基于Matlab板的振動響應與聲輻射研究

張媛媛，沈火明

(1.新疆農業大學水利與土木工程學院，烏魯木齊 830052; 2.西南交通大學力學與工程學院，成都 610031)

基于Matlab板的振動響應與聲輻射研究

張媛媛1，沈火明2

(1.新疆農業大學水利與土木工程學院，烏魯木齊 830052; 2.西南交通大學力學與工程學院，成都 610031)

利用Matlab軟件對矩形薄板結構振動進行了有限元分析，通過瑞利積分求出了板的表面聲壓，利用輻射模態理論研究了不同頻率下結構聲輻射模態形狀的變化規律。結果表明:基于Matlab軟件編寫的程序能快速方便地得到薄板結構的固有頻率，結果能較好地收斂并達到滿意的精度;當激勵頻率小于第1階頻率時，其輻射聲壓隨激勵頻率的增加而逐漸增大;輻射模態在低頻時具有形狀相似性，結構的各階輻射模態在x-y平面內呈對稱或反對稱，且不隨頻率的變化而改變。

振動分析;板;Matlab軟件;有限元;聲輻射

隨著科技的飛速發展及人民生活水平的提高，越來越多的結構要求自重更輕、外殼更薄、抗震減噪性能更好。板類結構重量輕、耗材少，是優良的基本結構構件，如太陽能板、車身結構等。所以研究板結構的振動與聲輻射特性對于結構的減振降噪控制有著重要意義。文獻［1］利用超參數殼單元建立了變厚度板的有限元方程，并求出諧波激勵下板表面的位移響應和速度響應。文獻［2 -3］通過數值和理論分析方法，分別獲得了矩形板的模態輻射聲功率的數值解和精確解。文獻［4］利于SYSNOISE軟件計算了平板在不同介質中的振動和聲輻射。文獻［5-6］從不同角度研究了流體作用下板類結構的振動聲輻射問題，計算分析結構聲輻射損耗因子和聲輻射效率以及計算的預測代理模型。文獻［7］基于分層理論，提出一種陣列式壓電式傳感器的設計方法測量復合材料層合板結構聲輻射模態幅值。文獻［8-10］研究了不同板類結構的振動及聲輻射問題，并提出了主動控制的優化方案。本文利用有限元方法計算了四邊固支板的動態響應，然后通過瑞利積分計算出板的表面聲壓，并利用結構表面輻射阻抗陣，研究了不同頻率下結構聲輻射模態形狀的變化規律。

1 矩形薄板彎曲振動的有限元理論

薄板橫向振動微分方程為

對四邊簡支矩形薄板固有頻率有精確的解析解，對于其他復雜邊界條件，只有通過數值方法才能求出各物理量的解析解。

板經單元離散后，可獲得薄板振動的有限元方程:

式(4)中:M，C，K和F為系統質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣和載荷向量。

當C=0，F=0時，得結構的無阻尼自由振動方程為

設式(5)解的形式為X=ψejωt，解得

它的根ω2稱為特征值，是結構固有頻率的平方。

當激振為諧波激勵時，可設F=F0eiωt，X= X0eiωt，F0為穩態載荷向量，X0為穩態位移響應，V0為穩態速度響應，ω0為激振圓頻率。則結構的穩態位移響應為

2 薄板的聲輻射理論

假設板處于無限大剛性障板上。設矩形板的表面積為S，當板在在圓頻率ω下振動、向上半空間輻射聲波時，空間內充滿均勻介質，介質密度為ρ，聲速為c，振動表面上的法向振動速度為V(Z，ω)，則在該頻率下板表面聲壓為

式(10)中:X為源點;Z為場點;r為場點和源點的距離;k=ω/c為波數;j為虛數單位。

設板的表面離散為n個四邊形單元，則結構表面第j個單元中一點的速度:

式(11)中:N=［N1，N2，N3，N4］分別為單元4個結點處的形函數;Vj=［Vj1，Vj2，Vj3，Vj4］T為單元j的結點法向速度向量。

板表面經單元離散后，將式(11)代入式(10)中，可以獲得單元結點處聲壓式(12)中:P為表面結點聲壓列向量;H為單元經過數值積分并經過組裝后形成的系數矩陣;Vn為結點法向速度列向量。

結構表面輻射阻抗陣Δ的表達式為

3 數值仿真

設板的長度a=0.38 m，寬度b=0.3 m，板厚h=0.002 m，彈性模量E=2.1×e11，泊松比ν= 0.3，薄板的密度為ρ=7 850 kg/m3，不計結構的阻尼影響，本文僅對四邊固支板進行求解，如圖1所示。

3.1 板自由振動的計算

設na×nb為劃分的板單元總數，現令na= 38，nb=30，得到的有限元模型如圖2所示。表2為四邊固支矩形薄板的前8階固有頻率。

圖1 矩形薄板

圖2 矩形薄板的有限元模型

為驗證編寫Matlab程序的正確性，首先對四邊簡支板進行求解。將所求固有頻率與精確的解析解和ANSYS結果做比較，如表1所示。隨著有限元網格的不斷細化，薄板各階固有頻率越來越接近其精確解，表明利用Matlab編寫算法的收斂與合理性。

