Hirota雙線性導數變換與DNLS方程的孤子解*①

周國全

(武漢大學物理科學與技術學院 湖北 武漢 430072)

1 引言

作為為數不多且典型的非線性可積模型之一，導數非線性薛定諤(DNLS)方程[1～5]即

iut+uxx+i(|u|2u)x=0

(1)

它可用來描述等離子體中的阿爾芬波[3]，此時Re(u)與Im(u)分別表示橫磁波的兩個正交分量，式(1)又可用來描述單模光纖中的亞皮秒或飛秒激光脈沖[3]，此時u表示激光脈沖的波包振幅.描述這一波包演化的修正的非線性薛定諤(MNLS)方程可經過規范變換轉化為式(1)所示的DNLS方程[5]，而兩種不同的邊界條件——零/非零邊值條件下的導數非線性薛定諤方程可用于分別描述不同的具體問題.因此，DNLS方程不僅具有深廣的物理背景，而且具有重要的數學價值與意義.在求解DNLS方程方面，通過一些學者的努力，一些開創性和基礎性的工作已經取得相當的進展[1～6].對于零邊值條件的DNLS方程，其單孤子解已通過反散射變換技術獲得[1]，多孤子解也借助于不同途徑得到不同形式的解析表達式[3～5]，尤其是文獻[4]通過運用Backlund變換得到一個類似于范得蒙德行列式形式的多孤子解，文獻[5]運用新改進的不同于Kaup的反散射變換得到了一個顯式的N孤子解.但這類求解方法均屬于間接方法，且推導過程迂回繁難[3～6].

由日本學者Hirota創立于20世紀70年代的雙線性導數變換[7]，是探求許多非線性可積方程的孤子解的一種典型而有效的直接方法.經驗表明，正確地選擇一個適當的解的形式，是對一個諸如式(1)之類的可積非線性方程成功地實施雙線性導數變換的重要而關鍵的一步.文獻[4～6]已經證明了DNLS方程的孤子解必定具有如下的標準形式

(2)

本文變量上方加橫表示復共軛.有鑒于處理DNLS方程的現有經驗，現嘗試用解形式(2)以及雙線性導數變換直接求解零邊值條件下的DNLS方程.

2 雙線性導數變換的基本概念與一般性質

Hirota對雙線性導數的定義為

(3)

其中D為雙線性導數算符.它不同于常規導數算符d.這里，A,B是兩個任意階可導的函數，其間的圓點表示一種有序乘積,不可隨意顛倒.

Hirota雙線性導數有一些很獨特的性質.現將后文要用到的兩條重要性質羅列如下.

(4)

(ω1-ω2)n(κ1-κ2)mexp(η1+η2)

(5)

特別有如下等式

此時ω1=ω2, 或者κ1=κ2.

3 DNLS方程的雙線性導數變換

在選取適當的解形式(2)之后，在Hirota雙線性導數變換之下，運用羅列于上一段的變換性質，有如下雙線性導數變換

(6)

(7)

(8)

將式(6)～(8)代入式(1)，可將其約化為

(9)

從式(9)可抽取出需要的雙線性導數方程如下

(10)

(11)

(12)

函數g,f可以分別被展開為小參數ε的級數

(13)

再將式(13)代入式(10)～(12)，并比較兩側小參數ε的具有同樣冪次項的系數，可得

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

g(1)·f(2)]=0

(20)

(21)

(22)

g(2)·f(2)+g(1)·f(3)]=0

(23)

(24)

(25)

g(3)·f(2)+g(2)·f(3)]=0

(26)

……

式(14)～(26)包含了尋找零邊值條件下DNLS方程的孤子解所需的全部信息.

