新課標(biāo)下用辯證思想求解數(shù)學(xué)題

李漢斌

（甘肅省白銀市藝術(shù)中學(xué)，甘肅 白銀 730900）

數(shù)學(xué)中充滿著矛盾，也處處滲透著辯證法.于是解決矛盾的過(guò)程不但是一個(gè)運(yùn)用辯證法的過(guò)程，也是推動(dòng)數(shù)學(xué)向前發(fā)展的過(guò)程.因此，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)并培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用辯證的思想方法來(lái)探索問(wèn)題、研究問(wèn)題、解決問(wèn)題.本文就如何運(yùn)用辯證思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題談點(diǎn)淺見(jiàn).

一、運(yùn)用具體與抽象的辯證關(guān)系解題

把抽象的問(wèn)題同相應(yīng)的感性經(jīng)驗(yàn)材料聯(lián)系起來(lái)，給以具體的數(shù)學(xué)模型，然后通過(guò)對(duì)這些模型的研究和分析，達(dá)到解題的目的.

例1：對(duì)空間中的任意一個(gè)銳角三角形，證明：一定可以找到這樣一點(diǎn)，使得此點(diǎn)對(duì)三邊所張的角都是直角.

分析：這是一個(gè)較為抽象的數(shù)學(xué)證明題，直接入手感到困難，不易說(shuō)清楚，但若能聯(lián)想到“長(zhǎng)方體的一個(gè)角”這樣的數(shù)學(xué)模型，問(wèn)題就變得具體化了，于是問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為：從空間一點(diǎn)O發(fā)出了三條互相垂直的射線，證明：在每條射線上各取一點(diǎn)A，B，C能使△ABC和已知的銳角三角形全等.（證明從略）

二、運(yùn)用特殊與一般的辯證關(guān)系解題

普遍性寓于特殊性之中，特殊問(wèn)題得到了解決，一般問(wèn)題解決就有了切入點(diǎn).

例2：已知f（θ）=sin2θ+sin2（θ+α）+sin2（θ+β），其中α，β是常數(shù)，且α、β∈[0，π]，α＞β，求α，β使f（θ）是與θ無(wú)關(guān)的定值.

分析：當(dāng)α，β取某個(gè)特殊定值時(shí)f（θ）才與θ無(wú)關(guān)，不妨讓一般的θ取某些特殊值，例如：f（0）=sin2α+sin2β，f=1+cos2α+cos2β，f（-α）=sin2α+sin2（α-β），f（-β）=sin2β+sin2（α-β），

特殊問(wèn)題與一般問(wèn)題不是截然劃分的，從辯證的角度看，一般問(wèn)題的解決有賴于從特殊問(wèn)題的思考中發(fā)現(xiàn)線索；一般問(wèn)題解決以后，又可以解決更多、更新的特殊問(wèn)題.

例3：比較兩個(gè)冪20112012和20122011的大小.

三、運(yùn)用靜止與運(yùn)動(dòng)的辯證關(guān)系解題

辯證法告訴我們，運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的，靜止是相對(duì)的，它們?cè)谝欢l件下可以互相轉(zhuǎn)化，我們要善于利用動(dòng)與靜之間的辯證關(guān)系去指導(dǎo)解題.

分析：這是無(wú)理方程，按常規(guī)要經(jīng)過(guò)兩次移項(xiàng)且兩邊平方才能全部脫去根號(hào)，轉(zhuǎn)化為有理方程，運(yùn)算復(fù)雜.若把方程轉(zhuǎn)化為，令y2=5，則方程可以轉(zhuǎn)化為橢圓方程，由相關(guān)理論得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程=1，可方便得到

例5：一個(gè)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，短軸長(zhǎng)為2b的橢圓在第一象限內(nèi)滾動(dòng)，且始終與x軸及y軸相切，求橢圓中心O'的軌跡方程.

分析：使動(dòng)橢圓、靜坐標(biāo)系相互轉(zhuǎn)化，即使橢圓固定，而與之相切的兩坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)問(wèn)題歸結(jié)為一道熟悉的題目：橢圓b2x2+a2y2=a2b2的兩條互相垂直的切線交點(diǎn)軌跡是圓：x2+y2=a2+b2.原坐標(biāo)原點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩切線的交點(diǎn)，由此找到了原點(diǎn)O'與橢圓中心O'之間的距離關(guān)系，然后再回到原坐標(biāo)系，因橢圓恒在第一象限內(nèi)滾動(dòng)，且橢圓中心O'到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離是定長(zhǎng)故橢圓中心O'的軌跡是位于第一象限內(nèi)的一段圓弧：x2+y2=a2+b2（b≤x，y≤a）.

四、運(yùn)用整體與局部的辯證關(guān)系解題

有些數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果只在整體或局部中周旋，往往思維雜亂，難以獲解.這時(shí)若能從整體深入到局部或把局部拓展為整體，解題思路會(huì)豁然開(kāi)朗.

例6：已知ai∈R+（i=1，2，Λ，n），且a1+a2+Λ+an=1，

分析：本題若從整體上思考，則難以下手，但若局部考慮，各個(gè)擊破，很快獲證.

例7：不定方程w+x+y+z=8的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)有多少?

分析：容易想到的辦法就是枚舉，當(dāng)然四者之和為8不是一個(gè)很大的數(shù)，可以列舉出來(lái)；當(dāng)和數(shù)比較大時(shí)，此方法沒(méi)有實(shí)際意義.如果整體思考，把w，x，y，z看作一個(gè)整體，將8化為直觀狀態(tài)即8個(gè)1，形如（* * * * * * * *），在這8個(gè)點(diǎn)的7個(gè)空隙中有變化地插入3個(gè)隔板，每次將8個(gè)點(diǎn)分成四份，每份就是方程的一組解，由此問(wèn)題就變成了組合問(wèn)題，所求的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)應(yīng)是，此方法具有一般性.

五、運(yùn)用等式與不等式的辯證關(guān)系解題

等式和不等式是兩個(gè)不同的概念，它們之間既有區(qū)別又有聯(lián)系，它們之間可以相互轉(zhuǎn)化，若在解題實(shí)踐中予以重視，往往既能簡(jiǎn)化解題過(guò)程，又能提高學(xué)生的思維素質(zhì)，可作為一種數(shù)學(xué)方法運(yùn)用.

例8：整數(shù)a，b滿足a2+b2+2＜ab+3b，求a，b的值.

解：原不等式等價(jià)于a2+b2+3≤ab+3b，配方得，此不等式等價(jià)于，立得a=1，b=2。

利用等式和不等式的相互轉(zhuǎn)化實(shí)現(xiàn)了問(wèn)題的解決.