基于差分進(jìn)化算法的衛(wèi)星軌道計(jì)算方法

劉秀平,孫海峰,景軍鋒,韓麗麗

(1.西安工程大學(xué) 電子信息學(xué)院,陜西 西安 710048;2.西安電子科技大學(xué) 空間科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,陜西 西安 710071;3.西安交通工程學(xué)院 電子工程系,陜西 西安 710065)

0 引 言

衛(wèi)星或航天器的軌道位置信息是執(zhí)行空間任務(wù)或?qū)Ш降幕A(chǔ)[1].不論是用于通信的低軌道衛(wèi)星,還是用于導(dǎo)航定位的高軌道衛(wèi)星都對(duì)軌道位置的計(jì)算時(shí)間和精度有相應(yīng)的容忍要求[2-3],及時(shí)獲取高精度的位置信息是導(dǎo)航的目標(biāo).通過(guò)對(duì)圓軌道、橢圓軌道、拋物線和雙曲線軌道建立位置與時(shí)間相關(guān)聯(lián)的開普勒方程來(lái)獲取高精度軌道位置信息[4].除圓軌道外,其他形式軌道的開普勒方程均涉及到超越方程的求解[5].傳統(tǒng)的Newton迭代法、梯度法等方法對(duì)初始值的選取要求較高,對(duì)函數(shù)的梯度計(jì)算敏感,并且導(dǎo)數(shù)冗繁[6].在面對(duì)不可微、函數(shù)性質(zhì)復(fù)雜等問(wèn)題時(shí),傳統(tǒng)方法的優(yōu)化結(jié)果不能令人滿意.研究高效的、穩(wěn)定的、導(dǎo)數(shù)信息和初始值要求不高的求解方法十分重要.差分進(jìn)化算法對(duì)約束的優(yōu)化問(wèn)題能獲得較好的性能.本文首先介紹了差分進(jìn)化算法的原理,構(gòu)建衛(wèi)星軌道計(jì)算模型,然后利用差分進(jìn)化算法對(duì)軌道參數(shù)計(jì)算,最后分析了各種衛(wèi)星軌道的計(jì)算性能,并與其他算法進(jìn)行了比較.

1 差分進(jìn)化算法

差分進(jìn)化算法(Differential Evolution,DE)是目前進(jìn)化算法中最優(yōu)秀的一種,在含約束的單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題和無(wú)約束的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用[7].DE算法是基于浮點(diǎn)矢量編碼具有保優(yōu)思想的貪婪遺傳算法,其思想是從某一隨機(jī)產(chǎn)生的初始化種群(I),通過(guò)變異操作(M)和交叉操作(C)產(chǎn)生新個(gè)體,再通過(guò)選擇操作(S)實(shí)現(xiàn)優(yōu)勝劣汰.不斷迭代,引導(dǎo)搜索過(guò)程向最優(yōu)解逼近,直到滿足精度要求或滿足停止條件為止.具體操作步驟為:

Step 1:初始化(Initialization),在定義內(nèi)隨機(jī)生成含有N個(gè)p維變量的個(gè)體,組成初始種群;當(dāng)前迭代次數(shù)t=1,最大迭代次數(shù)為G.

Step 2:變異操作(Mutation),從當(dāng)前種群中隨機(jī)選擇兩個(gè)個(gè)體xr1，xr2,對(duì)其進(jìn)行變異操作,即

(1)

Step 3:交叉操作(Crossover),其目的是增加群體的多樣性,即

(2)

Step 4:選擇操作(Selection),為保證算法不斷向全局最優(yōu)解靠近,算法采用“優(yōu)勝劣汰”的選擇策略.經(jīng)過(guò)變異和交叉后的個(gè)體,只有適應(yīng)度更優(yōu)時(shí),才能被競(jìng)爭(zhēng)選入子代,即

(3)

式中f()為目標(biāo)函數(shù),假設(shè)解決的為最小化問(wèn)題.

圖1 地心赤道坐標(biāo)系和近焦點(diǎn)坐標(biāo)系關(guān)系

2 差分進(jìn)化算法的軌道預(yù)測(cè)算法

在實(shí)際工程應(yīng)用中,軌道根數(shù)是衛(wèi)星的主要參數(shù).軌道根數(shù)包括軌道的半長(zhǎng)軸(a)(或比角動(dòng)量的模)、傾角(i)、升交點(diǎn)赤經(jīng)(Ω)、偏心率(e)、近地點(diǎn)幅角(ω)和真近點(diǎn)角度(θ).

(4)

式中μ為地球的引力參數(shù),μ=398 600km3/s2,h為比角動(dòng)量的模

(5)

(6)

(4) 根據(jù)地心赤道坐標(biāo)下的初始位置向量rXYZ0和速度向量vXYZ0,迭代Δt時(shí)刻后的狀態(tài)向量.

根據(jù)rXYZ0和vXYZ0,計(jì)算出rXYZ0的模,vXYZ0在rXYZ0上投影得到速度的徑向分量和長(zhǎng)半軸的倒數(shù),分別表示為r0，vr0，α.

