恒定應力加速退化試驗中避免偽壽命分布誤指定的一種建模方法

徐廷學,王浩偉,張磊

(1.海軍航空工程學院兵器科學與技術系,山東煙臺 264000;2.海軍航空工程學院科研部,山東煙臺 264000)

恒定應力加速退化試驗中避免偽壽命分布誤指定的一種建模方法

徐廷學1,王浩偉1,張磊2

(1.海軍航空工程學院兵器科學與技術系,山東煙臺 264000;2.海軍航空工程學院科研部,山東煙臺 264000)

為了避免恒定應力加速退化試驗(CSADT)中偽壽命分布類型誤指定的發生,提出了基于退化軌跡參數折算的建模方法。區別于傳統建模方法對壽命分布模型的參數進行加速建模的做法,提出的建模方法對退化軌跡函數的參數進行加速建模,以獲取所有樣品在工作應力下的偽壽命值從而可以準確辨識其分布類型。通過某型碳膜電阻CSADT數據對所提方法進行了實例應用,研究結果表明所提方法有效解決了偽壽命分布誤指定問題。

兵器科學與技術；恒定應力加速退化試驗；偽壽命；誤指定；加速系數

0 引言

加速壽命試驗(ALT)和加速退化試驗(ADT)可為快速評估產品的可靠性提供有效、可行的手段,因此成為了可靠性領域的重要研究方向[1-3]。通常情況下,ADT比ALT更為高效,因為樣品在ADT中勿需失效,可通過樣品的退化規律預測出失效時間,預測的失效時間被稱為偽壽命。恒定應力加速退化試驗(CSADT)憑借其比較容易操控的試驗過程和成熟的數據統計方法,被廣泛應用于產品的可靠性評估[4-7]。

在CSADT建模時,確定樣品偽壽命的分布類型是非常重要的環節,直接影響到產品壽命預測的準確性。目前,對產品壽命分布類型的確定有3種途徑[8]:一是通過分析產品的失效機理確定;二是根據工程經驗或專家判斷確定;三是通過對壽命數據進行最優擬合檢驗確定。對一些新產品來說,由于缺少工程經驗和歷史認識,失效機理又沒被完全掌握,第3種途徑比較穩妥,本文針對第3種方法研究避免分布類型誤指定的問題。傳統的基于偽壽命的建模方法(以下簡稱傳統方法)需要估計出各個應力水平下的偽壽命值,根據Pieruschka假定[9],產品在各個應力水平下的偽壽命值應服從同一分布類型。然而在實際應用中,各應力水平下壽命值的最優擬合分布類型往往并不一致,難以判斷產品壽命的最優分布類型,容易造成分布類型誤指定。

CSADT中的傳統方法源自恒定應力加速壽命試驗(CSALT),區別是增加了利用退化軌跡函數對產品退化過程建模的步驟。針對此特點,本文提出了基于退化軌跡函數參數折算的建模方法,利用加速模型對退化軌跡函數的各參數與加速應力之間的關系進行建模,而傳統方法是利用加速模型對分布函數的各參數與加速應力之間的關系進行建模。參數折算的方法可獲得所有樣品在工作應力水平下的偽壽命值,從而可以對所有偽壽命值統一進行最優擬合檢驗,有效避免產品壽命分布誤指定的發生。

1 退化建模與參數估計

假設tijk為第j個樣品在第k個加速應力下進行第i次測量的時間點,y(tijk)為相應的退化增量測量值,有y(0)=0,i=1,2,…,njk,j=1,2,…,mk,k= 1,2,…,l,其中l表示加速應力的總數,mk表示第k個加速應力下的樣品數,njk表示第j個樣品在第k個加速應力下的測量次數。樣品的退化軌跡函數可由(1)式表示[10]:

式中:g(tijk;θ)表示樣品的退化增量真值;θ表示未知參數向量;εijk為測量誤差,且εijk～N(0,σ2jk);

樣品的退化軌跡一般可分為直線型、指數型和冪律型,指數型和冪律型可通過對數變化轉換成直線型。不失一般性,假設退化軌跡為冪律型,則

式中:a,b為未知參數;θ=(a,b).

對于ADT中的每一個樣品,可通過其測量值(yjk,tjk),得到退化軌跡函數的參數估計值jk.由(1)式可得[yijk-g(tijk,θ)]～N(0,σ),則可對每個樣品建立如下的極大似然函數并估計出:

2 參數的加速模型

Pieruschka在1961提出了ALT的第1個基本假定:在不同的應力水平下,產品的壽命服從同族的失效分布類型,即改變應力水平不改變失效分布族,而僅僅改變分布參數。此后,關于ALT的所有假定都在這一基本假定下展開。Pieruschka假定在ADT中得到了擴展:在不同的應力水平下,產品的退化路徑應服從同一形式,改變應力水平不改變退化路徑的形式,而僅僅改變其中的參數。據此,可推斷參數a應該隨著應力變化而改變,參數b決定著產品退化路徑的形狀,應該與應力無關。假設加速應力為溫度T,選擇Arrhenius方程作為加速模型,則可設

