一道中考題帶來(lái)的啟示

劉世杰

摘 要 中考復(fù)習(xí)回歸課本已是勢(shì)在必行，中考試題都根植于課本，只不過(guò)是對(duì)原題引申、條件變換、移植轉(zhuǎn)換、增加了解題的層次性。說(shuō)題是對(duì)中考試題的創(chuàng)造性研究與中考試題回歸課本是相輔相成的，是我們做好中考復(fù)習(xí)的重要法寶。

關(guān)鍵詞 說(shuō)題 中考 數(shù)學(xué)

中圖分類號(hào)：G633.63 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Inspiration from a Problem in High School Entrance Examination

——Dynamic Point Issues in Trapezoidal

LIU Shijie

（High School Affiliated to Xinjiang Agricultural University， Urumqi， Xinjiang 830000）

Abstract Examination is imperative to review the return of textbooks， the exam questions are rooted in the textbook， but is extended to the original question， the conditions change， transplant conversion， increasing the level of problem-solving. Said the problem is the study of creativity exams and exam questions return textbooks are complementary， we make an important weapon in the test review.

Key words said the problem； examination； mathematics

本文以一道中考選擇題為例進(jìn)行說(shuō)題。

說(shuō)題題目：2012年烏魯木齊數(shù)學(xué)中考試題第10題

如圖1，AD∥BC，∠D = 90€埃珹D=2，BC=5，CD=8，若在CD邊上有點(diǎn)P，使△ PAD與△PBC相似，則這樣的點(diǎn)有（ ）

A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)

1 說(shuō)試題立意及背景

試題立意：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是近年來(lái)中考的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，要求學(xué)生能夠?qū)c(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中相伴隨的數(shù)量關(guān)系、圖形位置關(guān)系等進(jìn)行觀察研究，化“動(dòng)”為“靜”。從數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)來(lái)看，動(dòng)點(diǎn)依附于不同的載體，一般考察幾何圖像的判定和性質(zhì)（如梯形，相似三角形，直角三角形等）以及函數(shù)和方程等知識(shí)，綜合性很強(qiáng)。考察的途徑越來(lái)越復(fù)雜，對(duì)學(xué)生的讀題、解題、知識(shí)遷移能力、數(shù)形結(jié)合的思維能力提出了很高的要求。

說(shuō)背景：本題以直角梯形作為載體，動(dòng)點(diǎn)P隱含其中，以相似三角形的判定為主要考點(diǎn)，運(yùn)算上以一元方程求解為突破，得到點(diǎn)P的個(gè)數(shù)。本題運(yùn)用分類討論思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵。主要考查學(xué)生對(duì)基本知識(shí)、基本方法、基本技能的理解、掌握和應(yīng)用，屬中考中等難度試題。

2 說(shuō)學(xué)情、教法

說(shuō)學(xué)情：學(xué)生較容易先找任一點(diǎn)，大致勾勒三角形，進(jìn)而利用相似三角形判定列方程，但在分類討論及列方程求解上容易疏漏，這里要注意，需平時(shí)加強(qiáng)訓(xùn)練。

說(shuō)教法：從圖形運(yùn)動(dòng)中找出規(guī)律，轉(zhuǎn)化為一般的幾何證明、代數(shù)計(jì)算問(wèn)題，探究解決問(wèn)題的策略，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的完備性。

3 說(shuō)解法

解法一： 解：在CD上找一點(diǎn)P，得到△PAD和△PBC，設(shè)DP=X，則CP = 8-X，若△PAD～△PBC，對(duì)應(yīng)邊成比例則有兩種可能情況。

圖2 圖3

（1） = （一元一次方程） 有一個(gè)解——一個(gè)點(diǎn)

（2） = （一元二次方程） 有兩個(gè)不相等解——兩個(gè)點(diǎn)

經(jīng)檢驗(yàn)，均符合題意。答案：C

解法二：從形的角度來(lái)分析（圖3），利用物理上的反射來(lái)構(gòu)造相似，相對(duì)的兩角相等，這只有一種情況；利用勾股定理證明的圖形作為背景，相對(duì)的兩個(gè)角互余，但不等，互余且相等的情況不可能，圖3是反例，這時(shí)，以不垂直于底的腰為直徑畫(huà)圓，有兩個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)有兩種情況，總計(jì)三種即有三個(gè)點(diǎn)存在。

4 拓展變化

如圖4，AD∥BC，∠D=90€埃珹D=a，BC=b，AB=c，若在CD邊上有點(diǎn)P，使△ PAD與△PBC相似，則這樣的點(diǎn)有（ ）個(gè)。

圖4

本題解有四種情況：以AB為直徑作圓，利用梯形中位線定理和圓與直線的位置關(guān)系可解得：（1） 如圖4（a），ca+b CD≠a+b反射構(gòu)造相似一個(gè)點(diǎn)，圓與直線相交構(gòu)造兩個(gè)點(diǎn)，這三點(diǎn)互不重合（一元二次方程有兩個(gè)不相等的解）；（4） 如圖4（d），c>a+b CD=a+b反射構(gòu)造相似一個(gè)點(diǎn)，圓與直線相交構(gòu)造兩個(gè)點(diǎn)，這三點(diǎn)中有兩點(diǎn)重合，總共有兩點(diǎn)（一元二次方程有兩個(gè)不相等的解，其中有一解于一元一次方程解相同）。

