基于三參數小波變換的地震瞬時屬性計算方法及應用

張鳳青 ， 宋永忠，高靜懷 ，沈加剛

(1.大慶油田工程有限公司，大慶 163712；2.大慶油田有限責任公司 勘探開發研究院，大慶 163712；3. 西安交通大學 電子與信息工程學院波動與信息研究所, 西安 710049)

0 引言

在油氣勘探中，地震屬性是預測含油氣目標的有效手段。目前常用的提取地震瞬時屬性方法,是通過對地震信號進行Hilbert變換得到對應的解析信號；然后由解析信號計算瞬時屬性(瞬時參數)。由于實際地震資料中存在噪聲，而計算Hilbert變換的方法對噪聲很敏感，且由于濾波器的截斷效應使得計算出的瞬時屬性精度低[1]。小波變換是一種時間一尺度域分析技術，利用解析小波把含噪聲信號分解到時間—尺度域,信號和噪聲在不同的時間—尺度域子空間內得到一定程度的分離[2]，進而在信號子空間計算瞬時參數，噪聲得到壓制，信噪比得到了改善。因此，利用小波變換能得到含噪信號更好的瞬時屬性估計[3]。信號的小波變換不僅取決于信號自身，而且也與所采用的分析小波有關[4-7]。高靜懷等[6-8]對地震資料處理及屬性提取中分析小波的選擇問題進行了系統的研究，認為選擇最佳匹配地震子波(BMSW小波)或待分析有效信號的函數作為基本小波有利于壓制噪聲，并給出了地震子波的模擬公式及相應的分析小波。BMSW小波用于瞬時頻率、瞬時帶寬等參數提取效果良好，但不能很好地分析含有頻率和振幅快速變化分量的信號[8-10]。因此，本次研究針對薄互層地震信號含有快速變化的振幅和頻率分量的特點，在最佳匹配地震子波的物理小波基礎上提出了新的分析小波即三參數小波，形成了基于三參數小波變換的高分辨率瞬時屬性分析方法。

1 方法原理

1.1 三參數小波及其時頻特性

文獻[8]給出了地震子波的模擬方法及相應的分析小波。從模擬地震子波的公式出發，考慮小波函數的容許條件和歸一化條件，可定義新的小波函數

ψ(t;σ,τ,β)=e-τ(t-β)2{p(σ,τ,β)[cos(σt)-k(σ,τ,β)]+iq(σ,τ,β)sin(σt)}

(1)

其中t是時間；σ為分析小波調制頻率；τ為能量衰減因子；β為能量延遲因子；p、k、q是待定函數；σ,τ,β∈R且σ,τ≥0(R示實數集合)。

為了書寫方便，用向量Λ=(σ,τ,β)記參數σ、τ、β集合，則ψ(t;σ,τ,β)可記為ψ(t;Λ)。相應地，式(1)可簡寫為

ψ(t;Λ)=e-τ(t-β)2{p(Λ)[cos(σt)-k(Λ)]+iq(Λ)sin(σt)}

(2)

求解p(Λ),q(Λ)和k(Λ)如下：

(4)

(5)

由式(2)構造的小波函數即為三參數小波。三參數小波有三個可調參數(σ、τ、β)，對信號做小波分析時有很高的自由度,能夠很好地匹配地震子波或給定的有效信號；與BMSW小波或其他小波相比，三參數小波有更好的時域局部化性質，適合分析包含頻率及振幅都快速變化的分量的信號。

圖1是三參數小波與BMSW小波的時-頻特性比較，小波參數取Λ=(1,0.5,0)。對于分析包含頻率及振幅都快速變化的分量的信號，要想在得到最佳的時間分辨率的同時分離開信號中的各種頻率分量，就要求取較小的σ值。當σ較小時(例如σ=1時)，BMSW小波的模在時—頻域會出現多個峰(圖1(a)、圖1(b))。使用具有多峰的分析小波對信號作小波變換會導致信號多個不同位置的局部化，這在瞬時頻率及振幅計算中會產生假象[7]，而對相同的參數而言，三參數小波的模僅有一個峰(圖1(c)、圖1(d))。由此看出，三參數小波在時-頻域有比較理想的局部化性質，這使得三參數小波不僅適合分析包含慢變頻率和幅度分量的信號，也適合包含快變分量的信號。

