散射體旋轉角對二維聲子晶體帶隙結構影響分析

杜敬濤，賀彥博，馮浩成

（哈爾濱工程大學動力與能源工程學院，黑龍江哈爾濱150001）

散射體旋轉角對二維聲子晶體帶隙結構影響分析

杜敬濤，賀彥博，馮浩成

（哈爾濱工程大學動力與能源工程學院，黑龍江哈爾濱150001）

為探討散射體旋轉作用對于彈性波在聲子晶體中的傳播特性產生的影響，采用平面波展開法將散射體與晶格軸線夾角因素引入結構函數，研究了在不同填充率下，伴隨著旋轉角的變化，正方形、橢圓形、正六邊形散射體禁帶出現的位置及寬度變化情況。研究結果表明：散射體旋轉角度對二維聲子晶體帶隙結構具有顯著影響，并且散射體旋轉角對正六邊形、正方形散射體的影響明顯大于對于橢圓形散射體的影響；然而，無論散射體取為何種形狀，旋轉角度對聲子晶體產生禁帶的位置（禁帶中間頻率）影響并不明顯。

聲子晶體；帶隙；禁帶；旋轉角；平面波展開法；散射體

聲子晶體是指具有彈性波帶隙的周期性復合材料或結構，作為一種新型聲學功能帶隙材料，聲子晶體的研究不僅具有重要的理論價值，同時具有廣闊的應用前景，可以為減振降噪提供一種全新的技術思路［1-2］。為此，聲子晶體已經成為國際學術界的研究熱點。盡管對于彈性波在層狀介質中的傳播特性的研究已有近70年的歷史，但是聲子晶體概念的提出及相關理論的研究時間并不長。1992年，Sigalas等從理論上證實了周期結構中彈性波禁帶現象的存在［3］，隨后，Kushwaha等首次提出聲子晶體概念［4］。1995年，Martinez-Sala等從實驗角度對彈性波禁帶特性進行了觀測［5］。從此，聲子晶體的研究引起了全世界學者的關注。

就目前研究狀況而言，對于散射體在晶格中整齊排列理想情況的研究已經獲得了較好的進展。無論是二維或三維的情況，只有在一定條件下才能產生彈性波或聲帶波間隙。在進行二組元二維聲子晶體的研究過程中，散射體排列方式多采用正方形［6］、六邊形［7］、氯化鑰排列［8］等。散射體截面積大部分采用圓形，少數則采用正方形。但以上研究都存在不足，即一旦晶體制備完成，在實際使用的過程中無法根據實際需要調整帶隙位置及寬度。

以上不足得到了中外學者的關注并提出了各自的解決方案。具體如K.Bertodi等提出了施加外應力的方案，從而拓寬了聲子晶體帶隙［9-11］。此外，顏琳等通過散射體旋轉作用，從而成功地探究了聲子晶體帶隙寬度與旋轉角度的關系［12］。與此類似，吳福根也對于液體—液體環境下，正方形散射體偏轉角度對于帶隙結構產生的影響進行了研究［13］。但是他們的研究成果僅限于正方形散射體，對于其他形狀的散射體并未涉及。

基于散射體旋轉角對于聲子晶體禁帶的產生具有一定影響的事實將對于實際過程中人為調整聲子禁帶的位置及寬度具有極大的指導意義，本文在之前的基礎上進行了更為深入的研究，包括正方形散射體六邊形散射體以及橢圓形散射體。

1 理論模型

依據彈性動力學理論，在材料的連續性均勻性、完全線彈性、小變形、無初始應力等基本假設下，分別建立描述質點力、位移以及應力應變之間的三類基本方程［14］，首先是運動微分方程：

式中：σ是應力，ρ為質量密度，u表示質點的振動位移。

描述應變位移關系的幾何方程為

式中：ε表示應變。描述應力—應變關系的物理方程為

此處采用了張量理論中的愛因斯坦規則。在求解時，先將幾何方程（2）代入物理方程（3），在得到用位移表示的應力分量后，將其代入運動方程（1），通過整理后可以得到以位移為未知函數的運動方程：

式中：u（r，t）是位移矢量，λ（r）與μ（r）是拉梅常數，ρ（r）是介質的質量密度，它們與縱波波速及橫波波速之間的關系為

縱波波速：橫波波速：

在研究彈性波在聲子晶體內產生的帶隙作用時，平面波展開法是常用的方法［14］。其基本思想是：由于聲子晶體具有結構周期性，故而可以將彈性常數、密度等參量按照傅里葉級數展開，并與Bloch定理相結合，將彈性波波動方程在倒格矢空間內以平面波疊加的方式展開，即將波動方程轉換為本征值求解，從而得到聲子晶體的能帶結構。由于結構的周期性，拉梅參數λ、μ和密度ρ都是空間r＝（x，y）的周期性函數，從而將各材料參數進行傅里葉級數展開：（此處使用函數g統一來表示各材料參量）通過相關推導，可將傅里葉展開系數g（G）表示為

式中，G為倒格矢，對于二維晶格，倒格矢定義為

P（G）為散射體的幾何參數，其定義為

由于散射體形狀多種多樣，產生的結構函數也互不相同，其顯現出的能帶特性也有許多差別，本文重點討論正方形晶格條件下幾種具有代表性的散射體能帶特性，即：圓形、橢圓形、正方形及正六邊形。