啟示一：本題兩種解法實(shí)際從數(shù)和形的角度出發(fā)，把一元方程解的個(gè)數(shù)與圓與直線的三種位置關(guān)系聯(lián)系起來(lái)，這兩個(gè)看似毫無(wú)關(guān)聯(lián)的知識(shí)通過(guò)直角梯形這個(gè)載體有機(jī)統(tǒng)一在一起，我們?cè)谄綍r(shí)命題時(shí)可以有意識(shí)去嘗試把代數(shù)和幾何以某個(gè)特征圖形為平臺(tái)聯(lián)系起來(lái)，去考察中考考點(diǎn)，讓我們對(duì)題目有更加深刻的認(rèn)識(shí)，而不是蜻蜓點(diǎn)水，淺嘗輒止。

5 中考鏈接（2013 攀枝花）

如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是梯形，AB∥CD，點(diǎn)B（10，0），C（7，4）。直線經(jīng)過(guò)A，D兩點(diǎn)，且sin∠DAB = 。動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以每秒5個(gè)單位的速度沿B→C→D的方向向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PM垂直于x軸，與折線A→D→C相交于點(diǎn)M，當(dāng)P，Q兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t>0），△MPQ的面積為S。

（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ，直線的解析式為 ；（2）試求點(diǎn)Q與點(diǎn)M相遇前S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出相應(yīng)的t的取值范圍；（3）試求（2）中當(dāng)t為何值時(shí)，S的值最大，并求出S的最大值；（4）隨著P，Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M在線段DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)PM的延長(zhǎng)線與直線相交于點(diǎn)N，試探究：當(dāng)t為何值時(shí)，△QMN為等腰三角形？請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值。

思路分析：（1）利用梯形性質(zhì)確定點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用sin∠DAB = 特殊三角函數(shù)值，得到△AOD為等腰直角三角形，從而得到點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，0）；由點(diǎn)A、點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式為 = + 4。

（2）解答本問(wèn)，需要弄清動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程：①當(dāng)0

（3）本問(wèn)考查二次函數(shù)與一次函數(shù)在指定區(qū)間上的極值，根據(jù)（2）中求出的S表達(dá)式與取值范圍，逐一討論計(jì)算，最終確定S的最大值；

（4）△QMN為等腰三角形的情形有兩種，需要分類討論，避免漏解。

解：以第二問(wèn)為主（2）在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中：

①當(dāng)0

過(guò)點(diǎn)C作CF⊥軸于點(diǎn)F，則CF=4，BF=3，由勾股定理得BC = 5。過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥軸于點(diǎn)E，則BE=BQ·cos∠CBF=5t ·=3t。∴PE=PBBE=（142t）3t=145t，S = PM·PE = €？t€祝？45t）=5t2+14t；

②當(dāng)1

過(guò)點(diǎn)C、Q分別作軸的垂線，垂足分別為F，E，

則CQ=5t5，PE=AFAPEF=112t（5t5）=167t，

S= PM·PE= €？t€祝？67t）=7t2+16t；

③當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)Q相遇時(shí)，DM+CQ=CD=7，

即（2t4）+（5t5）=7，解得t = 。

當(dāng)2

MQ=CDDMCQ=7（2t4）（5t5）=167t，

S=PM·MQ=€？€祝？67t）=14t+32。

啟示二：（1）復(fù)雜的雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題可以通過(guò)畫(huà)圖呈現(xiàn)運(yùn)動(dòng)全過(guò)程，隨著點(diǎn)的移動(dòng)，與之相關(guān)的圖形肯定隨著變化，而且移動(dòng)到不同的位置，我們研究圖形可能會(huì)改變。（2）特別關(guān)注一些不變的量，不變的關(guān)系或特殊關(guān)系，化動(dòng)為靜，由特殊情形（特殊點(diǎn)、特殊位置、特殊圖形等）過(guò)渡到一般情形。要抓住圖形在動(dòng)態(tài)變化中暫時(shí)靜止一瞬間，將這些點(diǎn)鎖定在某一個(gè)位置上，看滿足什么樣的關(guān)系，這樣問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就顯示出來(lái)，從而得到解題方法。（3）認(rèn)真研讀文字抓住其中的等量關(guān)系和變量關(guān)系。一個(gè)問(wèn)題是有關(guān)確定圖形變量之間的關(guān)系時(shí)，通常建立函數(shù)模型求解，當(dāng)確定圖形之間的特殊關(guān)系或者一些特殊值時(shí)，通常建立方程模型求解，一般涉及到全等、相似、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)。

6 教學(xué)建議及對(duì)策

（1）通過(guò)把中考試題回歸課本，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)書(shū)本知識(shí)的融會(huì)貫通。本題在九年級(jí)下教科書(shū)（人教版）中可以找到它的出處，只不過(guò)對(duì)原題引申、條件變換、移植轉(zhuǎn)換、增加解題層次性。（2）掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移，通過(guò)代數(shù)模塊與幾何模塊互相轉(zhuǎn)化，互相解釋，來(lái)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)和思維的靈活性、深刻性和創(chuàng)造性 。

具有較強(qiáng)代表性的課本習(xí)題和中考試題是數(shù)學(xué)知識(shí)的精華所在，在教學(xué)中教師要善于“借題發(fā)揮”，使所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化，培養(yǎng)學(xué)生復(fù)合思維模式，形成網(wǎng)格技能。通過(guò)說(shuō)題促進(jìn)教師對(duì)試題的研究，幫助教師把握中考命題的趨勢(shì)與方向，使中考復(fù)習(xí)走出題海戰(zhàn)術(shù)，回歸課本，把厚書(shū)讀薄，薄書(shū)讀厚，真正做到舉一反三，達(dá)到事半功倍的效果。