圖1 三參數小波與BMSW小波的時-頻特性比較Fig．1 The comparison of time-frequency characteristics between three parameters wavelet and BMSW wavelet(a) BMSW小波波形；(b) BMSW小波的Fourier振幅譜；(c) 三參數小波波形；(d) 三參數小波的Fourier振幅譜

圖2 三參數小波薄互層模型時-頻特性分析Fig．2 Time-frequency characteristics analysis of three parameters wavelet with thin-interbeded model(a)反射系數序列；(b)合成記錄；(c)三參數小波時頻域能量分布；(d) BMSW小波時頻域能量分布

為進一步分析三參數小波的時頻特性，設計了如圖2所示的薄互層模型。圖2(a)為薄互層模型的反射系數序列，其幅度大小相等，正負相間，從200 ms到300 ms，位置分別位于200 ms、 201 ms、 203 ms、… 、 255 ms、 264 ms、 272 ms、…、 300 ms；圖2(b)為對應的合成地震記錄，其中地震子波采用50 Hz的Ricker子波。

圖2(c)為由三參數小波得到的時-頻域能量分布圖。由于三參數小波有良好的時-頻局部化特性，其時-頻平面上只有一個主能量帶。主能量帶的時間中心在0.250 s處(對應最厚層，見圖2(a))，沿著主能量帶，由中心向兩邊，隨著層的變薄，中心頻率(指在給定時刻主能量帶中的能量最大值對應的頻率)變高，這符合隨著層的變薄而調諧頻率升高的薄互層時-頻響應特性[11]。此外，圖2(c)中垂直于時間軸的錐形條紋準確地刻畫了薄互層的層狀結構，這表明三參數小波具有最佳的時間分辨率。

圖2(d)是BMSW小波時-頻域能量分布。由于BMSW小波在頻率軸上有三個中心(兩個在頻率正半軸，一個在負半軸，見圖1(b))，故在時間-頻率域上形成三個能量帶(圖2(d)中未畫出負頻率半平面)。這種復雜的時頻域能量分布，模糊了薄互層的時-頻響應特性，容易導致對地下地質結構的錯誤解釋。

由此看出，擁有三個可選參數的三參數小波，用于像薄互層地震數據這樣的信號(含有頻率及振幅快速變化的分量)分析是合適的，而BMSW小波(包括Morlet小波)卻不能做到這一點。

1.2 三參數小波變換

將三參數小波作為基本小波。對于任意給定的信號s(t)∈L2(R)，L2表示平方可積函數空間，t為時間，s(t)關于分析小波ψ(t)的三參數小波變換為

(6)

式中a、b分別表示尺度及平移參數，a,b∈R且a≠0；ψ*表示取復共軛。由于三參數小波具有理想的時-頻能量分布和最佳的聯合時-頻分辨率特征，因此地震資料的三參數小波變換能夠更好地揭示薄互層的時-頻響應特性，進而提取瞬時地震屬性和刻畫薄互層的沉積旋回、研究薄互層內部結構和估算薄層厚度。

1.3 基于三參數小波的瞬時屬性計算

文獻[1]提出了用小波變換求能量有限實信號對應的解析信號的一個定理,在此基礎上給出了用小波變換計算信號瞬時參數的算法。下面列出瞬時頻率、瞬時相位及瞬時振幅等參數的計算公式。對于任意給定的信號s(t)∈L2(R)，尺度因子a，可定義瞬時屬性如下：

(7)

(8)

(9)

d(t)=abs(e′(t)/2π/e(t)

(10)

