基于通行能力分析的路網分維數

李清波，何石堅，匡姣姣

（長沙理工大學交通運輸工程學院，湖南長沙 410004）

分維數是指用于描述自然界中事物的整體與其組成部分以某種方式自相似的特性參數。若將公路網視為整體，將公路路線視為其組成部分，建立工程實踐中路網分維數的計算方法，從而利用分維數來分析公路網與公路路線之間的過渡關系。

國內許多學者對路網分維數進行了相關研究，管楚度［1］探討了分形理論與公路工程實踐的聯系，給出了公路工程實踐中某一地區單個等級公路網分維數的計算方法；游清華［2－3］等人研究了路網分維數與路網密度等指標的關系，提出了路網分維數既能描述路網密度等指標又能體現路網的均勻性等特性，且將路網分維數應用在路網評價中；蔡翠［4］利用分維數對山東省高速公路網和國省干線公路網的發展進行了研究；仇東東［5］等人利用分維數對浙江省各等級公路網進行了分項研究；陳迎春［6］等人研究了分形理論與工程實踐的關系，并將分形理論運用到公路網規劃評價當中；李海俠［7］探討了分形理論在公路網中的應用。國外學者也對路網分維數進行了一些探討［8－11］。

路網分維數是路網評價的可靠指標，對其展開的研究具有較為重要的意義。然而，傳統的路網分維數指標僅能用于描述某一地區單個等級公路網的相關特性，卻不能用于包含各個等級公路的路網整體。因此，需要尋求一個能夠建立起各等級公路之間聯系的分析過程，再將這個過程融入到傳統的路網分維數的計算中，期望通過改進的計算方法得到能用于評價包含各個等級公路整體的路網分維數指標。

尋求多等級路網與單一等級路網的內在聯系重點在于對決定公路等級指標的分析。從公路路線設計技術規范［12］對公路等級的劃分標準中可知，交通量是決定公路等級的外因，而通行能力分析是決定公路等級的內因，通行能力分析是公路規劃和設計的重要流程，設計通行能力既能直觀地區分公路等級，又能定量化分析某一等級公路在公路網當中所起功能和作用。因此，要建立起多等級路網與單一等級路網的內在聯系，應該以通行能力分析這一內在因素為紐帶。

作者擬以通行能力分析為紐帶，建立起多等級路網中各等級公路的聯系，對路網分維數計算方法稍做改進，得到改進后的路網分維數指標，再將其運用到多等級路網的整體評價中。以湖南部分地區公路網實際情況為依托，得出改進后的路網分維數計算結果，并根據試算結果，結合湖南省社會經濟發展狀況，對湖南省部分地區公路網特性進行分析。

1 路網分維數計算

1.1 根據Hausdarf簡化法計算分維數

對于一個整體，若量度其“容積”單位的半徑為r，用該單位量度的結果N（r）滿足以下關系，則稱D為該整體的分維數：

式中：c為常數；r為整體劃分為局部所選取的單位量度；N為整體劃分為局部的個數；D為整體的分維數。

利用分形幾何理論，對式（1）進行展開，得：

式中：Ds為相似維數；δ為局部與整體的相似比。

1.2 工程實踐中的單一等級路網分維數計算

在工程實踐中，對Hausdarf計算方法進行粗視化處理，具體步驟為：用間隔r的格子把平面分割成邊長為r的正方形網格，計量研究對象落入到正方形格子的數目，記為N（r）。N（r）隨著邊長r的變化而變化，二者關系可近似表示為：

式中：A為常數。

1.3 基于通行能力分析的路網整體分維數計算

傳統的工程實踐中，路網分維數計算和研究的對象為單一等級路網，式（4）中所得到的路網相似分維數Ds僅體現了某一地區某一等級公路路線與這一等級公路路線所構成路網的自相似特性。需要研究地區公路網在整體上的自相似特性，不妨在式（4）的基礎上做一定的改進。

計算分維數時，用間隔r的格子把平面分割成邊長為r的正方形網格，計量研究對象落入到正方形格子的數目，記為N（r）。借鑒權重的思想，考慮到不同等級公路在公路網中所起到服務功能的不同，在路網整體分析中，各自所占的權重會存在一些差異。同時通行能力是表征公路服務功能的最直接指標，通行能力的大小直接體現某一等級公路在路網中所處的地位即所占的權重。因而，以各等級公路通行能力的比較分析為基礎，對N（r）做細化改進：

式中：i為公路等級；i＝0～4依次表示高速、一級、二級、三級和四級公路；Ci為按通行能力分析的i級公路的換算系數；ni（r）為i級公路落入到以r為量度的正方形格子的數目；De為路網整體分維數。