式中:γ1、γ2為待定系數。

2.1 參數與加速應力關系的推導

Pieruschka假定指出分布參數在加速應力下會發生改變,卻沒有說明會如何變化。周源泉等[11]提出了加速系數不變原則,并在此基礎上給出了推導分布函數的各參數如何變化的方法。加速系數不變原則是指為了保證加速系數具有工程應用性,需要求加速系數為一個不隨時間變化的常數,僅由加速應力水平所決定。文獻[12]進一步指出產品的失效機理不變是保證加速系數不變的充要條件,有效的ALT必須保證產品的失效機理不變,因此也應滿足加速系數不變原則。

本文將加速系數不變原則引入到ADT,用以推導退化軌跡函數的各參數在加速應力下應如何變化,驗證(4)式中的關系式。加速系數的定義在ADT中與ALT中并不相同,但內涵一致。馮靜等[13]給出了ADT中加速系數較為規范的定義:當產品在ADT不同的應力水平下具有相等的平均退化量d時,將其退化時間的比值定義為應力水平之間的加速系數

式中:AFk,0為加速應力水平Tk相對于正常應力水平T0的加速系數;td,k、td,0分別為產品在Tk、T0下的平均退化量達到d的時間。平均退化量可分別由gk(t;ak,bk)和g0(t;a0,b0)表示,當平均退化量都為d時,則

將(6)式代入(5)式,則

因為d為時間t的函數,如要保證AFk,0為一個不隨時間t變化的常數,也就是要求(7)式中的AFk,0與d無關。據此可推導出bk=b0=b,此時ak/a0=(AFk,0)1/b.可知參數b與加速應力無關,而參數a與加速應力相關,描述了產品在不同應力水平下的退化速率,故參數a、b與溫度T的關系可表示為(4)式中的形式。

2.2 額定應力下的參數值

式中:Bk,0為折算系數。

因為參數b值與加速應力無關,在各應力水平下應保持不變,所有bh0取為bjk的平均值。由參數折算值h0=(ah0,bh0)和失效閾值D,可計算出各樣品在工作應力T0下的偽壽命值ξh0.

3 偽壽命參數估計

使用最優擬合檢驗的方法確定與偽壽命值擬合最好的分布類型,因為指數分布、正態分布、對數正態分布、威布爾分布、伽瑪分布具有比較好的分布特性并能涵蓋絕大多數分布情況,故選擇此5種分布作為偽壽命值的備選分布類型。

Anderson-Darling統計量具有良好的統計特性[14],不但可用于最優擬合檢驗而且可以對特定分布類型進行擬合優度的假設檢驗。Anderson-Darling統計量可描述數據服從特定分布類型的程度,數據與分布擬合得越好,統計量的AD值越小。AD值的計算公式如下:

式中:Fn(x)為經驗分布函數;F(x)為累積分布函數;n為檢驗樣本的個數。

當利用Anderson-Darling統計量進行假設檢驗時,設顯著性水平為0.05,如果得到統計量的P值大于0.05,則可以得出偽壽命值服從指定分布類型的結論。假設偽壽命值ξh0的最優擬合分布為伽瑪分布,則產品在工作應力T0下的可靠度函數為

4 傳統的基于偽壽命的建模方法

為了分析偽壽命分布誤指定給壽命預測帶來的影響,文本亦給出了傳統的基于偽壽命的建模方法,其特點是利用加速模型對分布函數的各參數與加速應力之間的關系進行建模。工程實踐中,威布爾分布、對數正態分布及伽瑪分布之間比較容易發生誤指定。

1)假設ξjk服從威布爾分布,由加速系數不變原則可推導出尺度參數與加速應力有關而形狀參數與應力無關。利用Arrhenius方程將Tk下的尺度參數表示為ηk=exp(α1+α2/Tk),設mk=α3.由威布爾分布的概率密度函數建立融合所有ξjk的似然函數如下:

2)假設ξjk服從對數正態分布,由加速系數不變原則可推導出其對數均值μ與加速應力有關,對數標準差與應力無關。利用Arrhenius方程將Tk下的對數均值表示為μk=β1+β2/Tk,設對數標準差為σk=β3.建立融合所有ξjk的似然函數如下:

5 案例分析

Meeker等[15]提供了某型碳膜電阻在CSADT中的試驗數據。加速應力為溫度,3組加速應力水平分別為83℃、133℃和173℃,產品的工作應力水平為50℃.試驗過程中所有樣品同時測量,測量時刻為452 h、1 030 h、4 341 h和8 084 h,退化參量為電阻值的百分比增量,更為詳細的試驗數據可參考文獻[15]中的Table C.3.