其中SR、SI是S(t)對應的復數信號的實部和虛部，e(t,a)、θ(t,a)、ω(t,a)、d(t)依次表示尺度為a時的瞬時振幅、瞬時相位、瞬時頻率及瞬時帶寬。

2 應用效果

GTZ地區FY油層是目前大慶油田主要勘探目的層，主要儲層是河道砂體，砂體厚度薄，一般為2 m～5 m，遠遠小于地震勘探分辨率，常規方法難以預測，薄層河道砂體地震識別是該區勘探的關鍵和難題[12]。我們應用三參數小波變換地震瞬時屬性方法，對該區薄儲層進行了預測，取得了良好效果。

對振幅、頻率、相位、帶寬4種屬性用3個不同參數進行處理，處理參數分別是：

Λ1=(1,0.001,22),f=[3,150]

Λ2=(1,0.001,22),f=[3,200]

Λ3=(1,0.001,22),f=[100,100]

其中Λ1、Λ2是全頻段屬性，Λ3是100 Hz分頻屬性。從處理效果看，在頻段[3，200 Hz]仍能成像，但效果與[3，150 Hz]差別不大。在分頻屬性中，分頻帶寬效果較好。

圖3是過G572—G19井三參數小波瞬時帶寬與Hilbert變換瞬時帶寬剖面對比，可以看出，三參數小波瞬時屬性的分辨率明顯高于Hilbert變換瞬時屬性。

F21x油層組發育1個較厚層砂體，在G572井厚度為6.78 m，在G19井厚度為11.9m，但由于分辨率的限制，在Hilbert變換瞬時帶寬剖面上，這個砂體沒有明顯響應。在三參數小波瞬時帶寬剖面上，分辨率明顯提高，這個砂體分布得到清晰地刻畫，而且還識別出了其他層位上的2 m～3 m的薄砂體。

圖4是F21x油層三參數小波瞬時帶寬與Hilbert變換瞬時帶寬沿層切片，通過對比看出，由于分辨率的提高，三參數小波瞬時帶寬沿層切片上，薄層砂體展布范圍有所擴大，規律也較明顯。用已知井最大單層砂巖厚度進行了驗證，Hilbert變換瞬時帶寬預測大于2 m砂體符合率只有56%,三參數小波瞬時帶寬預測大于2 m砂體符合率達到了73%,薄層砂巖預測能力有較大提高。

圖3 過G572-G19井三參數小波瞬時帶寬與Hilbert變換瞬時帶寬剖面對比Fig．3 The comparison of instantaneous bandwidth section between three parameters wavelet and Hilbert transform across the G572 - G19 well(a) Hilbert變換瞬時帶寬剖面；(b) 三參數小波瞬時帶寬剖面

圖4 F21x油層三參數小波瞬時帶寬與Hilbert變換瞬時帶寬沿層切片對比Fig．4 The comparison of instantaneous bandwidth slice between three parameters wavelet and Hilbert transform for the F21x oil layer(a) Hilbert變換瞬時帶寬切片；(b) 三參數小波瞬時帶寬切片

沉積相研究表明，該區F21x油層河道沉積具有 “北寬南窄，北曲南網，北部點壩發育，南部交叉頻繁”的特點[13]，三參數小波瞬時帶寬沿層切片揭示的砂體分布特征，符合該區的沉積規律。

3 結論

1) 三參數小波有三個可調參數，對信號做小波分析時有更大的自由度,能夠很好地匹配給定的有效信號。

2)與BMSW小波或其他小波相比，三參數小波有更好的時域局部化性質，這使得三參數小波不僅適合分析包含慢變頻率和幅度分量的信號，而且也適合包含快變分量的信號。

3)三參數小波變換能夠更好地揭示薄互層的時-頻響應特性。三參數小波變換瞬時屬性比Hilbert變換瞬時屬性有更高的信噪比和分辨率，為識別薄層砂體提供了有效手段。

4)基于三參數小波可以進一步開展薄互層的沉積旋回分析、研究薄互層內部結構和估算薄層厚度。

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