4 零邊值條件下DNLS方程的單孤子解

為求單孤子解，從式(14)～(16)出發，考慮變換性質2，可選擇g(1)和f(1)為

f(1)=0,g(1)=eη1

η1=ω1t+κ1x+η10

(27)

從式(17)，可選擇g(2)=0.從式(19)可得

(28)

這里用到零邊值條件，即x→∞時，ux,t→0.將式(28)代入式(18)，可得

(29)

從式(28)和(29)，可得到f(2)的表達式

(30)

再由式(27)和(30)，能很容易地證實

(31)

以上各式立即導致式(20)簡化為如下形式

(32)

從式(32)，可選擇g(3)=0.基于同樣原因，從式(21)～(26)，可選擇f(3),g(4),g(5)…f(4),f(5)……均為零,由此將式(13)的兩級數成功地截斷為有限項的多項式，如下所示(腳標1代表單孤子)

g1=eη1

(33)

(34)

這里已經通過重新定義常數η10(它決定于初始條件),將參數εi吸收入常數因子eη10.最后，可得如下單孤子解

(35)

圖1 單孤子解隨時間和空間變量的演化

它可用兩個復參數κ1和η10來表征(它們決定于初始條件)，該單孤子解的波包振幅u1隨時間和空間的演化展示于圖1中，其中時間與空間坐標均為無量綱的純數；假如作參數變換κ1為

則能很容易地將式(35)變換為文獻[6]中所給的單孤子解的形式，精確到一個允許的常數相因子.

設復常參數λ1≡μ1+iν1(也由初始條件決定)，并定義

(36)

(37)

(38)

(39)

其中v為孤子波包的群速,c為孤子中心的相速, 則

(40)

(41)

(42)

5 零邊值條件下DNLS方程的雙孤子解

(43)

(44)

(45)

(46)

根據式(44)、(45)，可很容易地驗證如下等式

(47)

(48)

最終可得雙孤子解為

(49)

圖2 雙孤子解隨時間和空間變量的演化

實際上，在整個雙線性形式導數方程的推導過程以及單孤子和雙孤子的求解過程中，其中靠后的結果往往只是前面方程的充分但不必要的條件.因此，一些可能的其他解的模式(例如連續譜)因此而丟失.換言之，我們只是“選擇”了一種孤子解.同時，通過圖1和圖2分別展示了單孤子和雙孤子隨時間和空間而演變的三維立體演化過程.能夠發現，每一孤子在碰撞之后能夠保持其碰撞前各自的形狀和幅度, 體現了孤子碰撞過程的彈性性質,并展示了其碰撞前后的漸近行為.

6 結論

雙線性導數變換與另一種廣泛應用的反散射變換及其他等效的方法并駕齊驅，它們都是處理一些偏微分方程的有效和重要的工具.本文所用的雙線性導數變換特別適合于處理可積的非線性微分方程；通過引入雙線性導數變換及合適的孤子解標準形式(2)，展示雙線性導數變換解偏微分方程的一般手續；成功地求出了導數非線性薛定諤方程在零邊值條件下的單孤子解與雙孤子解.并可通過簡單的參數變換，將本文所得到的孤子解很容易地變換為基于反散射變換所得到的結果[5～6], 精確到一個允許的整體常數相因子, 從而，證實了雙線性導數變換這種直接方法應用于非線性可積方程的有效性與正確性.

參考文獻

1 Kaup D J, et al. An Exact Solution for a Derivative Nonlinear Schr?dinger Equation. Journal of Mathematical Physics, 1978, 19, 798(b)

2 Wadati M, et al. A Generalization of Inverse Scattering Method. J. Phys. Soc. Japan., 1979, 46, 1965

3 Huang Nian-ning, et al. Alfven Solitons. J. Phys. A: Math. Gen., 1990, 23, 439

4 Steudel H. The Hierarchy of Multi-Soliton Solutions of Derivative Nonlinear Schr?dinger Equation. J. Phys. A, 2003, 36, 1931

5 Zhou Guo-quan, et al. An N-Soliton Solution to the DNLS Equation Based on Revised Inverse Scattering Transform. Journal of Physics. A: Math. & Theo., 2007, 40, 13607～13623.(IOP Publishing)

6 Zhou Guo-quan. A Multi-soliton solution of the DNLS equation based on pure Marchenko formalism, Wuhan Univ. J. Nat. Sci., 2010, 15(1), 36～42

7 Hirota R. The direct method in soliton theory. British: Cambridge Univ. Press，2004