圖1描述了在3個加速應力水平下樣品電阻值百分比增量y的變化軌跡,可見圖中的退化曲線為冪率型,對各樣品進行退化建模,得到(ajk,bjk)的極大似然估計值如表1所示(為了方便計算,時間單位取為103h).不同的加速應力之間的^αjk值有明顯的變化,而^bjk值變化不明顯,這也印證了參數a與加速應力有關而參數b與加速應力無關的結論。由于技術手段的限制,測量到的退化數據不可避免地帶有一定的誤差,所以^bjk值很難相等,會在一定范圍內波動,但在預測偽壽命時^bjk取為平均值較為穩妥。當失效閾值設為D=5%,^bjk取平均值0.412 7時,可計算得各個樣品的偽壽命值如表1中所示。使用Anderson-Darling統計量對各加速應力下的偽壽命值進行最優擬合檢驗,得到AD值如表2所示。可知^ξj1最優服從對數正態分布,^ξj2最優服從伽瑪分布,^ξj3最優服從威布爾分布,此時無法判斷產品壽命的最優分布類型,容易發生分布類型誤指定。

圖1 電阻值百分比增量的變化軌跡Fig.1 The changing paths of the resistance percentage increments

5.1 傳統的基于偽壽命的方法

表1 (ajk,bjk)的極大似然估計值及偽壽命預測值Tab.1 MLEs of(ajk,bjk)and the pseudo life predictions

表2 偽壽命在各分布類型下的AD值Tab.2 AD s of pseudo life for each distribution type

圖2 3種分布類型下的可靠度曲線Fig.2 The reliability curves for 3 distribution types

5.2 參數折算的方法

由^ajk,通過最小二乘法解得(^γ1,^γ2)= (7.171,2 978.110),然后利用(8)式可得折算系數為B1,0=2.349,B2,0=6.575,B3,0=12.689,進一步可得折算值ah0及對應的偽壽命預測值ξh0如表3所示。使用Anderson-Darling統計量對ξh0進行最優擬合檢驗,得到AD值如表2中所示,可知ξh0最優服從伽瑪分布,從而可確定產品壽命的分布類型為伽瑪分布。通過(11)式,可解得參數的點估計值為(,)=(3 362.804,2.387),利用Bootstrap自助抽樣法解得兩參數置信水平為95%的區間估計分別為[0.863,4.996],產品的可靠度R曲線及95%的置信上限和下限如圖3所示。為了驗證參數折算方法的有效性,圖3中亦給出了利用傳統方法得到的可靠度R曲線(此時的分布類型為伽瑪分布,不存在誤指定)。可見,使用參數折算方法和傳統方法得到的可靠度曲線較為接近但不完全一致,由于測量數據的不完美,參數估計方法不同等因素造成了兩種方法預測結果的差異。

表3 折算值ah0與對應的偽壽命預測值ξh0Tab.3 Converted values ah0and corresponding pseudo life predictionξh0

圖3 產品的可靠度曲線Fig.3 The reliability curves of product

6 結論

CSADT中,傳統的建模方法是利用加速模型對分布函數的各參數與加速應力之間的關系進行建模,而本文提出的參數折算方法是利用加速模型對退化軌跡函數的各參數與加速應力之間的關系進行建模。案例應用分析了偽壽命分布誤指定的存在,驗證了提出的方法可有效避免誤指定的發生。

利用加速試驗數據進行建模時,必不可少的一個步驟是建立參數的加速模型。加速系數不變原則為確定參數與加速應力之間的關系提供了理論支撐和推導方法,克服了依據經驗假定參數與應力關系所引入的主觀性較大的不足,對建立合理、準確的可靠性模型具有一定的指導意義。

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A Reliability M odeling Approach to Avoiding M is-specification of Pseudo Life Distribution in CSADT

XU Ting-xue1,WANG Hao-wei1,ZHANG Lei2
(1.Department of Ordnance Science and Technology,Naval Aeronautical and Astronautical University, Yantai264000,Shandong,China;
2.Department of Scientific Research,Naval Aeronautical and Astronautical University,Yantai264000,Shandong,China)

A reliabilitymodeling approach based on parameter conversion is proposed to avoid the misspecification of pseudo-life distribution in constant stress accelerated degradation test(CSADT).The proposed method models the parameters of degradation path functions.It is different from the traditional method thatmodels the parameters of distribution functions.The pseudo life of all samples under the working stress is evaluated,and the distribution type can be accurately identified.A application example with the CSADT data of carbon-film resistors is provided.The research results show that the proposed method can effectively resolve the problem ofmis-specification of pseudo-life distribution.

ordnance science and technology;constant stress accelerated degradation test;pseudo life; mis-specification;acceleration factor

TB114.3

A

1000-1093(2014)12-2098-06

10.3969/j.issn.1000-1093.2014.12.024

2014-03-13

國防預先研究基金項目(4010801020402)

徐廷學(1962—),男,教授,博士生導師。E-mail:xtx-yt@163.com