根據《公路路線設計技術規范》（JTG D20－2006）中各等級公路的設計通行能力范圍，結合中國各地區公路網中二級公路所占比重最大的實際情況，以二級公路設計通行能力為參照系，在二級公路設計通行能力范圍中值處（即1 075pcu／h）取其換算系數Ci＝1，其余各等級公路換算系數按其設計通行能力與參照系設計通行能力的線性關系進行計算，則可得各等級公路通行能力與對應換算系數，見表1。

表1 各等級公路設計通行能力與對應換算系數Table 1 Design traffic capacities of all the highways and the corresponding conversion coefficients

2 基于通行能力分析的路網分維數應用和分析

2.1 湖南部分地區基于通行能力分析的路網整體分維數計算

根據改進后的路網分維數計算方法，對湖南省部分地區公路網進行了基于通行能力分析的路網整體分維數試算和分析。湖南省現有公路網中，高速公路主要為四車道，一級公路主要為四車道，二級、三級和四級公路按設計通行能力的中值換算取值。根據湖南省公路網實際情況，選取換算系數見表2。

表2 湖南公路網各等級公路換算系數Table 2 Conversion coefficients of all the highways in Hunan Province

分別對長沙、常德、湘西自治州、張家界、婁底及衡陽等6個地區的公路網進行粗視化處理，換算系數按表2取值，所得的基于通行能力分析的路網整體分維數試算結果見表3。

采用最小二乘法，擬合r與N（r）的對數關系（如圖1～6所示）。按式（6）計算得各地區路網整體分維數De，見表4。

2.2 路網整體分維數試算結果分析

2.2.1 路網整體分維數De的合理性分析

從圖1～6中可以看出，各地區路網分維數在進行通行能力分析計算后，所得的標度r與N（r）的雙對數關系仍滿足線性關系。這就驗證了式（6）的可行性以及De在理論上的合理性。

2.2.2 路網整體分維數De與經濟指標的協調性分析

從表4中可以看出，各地區路網整體分維數排名與De人均GDP排名接近。這說明De越大的地區，在湖南經濟中所占的主導作用越大。基于通行能力分析的路網分維數在一定程度上與各地區的經濟指數相協調。

表3 基于通行能力分析的各地區公路網整體分維數試算表Table 3 Trial results of highway network fractal dimension based on the analysis of the traffic capacity

圖6 衡陽地區路網整體分維數分析圖Fig.6 Analysis of highway network fractal dimension in Hengyang

表4 各地區公路網整體分維數De、人均GDP及排名Table 4 Highway network fractal dimension De，GDP per person and its ranking in these areas

2.2.3 路網整體分維數De與地理因素的一致性分析

分析試算結果中各地區路網整體分維數De的排名可以看出，基于通行能力分析的路網整體分維數De隨各地區地理位置的變化規律呈明顯的從東南往西北遞減，而湖南在中國公路版圖上恰好起連接東南沿海和西部地區的過渡作用。這說明路網整體分維數De能較好地描述公路網的發展與地理因素之間的有機聯系，可以作為某一地域（如：湖南）公路網整體分析和評價的基礎。

3 結語

依托湖南省長沙、常德、湘西自治州、張家界、婁底及衡陽等6個地區的公路網實際情況，按照工程實踐中路網分維數的計算方法，并結合通行能力分析加以改進，得到了各地區路網整體分維數De。在對路網整體分維數的特性和各地區路網分維數之間的規律進行分析之后，得到的結論為：

1）地區路網整體分維數De與地區的經濟指標存在著正相關關系，可用于定性比較各地區之間經濟發展程度的差異。路網整體分維數De越大，地區經濟越發達。

2）路網整體分維數De能客觀地描述同一地域（如：湖南）不同地區（如：長沙等）公路網之間的變化規律，對某一地域的公路網結構作出一定的分析和評價。

3）基于通行能力分析，對路網分維數進行的細化計算方法在研究地區整體公路網的特性時可行。基于通行能力分析的路網整體分維數De，可用于分析地區公路網的整體特性，使傳統路網分維數只能用于分析某一地區某一等級公路網的局限性得到了改善。

將更多影響公路網發展的因素結合到路網整體分維數De的計算中是今后的研究方向之一，如：地區產業結構的不同對公路網分維數產生的影響導致了湘西地區公路網整體分維數大于張家界地區整體公路網分維數，而張家界地區人均GDP卻大于湘西地區人均GDP的結果。對路網分維數De的分析和計算，還需要進一步開展全面、深入、細致的研究。

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