N個并聯耦合線圈的等效自感公式*

周國全

(武漢大學物理科學與技術學院 湖北 武漢 430072)

相互耦合的并聯與串聯線圈的等效自感問題，是電磁學與電工學研究中有關電磁感應與耦合線圈的重要內容之一[1～4]．相互沒有耦合的并聯線圈的等效自感系數可通過交流電的復阻抗的并聯公式簡單計算．在N個線圈串聯耦合情形，其等效自感系數可用磁場等效儲能法簡單求出，目前文獻中已有關于N=2情形的結論,并可很容易地推廣到N>2情形[1～4]；在并聯耦合情形，文獻[3～5]給出了無直流內阻的兩個自感線圈并聯耦合時的等效自感公式

(1)

其中L1，L2為兩線圈的自感系數,M為兩線圈的互感系數．文獻[3～5]還討論了兩個有直流內阻的自感線圈并聯耦合的等效去偶電路及其等效自感問題．在多個線圈之間自感與互感交叉并存的情形，我們無法通過業經解決的兩耦合并聯線圈的已有結論加以歸納推理．

本文基于電磁感應的基本原理，運用線性代數中高階矩陣與行列式的若干技巧，和齊次線性微分方程組的非平庸解的存在性條件，成功地推導出N個相互耦合、無直流內阻的并聯線圈的等效自感系數，即由它們的自感與互感系數構成的兩個分別為N階與N-1階的矩陣的行列式之比；給出了存在反向耦合情形的符號規則；并對若干特例情形進行了具體計算，所得結論也與文獻已有結果相符．對其特例的研究表明，相互之間完全沒有耦合的N個并聯線圈的等效自感系數,與通過交流電的復阻抗的并聯公式求出的結果相符；而對完全耦合這一極限情形，本文也分類做了分析與討論．

1 N個并聯耦合線圈的等效自感系數的一個定理

由于第i，j兩個線圈之間的互感系數是滿足所謂Neumann關系:Mij=Mji, 出于理論推導與數學表達的簡潔、緊湊與對稱性的考慮，可將第i個線圈的自感系數Li重新標記為Li≡Mii，i=1,2,…,N, 即自感系數亦可理解為一個線圈自己對自己的互感．于是有如下定理:

(2)

(3)

(i,j=1,2,…,N-1)

(4)

茲證明如下：如圖1所示是N=3時的示意圖, 運用法拉第電磁感應定律，根據并聯耦合電路的總感應電動勢ε(t)與各支路感應電動勢εi(t)、瞬時總電流與瞬時支路電流Ii(t)的關系，忽略各線圈的直流內阻，考慮自感與互感同時存在的一般情形，并設Le代表N個并聯耦合線圈的等效自感系數，有如下等式

圖1 并聯耦合感應線圈示意圖

ε(t)=ε1(t)=ε2(t)=…=

(5)

I(t)=I1(t)+I2(t)+…IN(t)

(6)

(7a)

(7b)

………

(7c)

根據式(5)、(6)，方程組7(a)～7(c)即如下矩陣形式

(8)

這個N元一階齊次線性微分方程組又可表述為如下矩陣形式

(8b)

注意式(8)與式(8a)、(8b)中的系數矩陣是一個實對稱矩陣，這是因為其中Mij=Mji,Mii=Li,i,j=1,2,…,N．根據N元一階齊次線性微分方程組的非平庸解的存在性條件，如果對任意的時變電流(如任意頻率的交流電)，方程組(8)與(8a)、(8b)均有非平庸解(平庸解即對應于直流穩恒情形，各導數為零)，則其系數矩陣的行列式必定為零

(9)

這一方程表觀上是Le的一元N次方程，難以求解．實際上研究發現，它只是Le的一元一次方程．運用行列式的性質，將式(9)左邊第2，3，…，N行減去第一行，其值不變，即得式(10)

(10)

再運用行列式的行加法性質，將上式左邊按第一行拆分為兩項之差，并移項，提取右邊行列式第一行的公因子Le，可得式(11)

(11)

(12)

將式(11)右側行列式的第2，3，…，N列減去第1列, 其值不變，再按第一行余子式展開, 即得如下N-1階行列式

(13)

(14)

2 存在反向耦合情形的符號規則

在用基爾霍夫回路定理處理存在互感的交流回路時, 應遵守同名端規則[1～4 ]．如圖2所示，在計算存在反向耦合的并聯感應線圈的等效自感系數時，我們面對同樣的復雜問題．

圖2 反向并聯耦合線圈

基于如下兩個基本事實: 即兩個順向(反向)耦合的并聯載流線圈的互感儲能為正(負)的，以及無論兩線圈是順向或反向耦合，每個載流感應線圈的自感儲能均為正值，可以推斷公式(2)與矩陣(3)、(4)中線圈之間的互感項的符號取法，即應落腳于互感項相對于其自感項的符號的比較而定，正像N個耦合載流線圈的磁場儲能公式一樣，有

