波束形成算法指向誤差時的穩健性研究

崔 琳,焦亞萌

(西安工程大學 電子信息學院,陜西 西安 710048)

0 引 言

波束形成是陣列信號處理的重要組成部分,它在雷達、聲納以及無線通信等領域得到了廣泛應用.隨著優化算法的發展,最優波束形成能夠根據接收數據不斷更新加權向量,使波束形成器具有較好的方位分辨力和較強的干擾抑制能力.但是許多波束形成算法都是基于對期望信號波達方向的精確估計而提出的,當實際期望信號的導向向量與理想期望信號的導向向量出現誤差時,波束形成器會將其視為干擾信號而加以抑制,因此尋求相應的解決方法已成為許多學者的研究方向[1-3].

Vapnik等人在20世紀90年代初提出的支持向量機(SVM)是一種基于結構風險最小化原理的算法,它不僅可以解決遙感、雷達等方面的分類問題[4],而且可以應用在信號處理方面,例如波束形成、波達角方向估計旁瓣抑制等.支持向量機算法的提出,使得許多新的具有穩健性的波束形成方法也隨之涌現出來.最早在2004年由César C.Gaudes等人提出將SVM與波束形成中的MVDR方法相結合,從而達到更好的抑制旁瓣的作用[5];Clodoaldo A M Lima等人將最小二乘支持向量機應用于波束形成,通過對最小二乘支持向量機中參數的設定,可以更準確地估計期望信號的波達方向[6];路遙等人通過使用SVM計算貝葉斯自適應波束形成算法的權向量,進而可以更好地控制旁瓣高度[7].本文提出一種基于支持向量回歸機的線性約束最小方差波束形成方法,該方法對于期望信號方向向量存在誤差的情況,具有一定的穩健性,仿真結果驗證了其有效性.

1 LCMV算法基本原理

假設一個由M個陣元,且陣元間距為d的均勻線列陣,則傳統的窄帶波束形成器的輸出可寫為

y(k)=wHx(k),

其中w=[w1,w2,…,wM]T∈CM×1為權向量x(k)=xk=[x1(k),…,xM(k)]T∈CM×1為基陣觀測值的復向量,它是期望信號、干擾和噪聲的統計獨立分量之和,(·)T和(·)H分別表示矩陣的轉置和共軛轉置.在某一時刻k基陣的觀測值可表示為

其中s(k),i(k),n(k)分別表示期望信號、干擾信號和噪聲,Ki表示干擾的個數,θs表示期望信號的到達方向,θij,j=1,…,K表示干擾信號的到達方向,且對應的陣列流形向量分別為a(θs)和a(θij).

LCMV波束形成加權向量設計問題表述為

其中Rn為基陣接收到的噪聲協方差矩陣,g為約束值的復數形式.

采用Lagrange乘子法來求解最優化問題,建立Lagrange函數

L=wHRnw+α[wHa(θs)-1)].

將L分別對w和a求導，并令其導數等于零.通過計算可得

由此可見,波束形成方法(以下簡稱LCMV)波束形成算法的核心是:在期望的信號波達方向θs上陣列總增益為1,而且使波束形成器總的輸出功率最小.這樣就可以最大程度地抑制波束形成器輸出中的干擾信號和噪聲.

2 SVR-LCMV算法

假定L個信號的波達方向為θi,i=1,…,L,且θi∈[0°,180°],同時假設θL是期望信號的波達方向.根據SVM的理論[8],將上述LCMV波束形成算法的信號模型與SVR的基本理論結合起來,重新考慮LCMV算法的最優化問題,可將其寫為

(1)

其中di表示波束形成器的期望輸出,即

(2)

下標R,I分別代表實部和虛部.且滿足

|di-wHa(θi)|ε=max{0,|di-wHa(θi)|-ε}.

式(2)di表示波束形成器的期望輸出.

對于每個DOA波束形成器的輸出wHa(θi)可以改寫為

同理

因此,可以將支持向量回歸問題表示成實部和虛部的形式

由此,式(1)可以寫為

(3)

(4)

滿足條件

此時,最優化問題變為求解式(4)的最小值.

為了求解帶有不等式約束的優化問題,建立Lagrange函數,Lagrange函數的表達式為

(5)

(6)

βi=C-αi,l=1,…,2L

(7)

(8)

將式(6),(7),(8)代入式(5)可得最優問題的對偶形式

根據y=wHx可以進一步計算出SVR-LCMV波束形成算法的陣列輸出.

