斜拉索軸向激勵作用下的面內(nèi)參數(shù)振動

孫群濤

（湖南交通職業(yè)技術(shù)學院，湖南長沙 410132）

斜拉索是斜拉橋的主要承重部件，因其具有柔性大、阻尼小的特點，當橋面在風、車輛及地震等作用振動時，若橋面的振動頻率與某一拉索的固有頻率成倍數(shù)，微小的橋面振動即可引起拉索的大幅振動［1］。在工程中，由拉索大幅振動造成的工程事故也頻頻發(fā)生。1996年4月，荷蘭的Erasmus大橋通車僅一個多月，就因索的大幅振動被迫關(guān)閉；在1994～1995年南浦大橋曾3次因拉索的振動而導致減振器的脫落。因此，參數(shù)振動問題已引起有關(guān)學者的高度重視，他們對參數(shù)振動的機理和控制方法進行了廣泛的研究，并取得了許多具有工程價值的研究成果。Fujino［2］建立了索－橋耦合2自由度振動模型。亢戰(zhàn)［3］建立了索－橋耦合2自由度振動模型，且運用多尺度法，得到了拉索的主參數(shù)共振。分析結(jié)果表明：拉索與橋面的振幅此消彼長，且拉索的振幅遠大于其初值，而橋面的振幅與其初值接近。汪至剛［4－5］取拉索的一階振動模態(tài)進行了分析，計算了拉索的主共振和參數(shù)共振情況，并提出了在拉索根部安裝被動質(zhì)量阻尼器的減振方法。趙躍宇［6］建立了小垂度斜拉索在端部軸向正弦激勵下的振動模型，考慮拉索的一階振動模態(tài)，分析了3種情況（激勵與拉索頻率比分別為1∶1，1∶2及2∶1）下的振動。陳水生［7］等人對拉索軸向激勵下的面內(nèi)參數(shù)振動進行了分析，得到了使拉索產(chǎn)生參數(shù)共振的最小激勵幅值，并對瞬態(tài)與穩(wěn)態(tài)索的內(nèi)力變化進行了分析。趙躍宇［8］等人采用斜拉索受軸向激勵的力學模型，用多尺度法，對拉索穩(wěn)態(tài)運動的穩(wěn)定進行了分析。

作者擬根據(jù)拉索軸向激勵下的模型并運用哈密頓變分原理，求解拉索的參數(shù)振動方程。不同于大部分學者所利用經(jīng)典的牛頓運動定律的微分方法。該方法是以積分方程來由局部求整體的，通過求解系統(tǒng)作用量的平穩(wěn)值，更準確地表達了系統(tǒng)對于任何微擾隨時間的演變，具有較強的時間、空間連續(xù)性。采用變分法，計算整個系統(tǒng)的運動方程。采用多尺度法，對系統(tǒng)的運動方程進行分析。采用標準四階龍格—庫塔數(shù)值方法，求解運動方程。并用MATLAB編程，進行參數(shù)分析，分析影響拉索參數(shù)振動的因素頻率比、激勵振幅、拉索阻尼比及索力對斜拉索主共振和參數(shù)振動的影響。

1 建立拉索面內(nèi)參數(shù)振動方程

為方便研究且能體現(xiàn)問題本質(zhì)，假設：①忽略垂度對拉索質(zhì)量重分布的影響，認為斜拉索的垂度曲線為拋物線；②忽略拉索的抗彎剛度、抗扭剛度及抗剪剛度；③不考慮材料非線性，變形本構(gòu)關(guān)系服從胡克定律，且各點受力均勻；④不計橋面和橋塔對拉索的影響；⑤拉索只發(fā)生面內(nèi)振動。

建立如圖1所示的坐標系，拉索的靜態(tài)線形為y（x）。拉索振動時，x和y方向離開靜平衡位置的位移分別為u（x，t）和v（x，t），拉索軸向位移激勵

圖1 軸向激勵下斜拉索面內(nèi)振動模型Fig.1 Stayed－cable in－plane vibration model caused by axial excitation

拉索單位索長質(zhì)量、彈性模量、截面面積、初始曲線長度、初張力及阻尼系數(shù)分別為m，E，A，L，T0及μ，靜態(tài)和動態(tài)弧長微段分別為ds和ds′，則

則拉索的動應變ε為：

拉索的動能和勢能分別為：

運用Hamilton原理，有：

根據(jù)模型可知，時間邊界條件為：

幾何邊界條件為：

靜力平衡條件為：

根據(jù)式（7）～（9），分別計算T和V的變分，得：

將式（10）和式（11）代入式（6），得：

根據(jù)已知邊界條件可知，索的動應變只與時間有關(guān)，由于縱向振動相對于橫向振動較小，因此，忽略二階小量近似認為ds≈dx，得到動應變：

由圖1可知，本模型位移邊界條件為：

對式（13）進行積分，并根據(jù)邊界條件，得：

由于拉索接近張緊弦，近似取索的振動模態(tài)為標準弦的模態(tài)。根據(jù)Tagata實驗，張緊弦的端激勵振動中，基本模態(tài)占主要地位，故進行一階模態(tài)截斷，即

根據(jù)靜力平衡條件，得：

將式（16），（17）及（18）代入式（12），并近似認為ds≈dx，得：

運用Galerkin方法，進行方程解耦。在方程兩邊同時乘以在［0，L］區(qū)間內(nèi)進行積分，得：

式中：2ξ1ω1＝μ／m；ξ1為拉索的阻尼比；ω1為考慮綜合效應后的一階固有頻率（2／π）4／2）；λ2為索的垂度系數(shù)，λ2＝4EABL2／T；ω0為不考慮垂度影響的一階固有頻率，