(15a)

其中Ii是第i個線圈的電流．我們可在每個自感與互感系數前添加一符號因子εij=±1，據此將磁場儲能公式(15a)改寫為

(15b)

比較(15a)、(15b)兩式，可對矩陣(3)、(4)的元素訂立如下符號規則

亦即εii=1

(16a)

(16b)

εi+1,1Mi+1,1-ε1,j+1M1,j+1i,j=1,2,…,N

(16c)

3 N=2, 3時的若干特例情形的具體結論

M11M22-M12M21=L1L2-M2

(17)

(18)

將(17)、(18)二式代入公式(2)可得式(1)，正是文獻[3～5]所給的已知結果, 表明我們所推導的公式(2)對兩個線圈的并聯耦合情形是正確無誤的．在兩個線圈反向耦合時，如圖2所示，按本文第三部分的符號規則，可知

(19)

即得反向耦合的并聯感應線圈的等效自感系數表達式[3～5 ]

(20)

當N=3時，即對3個耦合的并聯感應線圈，有

M11M22M33+M12M23M31+M21M32M13

-M32M23M11-M31M22M13-M21M12M33=

(21)

L1+M32-M21-M31L1+M23-M12-M13

(22)

再將式(21)、(22)代入公式(2)，即得3個順向耦合的并聯線圈的等效自感系數的計算公式．

4 完全不耦合的并聯線圈的等效自感系數

當N個線圈并聯但完全不耦合時，(僅限于順向并聯情形)，即Mij=Mji=0，(i,j=1,2,…,N，且i≠j)，此時并聯線圈的等效自感系數由

(23)

+L1L2…LN-2LN+L1L2…LN-1=

(24)

(25a)

即得

(25b)

這顯然與用交流電的復阻抗的并聯公式計算去耦(Decoupled)并聯感應線圈的等效復阻抗的結果是彼此一致的，再一次證明我們所得公式(2)的正確性與有效性．

5 全同對稱的并聯耦合情形的等效自感系數

所謂全同對稱的并聯耦合情形，即

L1=L2=…=Ln≡L

Mij=Mji=M(i,j=1,2,…，N)

但L≠M的情形，此時，有

[L+(N-1)M](L-M)N-1

(26)

(27)

(28)

計算出(26)與(27)式中行列式的結果是需要一定的數學技術的．它們可化成兩個遞推數列之通項的求解問題．限于篇幅，我們將它們留給讀者自己完成．在N=2時，按式(28)，有

(29)

這顯然也與用公式(1)在全同對稱情形的化簡結果彼此一致．

再如N=3時

(30)

(31)

故有

(32)

這再次表明我們所得公式(2)與 (28)的正確性與有效性．

6 完全耦合的并聯線圈的等效自感的一點討論

文獻[1～6 ]等均指出或證明兩個線圈之間若完全耦合, 則其互感系數必為彼此自感系數的比例中項．即

Li≡LMij=Mji=M(i,j=1,2,…N)

Le=L=L1=L2=…=LN

(33)

7 結論與前瞻

在最一般的情形，耦合線圈之間可以是既有并聯又有串聯的混合聯接方式．任意N個串聯且相互耦合的線圈的等效自感系數可通過磁能等效法簡單求出，[參考式(15a)、(15b)]，且同樣可通過本文給定的符號規則來解決存在反向耦合的等效自感問題．本文的定理[公式(2)]成功解決了N個并聯且相互耦合線圈的等效自感問題，其對各種特例情形的具體結論，均與文獻中已有的結果相符，檢驗和證實了理論的正確性．這為進一步處理混聯且相互耦合的線圈的等效自感問題奠定了理論基礎，并將有益于電磁場、電路分析及電工學的教學與研究．

參考文獻

1 賈起民，鄭永令，陳暨耀. 電磁學.北京：高等教育出版社，2001, 223～230

2 胡友秋，程福臻，劉之景.電磁學.北京： 高等教育出版社，1994.319～324

3 Charles K Alexander;Matthew N.O.Sadiku.Funda-

mentals of Electric Circuits,the McGraw-Hill Companies.Inc.2000,(First Edition),528～530,535～537,569～571

4 劉南平, 齊兆藝. 電路基礎. 北京: 科學出版社, 2005.

148～151

5 史祥蓉、楊紹華.并聯線圈的等效自感和電流分配問題的討論. 大學物理，2010, 29 (1):31～35

6 劉佑昌.關于互感系數M的討論.物理與工程，1995, 5(2):6～8