3 仿真結果與討論

分別從沒有失配的理想情況和期望信號存在方向向量失配兩種情況來分析證明上述方法的可行性.考慮由M=10個各向同性的陣元組成的均勻線列陣,且陣元間距為半波長.為了便于計算,將陣列放置于z軸上,將陣列的中心作為坐標原點.所有的信號及干擾都是來自遠場的平面波信號,噪聲為具有單位方差的白噪聲矩陣.信號的入射方向θs=90°,干擾的入射方向θij分別為30°,70°,130°,干擾噪聲比為10dB,信號的頻率為15kHz,采樣頻率為35kHz,使用1 000個快拍數進行SVR-LCMV波束形成處理.SVR-LCMV波束形成算法分別采用兩種不同的損失函數,采用線性ε-不敏感損失函數(以下簡稱為SVR-LCMVL)和采用二次損失函數(以下簡稱為SVR-LCMVQ).根據參數的選取方法,選取懲罰參數ε=0.01,采用高斯徑向基核函數,函數中的參數σ2=0.2.

若SNR=5dB,其他參數不變,懲罰參數C分別為0.5，10和50時,進行SVR-LCMVL和SVR-LCMVQ波束形成后得到的波束圖如圖1(a)，(b)所示.從圖1可以看出,懲罰參數C的增大可以有效地降低旁瓣級的高度,但是C值選取的過大會導致SVR模型的泛化能力變差,所以C的選取必須在旁瓣級的高度和泛化能力之間進行折中,這樣才能防止“過學習”現象的出現.

(a) SVR-LCMVL算法 (b) SVR-LCMVQ算法圖1 C不同取值下的SVR-LCMV算法波束圖

對于前面所述的模型,若懲罰參數C=10,SNR=5dB,ε選取不同值時SVR-LCMVL和SVR-LCMVQ波束形成算法的波束圖如圖2(a),(b)所示.從圖2可以看出，ε越大,SVR模型中支持向量越少,SVR回歸的精度越低,所以SVR-LCMV算法的性能有所下降.但ε值選取的過小,會導致SVR模型的泛化能力變差,因此ε的取值需要控制在一定范圍內.

(a) SVR-LCMVL算法 (b) SVR-LCMVQ算法圖2 ε不同取值下的SVR-LCMV算法波束圖

圖3 3種算法的SNR與SINR的關系

圖3給出了LCMV、SVR-LCMVL和SVR-LCMVQ 3種算法輸入SNR與輸出SINR之間的關系.從圖3可以看出，在輸入信噪比相等的情況下,SVR-LCMVL算法比SVR-LCMVQ算法的輸出信干噪比大,而且SNR>2sdB時,SVR-LCMVL算法的輸出SINR要大于LCMV算法的輸出SINR.由此可見,輸入信噪比較大時,SVR-LCMVL算法可以彌補LCMV算法的不足,表現出比LCMV算法更優的性能.

針對基于SVR的10元線陣假設模型,只考慮期望信號存在方向向量失配的情況.若實際的期望信號入射方向為88°.在SNR分別為5dB和20dB時,LCMV算法、SVR-LCMVL算法以及SVR-LCMVQ算法的波束圖如圖4(a),(b)所示.從圖4可以看出，由于方向向量存在失配,LCMV算法誤將期望信號認為是干擾信號,對其進行了抑制,而SVR-LCMVL算法可以允許主瓣方向存在較小誤差,所以波束圖中主瓣方向出現微小的偏差,但是在其它方面仍然保持比較穩定的性能,說明當信號DOA存在失配時,算法仍然具有較好的魯棒性.SVR-LCMVQ算法在信噪比較小時,雖然對于干擾信號沒有抑制作用,但是其主瓣方向并沒有出現偏差,相比于其它兩種算法,它的魯棒性最強,但在信噪比較大時,它的旁瓣迅速升高且出現畸變,性能下降的比較明顯.

(a) SNR=5dB (b) SNR=20dB圖4 不同信噪比時三種算法的波束圖

圖5 方向向量失配時,3種算法的SNR與SINR的關系

圖5給出了期望信號的方向向量存在誤差時,LCMV、SVR-LCMVL和SVR-LCMVQ 3種算法的輸入SNR與輸出SINR之間的關系.從圖5可以看出,輸入信噪比相等的情況下,SVR-LCMVL算法比SVR-LCMVQ算法的輸出信干噪比大.在SNR>20dB,SVR-LCMVL算法的輸出SINR超過LCMV算法,因此SVR-LCMVL算法在失配的條件下,更能表現出它的良好性能.

4 結 論

(1) 在討論傳統LCMV算法的基礎上,將支持向量機算法應用于魯棒波束形成.通過對沒有失配的理想情況和期望信號存在方向向量失配兩種情況,分別對SVR-LCMVL和SVR-LCMVQ兩種方法進行仿真分析.

(2) 仿真結果發現,在無失配的理想情況和有失配的實際情況下,SVR-LCMVL和SVR-LCMVQ兩種方法不僅可以在不同信噪比情況下保持較好的性能,而且在輸入高信噪比時可以比傳統LCMV算法輸出更高的信干噪比,尤其是在方向向量存在失配時,SVR-LCMVL和SVR-LCMVQ方法的穩健性更為突出.

參考文獻：

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