表1 四邊簡支矩形薄板的前8階固有圓頻率Hz

表2 四邊固支矩形薄板的前8階固有圓頻率Hz

3.2 板表面聲壓分布

已知空氣密度ρ0=1.225 kg/m3，聲在空氣中的傳播速度為c0=343 m/s，激振力位于平板中心處，幅值為1 N，如圖1所示。為減小計算量，計算時采用20×14網格。圖3～6分別為不同激勵頻率下板的表面聲壓分布。從圖中可以看出，在激勵頻率小于第1階頻率時，其輻射聲壓隨激勵頻率增加而逐漸增大。在得到表面聲壓后，便可以計算聲場空間中任一點的聲壓。

圖3 f=10 Hz時板表面的聲壓分布

圖4 f=20 Hz時板表面的聲壓分布

圖5 f=30 Hz時板表面的聲壓分布

圖6 f=40 Hz時板表面的聲壓分布

3.3 聲輻射模態分析

圖7～12分別是無量綱頻率kl=0．1，0．5，1，2，5，10時平板的前4階聲輻射模態(kl=ka，k為波數且k=ω/c，a為板長)。

分析可得:當kl≤2時，矩形的各階輻射模態圖形隨頻率變化不大，輻射模態形狀比較規則;隨著頻率的不斷增加，輻射模態的形狀變得越來越復雜。輻射模態在低頻時具有的這種形狀相似性，意味著在低頻時，可以用某一頻率的輻射模態代替某一頻域范圍內其他輻射模態;與結構的振動模態類似，形狀規則結構的各階輻射模態在xy平面內呈對稱或反對稱性，而且頻率的影響并不會改變輻射模態的這種對稱或反對稱性。

圖7 kl=0．1時板的前4階聲輻射模態形狀

圖8 kl=0．5時板的前4階聲輻射模態形狀

圖9 kl=1時板的前4階聲輻射模態形狀

圖10 kl=2時板的前4階聲輻射模態形狀

圖11 kl=5時板的前4階聲輻射模態形狀

圖12 kl=10時板的前4階聲輻射模態形狀

4 結論

利用Matlab對薄板結構振動進行有限元分析，并通過瑞利積分求出板的表面聲壓，利用結構表面輻射阻抗陣求得板的聲輻射模態。結果表明:基于Matlab軟件編寫的程序能快速方便地得到薄板結構的固有頻率，計算結果能較好地收斂并達到滿意的精度;當激勵頻率小于第1階頻率時，其輻射聲壓隨激勵頻率增加而逐漸增大;輻射模態在低頻時具有形狀相似性，形狀規則結構的各階輻射模態在x-y平面內呈對稱或反對稱性，且不隨頻率的變化而改變。

［1］張波，沈火明，支偉.有限元/邊界元法求解變厚度板的聲輻射［J］.科學技術與工程，2010，10(36):8963 -8967.

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［5］黎勝.考慮流體加載效應的板結構聲輻射損耗因子和輻射效率的計算分析［J］.中國艦船研究，2010，5(2): 9-13.

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［9］左曙光，魏歡，嚴新富.基于聲輻射控制的板結構優化設計［J］.同濟大學學報:自然科學版，2012，40(1):88 -92.

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(責任編輯 劉舸)

Research on the Thin Plate’s Vibration and Acoustic Radiation Based on Matlab Software

ZHANG Yuan-yuan1，SHEN Huo-ming2
(1.School of Water＆Civil Engineering，Xinjiang Agricultural University，Urumqi 830052，China;2.School of Mechanics＆Engineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China)

The vibration of the rectangular lamina was analyzed by means of a program developed within MATLAB.Acoustic pressure was calculated through Rayleigh Integral，and by the theory of radiation mode.Different acoustic modes under different frequency were calculated and the distribution law was discussed.The results show that the program based on the Matlab software can be used to calculate conveniently and efficiently the natural frequency of the plate.The radiation pressure of the plate surface increases with the excitation frequency under low-frequency conditions.Radiation modes have the shape similarity in low-frequency.Each order radiation mode of structure was symmetry or anti-symmetry in x-y plane，and didn’t change with the alteration of frequency.

vibration analysis;plate;Matlab;finite element;acoustic radiation

TB532

A

1674-8425(2014)08-0034-05

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2014.08.008

2014-05-06

牽引動力國家重點實驗室開放課題資助(tb1305);新疆水利水電重點科學基金資助項目(xjzdxk)

張媛媛(1988—)，女，碩士，主要從事結構振動與控制研究;通迅作者沈火明(1968—)，男，博士，教授，主要從事結構振動與控制、噪聲、力學數值仿真研究。

張媛媛，沈火明.基于Matlab板的振動響應與聲輻射研究［J］.重慶理工大學學報:自然科學版，2014(8): 34-38.

format:ZHANG Yuan-yuan，SHEN Huo-ming.Research on the Thin Plate’s Vibration and Acoustic Radiation Based on Matlab Software［J］.Journal of Chongqing University of Technology:Natural Science，2014(8): 34-38.