(7)

設(shè)t0為全局變量為零的時(shí)刻,則(t0+Δt_時(shí)刻的χ值,可由全局開普勒方程獲得.

(8)

(9)

當(dāng)t0為其他不同于近地點(diǎn)的時(shí)間時(shí),全局變量χi與近點(diǎn)角的關(guān)系為

(10)

針對(duì)軌道參數(shù)預(yù)測(cè)問(wèn)題,通過(guò)DE算法得到的解決方案,能夠擴(kuò)展搜索空間,提高群體的多樣性,能得到更優(yōu)的軌道參數(shù)[8].通過(guò)啟發(fā)式策略修正使其滿足約束條件,并根據(jù)式(9)評(píng)價(jià)各個(gè)個(gè)體的適應(yīng)值.DE算法具體如下:

Step 1:輸入軌道根數(shù)的參數(shù)和約束的上下限值,設(shè)置DE算法的參數(shù).

Step 2:初始化群體，每個(gè)個(gè)體都有一組決策變量組成,這些變量為時(shí)間段內(nèi)近點(diǎn)角的輸出值.

Step 3:針對(duì)個(gè)體χi,從群體中隨機(jī)選擇互不相同的個(gè)體χk,χi,χm,利用式(1)生成變異個(gè)體.

Step 4:針對(duì)個(gè)體χi,利用式(2)產(chǎn)生臨時(shí)測(cè)試個(gè)體ui.

Step 5:利用測(cè)試個(gè)體ui,使其滿足各種約束條件,并對(duì)ui的適應(yīng)值進(jìn)行評(píng)估[9].

Step 6:當(dāng)適應(yīng)值較大時(shí),進(jìn)入下一次迭代，且迭代次數(shù)增加.

Step 7:判斷停止條件.當(dāng)群體中個(gè)體數(shù)目達(dá)到最大，或達(dá)到最大迭代次數(shù)，則滿足停止條件；否則，轉(zhuǎn)向Step3.

Step 8:輸出群體最優(yōu)的方案.

3 結(jié)果與分析

測(cè)試DE算法對(duì)軌道全局近點(diǎn)角及軌道位置和速度信息的尋優(yōu)性能,并與其他算法比較.算法利用Matlab平臺(tái)實(shí)現(xiàn),各算法均在Intel(R) Core(TM) i3 CPU M370@2.4GHz 2.4GHz內(nèi)存,Win 7系統(tǒng)的PC機(jī)上運(yùn)行.

為了測(cè)試算法的性能,選取衛(wèi)星軌跡為橢圓、拋物線和雙曲線軌道為測(cè)試函數(shù).DE算法對(duì)衛(wèi)星軌道的真近點(diǎn)角的預(yù)測(cè)性能,如表1所示.對(duì)3類不同類型的5個(gè)衛(wèi)星軌跡全局近點(diǎn)角進(jìn)行了計(jì)算.橢圓軌道的參數(shù)為近地點(diǎn)半徑9 600km和遠(yuǎn)地點(diǎn)半徑21 000km,利用DE算法計(jì)算1.132h和3h后的近點(diǎn)角,其最優(yōu)解為120°和193.0°，DE算法比PSO算法和GA算法獲得的近點(diǎn)角有更好的逼近.對(duì)于雙曲線,參數(shù)分別為速度15km/s和近地點(diǎn)半徑300km,計(jì)算4.15h和3h的近點(diǎn)角,其理論值為111.1°和99.8°.從表1看出,DE算法有更高的軌道精度逼近性能.軌跡為拋物線時(shí),也獲得了較好的效果.可見,DE算法在衛(wèi)星軌道預(yù)測(cè)方面有較好的尋優(yōu)能力.這主要得益于DE進(jìn)化算法使得種群的進(jìn)化在每一個(gè)較好的解附近搜索.因此,一旦有較好解出現(xiàn)在種群中,就獲得很大的發(fā)展空間,算法有較快的速率收斂.已知t0時(shí)刻的位置r0和速度v0,由拉格朗日系數(shù)及其導(dǎo)數(shù),可以求得任意時(shí)刻的位置r和速度v,從而,確定任意時(shí)刻的位置信息和速度信息.

表1 算法對(duì)軌道真近點(diǎn)角預(yù)測(cè)性能比較

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)于衛(wèi)星軌道預(yù)測(cè)中開普勒方程是超越方程,有不可微、函數(shù)性質(zhì)復(fù)雜等特點(diǎn),建立了衛(wèi)星軌道預(yù)測(cè)模型,構(gòu)建目標(biāo)函數(shù).采用標(biāo)準(zhǔn)化DE算法尋找到最優(yōu)的全局近點(diǎn)角.通過(guò)分析3種不同衛(wèi)星軌跡,結(jié)果表明該算法對(duì)于此類問(wèn)題有較好的尋優(yōu)能力.

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