2 多尺度法求解

為方便研究，引入無量綱小參數(shù)ε，將方程（20）改寫為：

式中：ε2χ1＝－2ξ1ω1；ε2f＝－a；εg＝－d。

引入不同尺度時間變量：

本研究只討論二次近似解，令

展開后，令ε的同次冪系數(shù)為零，得到各階近似的線性偏微分方程。

ε階：

ε2階：

ε3階：

方程（24）的解可寫為負數(shù)形式：

將（27）代入（25），得：

為了保證有周期解，需要消除久期項，得：

2.1 非內(nèi)共振情況

將式（27）和式（30）代入（26），得：

消除式（31）久期項，得：

2.2 內(nèi)共振情況

將式（34）代入方程（31）并消去久期項，得：

將復函數(shù)A寫為指數(shù)形式，得：

式中：α（t）和θ（t）的解為t的實函數(shù)。代入式（35），分離實部、虛部，并令γ＝ε2σT0－θ，得：

方程組（37），（38）的非零常值特解αs和γs對應于系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)周期運動。令導出αs和γs應滿足的條件：

消去γs，得：

由式（41）移項，得：

可見，振幅αs有穩(wěn)態(tài)解的條件是此時系統(tǒng)產(chǎn)生持續(xù)不斷的運動。在滿足αs有穩(wěn)態(tài)解的條件下，如果則αs有一個穩(wěn)態(tài)解；如果則αs存在兩個穩(wěn)態(tài)解。

為判斷振動的穩(wěn)定性，引入擾動變量ξ＝ααs，η＝γ－γs，得到在奇點（αs，γs）附近的一次近似方程：

該線性擾動方程為：

3 參數(shù)分析

本研究以涪豐石高速烏江特大橋拉索FDB19為例進行分析，拉索參數(shù)為：m＝72.8kg／m；T0＝5 352.2kN；A＝9 270.065×10－6m2；θ＝32.732°；L＝179.412m；f＝0.750 1Hz；E＝1.95×105MPa。

采用標準四階龍格—庫塔法［7］，求解式（20）。為方便計算，在計算過程中，進行了參數(shù)修改，分析不同情況下拉索的振動。運用MATLAB，進行編程［8］。

假定索的初始擾動V1（0）＝10－4m，激勵幅值U（0）＝0.1m，暫不考慮阻尼的影響，作出激勵頻率與拉索頻率在［0.1，3］內(nèi)拉索的跨中振幅變化曲線，如圖（2）所示，其中ωr＝

圖2 斜拉索跨中振幅與頻率比關(guān)系曲線Fig.2 The curve between the cable－stayed span amplitude and the frequency ratio

圖3 ／ω1＝1時，位移時程曲線Fig.3 The displacement versus time when／ω1＝1

圖4 ／ω1＝2時，位移時程曲線Fig.4 The displacement versus time whenω－／ω1＝2

圖5 斜拉索跨中響應幅值與激勵幅值的關(guān)系曲線Fig.5 The curve between the cable－stayed span amplitude and the excitation amplitude

從圖5中可以看出，拉索的跨中響應隨激勵幅值的增大而增大，呈非線性增大關(guān)系。隨著激勵幅值的增大，拉索在參數(shù)振動下的最大響應幅值將大于主共振最大幅值。當激勵幅值較小時，主共振為影響較大。當激勵幅值較大時，參數(shù)共振的影響將超過主共振，必須引起高度重視。

從圖6，7中可以看出，斜拉索阻尼比與跨中振幅整體呈非線性遞減關(guān)系。當時，在一定范圍內(nèi)，阻尼比的增大對減振作用顯著。隨著阻尼的增大，振幅減小緩慢。當且阻尼比達到某一數(shù)值時，將會引起跨中響應振幅的急劇下降。當激勵振幅較小時，小阻尼即可引起拉索跨中響應振幅的急速下降，激勵幅值越大，引起拉索跨中響應振幅驟降的阻尼比越大。當跨中響應振幅減小到某一數(shù)值之后，跨中響應振幅與阻尼比接近線性關(guān)系，且衰減緩慢。

圖6 ω－／ω1≈1時，斜拉索跨中振幅與阻尼比關(guān)系曲線Fig.6 The curve between the cable－stayed span amplitude and the damping ratio when／ω1≈1

圖7 ω－／ω1≈2時斜拉索跨中振幅與阻尼比關(guān)系曲線Fig.7 The curve between the cable－stayed span amplitude and the damping ratio when／ω1≈2

拉索跨中最大振幅與索力關(guān)系曲線如圖8所示。從圖8中可以看出，無論是主共振還是參數(shù)共振，拉索跨中最大響應振幅都隨索力的增大而減小。當索力達到某一數(shù)值之后，索力變化對參數(shù)振動的最大響應振幅影響將減小。

圖8 拉索跨中最大振幅與索力關(guān)系曲線Fig.8 The curve between the cable－stayed maximum span amplitude and the cable tension

4 結(jié)論

2）拉索的振動出現(xiàn)“拍”現(xiàn)象，且由于垂度效應拉索振動的正、負振幅不對稱。在文獻［3～5，9］中，用牛頓定律建立的方程得到了相同結(jié)論。

3）拉索振動的振幅與激勵振幅呈非線性增大關(guān)系，因此控制激勵振幅可以有效地控制拉索振動。在文獻［3，5，7，9］中，用牛頓定律建立的方程得到了相同結(jié)論。

4）拉索的阻尼比與跨中振幅呈非線性遞減關(guān)系，則控制拉索的阻尼比可以有效地控制拉索的振動，但當阻尼比達到一定值之后，再增大阻尼比的意義不大。

5）拉索的索力與跨中振幅呈非線性遞減關(guān)系。這說明增大索力可以控制拉索的振動，特別是主共振，但是索力還需結(jié)合其他條件確定。

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