效應，如圖13所示，模型表達式如式(20)—式(23)所示。式中，σ0和ε0表示雙線性包絡線屈服點處鋼筋的應力和應變;σr和εr表示雙線性包絡線反向點處鋼筋的應力和應變;b為鋼筋的硬化剛度和原點切線剛度的比值;R，a1和a2為材料常數;ξ為塑性應變的絕對值。各參數取值見表6。

圖13 Steel02本構模型Fig.13 Steel02 constitutive model

表6 鋼筋本構參數取值Table 6 Parameter of steel constitutive model

3.4 模型建立

整根柱沿柱高劃分為四個單元。每個單元纖維截面示意圖如圖14所示。核心區混凝土劃分數為10×10，采用約束混凝土本構;保護層混凝土劃分數為10×1和8×1，采用非約束混凝土本構。

圖14 纖維截面簡化示意圖Fig.14 Schematic drawing of a fiber element cross-section

圖15 模擬結果與試驗數據對比Fig.15 Comparision between numerical simulation and testing results

OpenSEES模擬結果與試驗數據的對比如圖15所示。從圖中可以看出:①采用OpenSEES模擬時，滯回環骨架曲線峰值強度與真實值較接近，初始剛度略大于真實值;②數值模擬所得的滯回環中，除了第一個和后三個滯回環，其他幾個滯回環與真實情況吻合較好;③滯回環骨架曲線在后期呈現上升趨勢，不能反映鋼筋混凝土柱加載后期強度軟化的現象;④模擬結果較好地反映了滯回曲線的捏攏現象，與真實情況較接近。

4 討論

(1)圖15中，除了第一個和后三個滯回環，其他幾個滯回環與真實情況吻合較好，幾乎一致，與ABAQUS模擬結果相比，能更好地符合真實情況。其原因可能是由于OpenSEES采用纖維單元建模，而ABAQUS采用實體單元建模。雖然三維實體有限元模型可以準確地模擬一些重要的非線性行為，但是這種模型的使用是有限制的，計算成本遠高于纖維模型，同樣的鋼筋混凝土柱，用纖維單元分析只需3分鐘左右，而實體單元分析卻需要大約2小時。相比之下離散纖維模型從內部纖維的本構關系出發，可以有效地模擬復雜的非線性行為，例如損傷導致的剛度和強度退化。由于將構件截面劃分成纖維，其位置、截面面積和材料的單軸本構關系都由用戶定義，可以運用到各種截面形狀。同一截面不同纖維，可以采用不同的單軸本構關系，例如可以分別考慮保護層混凝土和核心區約束混凝土。

(2)OpenSEES中鋼筋本構模型采用的是Steel02模型，該模型雖然反映了鋼筋的包興格效應，但是并沒有體現鋼筋在低周反復荷載下的低周疲勞效應和斷裂破壞，因此在圖15中，滯回環的骨架曲線在加載后期呈現上升趨勢。

5 結語

本文選用了低周反復荷載下的鋼筋混凝土柱進行數值模擬，分別采用了ABAQUS實體單元建模和OpenSEES纖維單元建模，并將其同試驗結果進行了對比，顯然OpenSEES模擬所得結果要好于 ABAQUS所得結果，且計算成本遠低于ABAQUS。故對于本文中的鋼筋混凝土柱，推薦使用OpenSEES纖維模型。

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[9] http://www.collapse-prevention.net/show.asp?ID=14＆adID=2.

[10] http://nisee.berkeley.edu/spd/search.html.

[11] Mander J B，Priestley M J N，Park R.Theoretical stress-strain model for confined concrete[J].Journal of Structural Engineering，ASCE，1988.