圖1 不同形狀散射體示意圖Fig.1 Different shapes of scatters

對于圖1所示的圓形、橢圓形、正方形、正六邊形散射體，其形狀不同主要體現在結構函數P（G）的差異，采用不同的散射體形狀，其結構函數可表示為［15］

1）圓形：

式中：J1（·）為一階第一類Bessel函數。

2）橢圓形：

式中：Gx＇＝Gxaov／bov，Gy＇＝Gy，aov為長半軸的長度，bov為短半軸的長度。

3）正方形：

4）正六邊形：

如前所述，在實際中由于加工誤差及環境因素的存在，散射體的排列方式可能并不是整齊劃一，而是存在一定旋轉角，經轉化可以得出以下關系式［16］：

位移場由于結構的周期性，故而可以采用Bloch定理進行分解，產生結果為

式中：k為限制在第一Brillouin區內的Bloch波矢，uk（r）是與各材料參數具有相同周期的函數，同樣將其展成傅里葉級數的形式［17-18］：

將以上理論推導的結果采用特征矩陣的形式，可以表示為［17］

式中：Q和R分別為剛度矩陣和質量矩陣。通過求解這個標準的矩陣特征問題，并繪制特征頻率Ω＝ωa／2πCt與波數關系曲線，即可得到聲子晶體的帶隙結構。

2 數值結果與討論

本節采用MATLAB對上述散射體旋轉的二維聲子晶體帶隙結構進行仿真計算。以鋁圓柱體按照正方形晶格周期排列在環氧樹脂基體中構成的二維聲子晶體作為分析算例，相關模型參數如表1所示。

取晶格常數a＝0.01 m，為保證精度，取平面波數為625個，為方便問題的說明，本文采用帶隙寬度ΔΩ＝Ωmax－Ωmin及帶隙中心頻率Ωm＝ΔΩ／2描述及對比不同形狀散射體在正方形晶格內的帶隙特性。

表1 仿真模型材料參數Table 1 Material parameters of simulation model

2.1 圓形散射體

首先，對圓形散射體采用表1中所示的相關數據，應用所建立的模型得到描述聲子晶體帶隙結構的特征值方程，求解特征值方程，得到如圖2所示的能帶結構圖。

圖2 圓形散射體二維聲子晶體能帶結構Fig.2 Band structure of 2-D phononic crystals with circle scatterers

本文所得到帶隙曲線與文獻［14］中對同樣模型參數的計算結果基本一致，從而驗證了本文理論建模和程序編制的正確性。根據圖2可以明顯地看出，經過測算，XY模態下最大正則化禁帶寬度ΔΩmax為0.472 9，Z模態下最大正則化禁帶寬度ΔΩmax為0.375 8。由于旋轉角度對于圓形散射體不產生影響，故而不予探討。

2.2 正方形散射體

對于正方形散射體，因存在結構的對稱性，只用針對旋轉角度θ由0向45°變化過程進行分析。首先對倒格子矢量依照式（14）進行轉換，然后選取表1中的材料參數，依照所建立的理論模型形成特征值矩陣并求解特征值方程，得到聲子晶體帶隙結構圖，記錄禁帶寬度及出現位置。

由圖3可以看出，伴隨著填充率的提高，禁帶寬度呈現出先擴大后縮小的趨勢，且在填充率很小時（f＝0.1時）產生禁帶寬度極小，且在該填充率下，當旋轉角度超過25°時，禁帶已經消失。在填充率小于或等于0.4時，伴隨著旋轉角度的增大，禁帶寬度縮小，但是速度逐步減緩。當填充率大于0.4時，伴隨旋轉角度的增加，禁帶寬度下降明顯，且填充率越大，下降速率越快。

圖3 不同散射體填充率條件下，正方形散射體禁帶寬度與偏轉角度關系圖Fig.3 Relationship between rotation angle and gap width of square scatterers under various filling fractions

圖4 不同散射體填充率條件下，正方形散射體禁帶中間頻率與偏轉角度關系圖Fig.4 Relationship between rotation angle and midgap of hexagon scatterers under various filling fractions

由圖4可以看出，伴隨著填充率的提高，禁帶中間頻率呈現逐步上升的趨勢，即產生最大禁帶的位置逐漸上升。當填充率等于0.1，結合圖3可知，在前幾階特征頻率下并沒有禁帶產生，在第8、9階特征頻率下有極窄禁帶產生，且當旋轉角度超過25°時，禁帶基本消失。

圖5為當填充率f＝0.4時，旋轉角θ分別為0及45°時Z模態下帶隙結構圖。

圖5 正方形散射體Z模態禁帶結構圖Fig.5 Z mode of band gap of rectangular scatterers

2.3 正六邊形散射體

由于正六邊形散射體的對稱性，取旋轉角度θ范圍在0～30°變化，分析過程同2.2節，得到聲子晶體帶隙結構圖，記錄禁帶寬度及位置。如圖6及圖7所示禁帶寬度及禁帶中間頻率都會產生顯著變化。

圖6 不同散射體填充率條件下，正六邊形散射體禁帶寬度與偏轉角度關系圖Fig.6 Relationship between gap width of hexagon scatterers and rotation angle under various filling fractions

如圖6所示，與正方形散射體的情況類似，伴隨著填充率f的提高，禁帶寬度總體呈現出先擴大再縮小的變化趨勢。此外，當填充率過低或填充率過高時，禁帶寬度較小，禁帶寬度的變化也較小。伴隨著填充率的上升，禁帶寬度的變化也更加劇烈，當f＞0.3時，禁帶寬度均呈現出先擴大后縮小的趨勢，且當旋轉角θ＝15°時，禁帶寬度均達到最大值。

如圖7所示，伴隨著填充率f的提高，禁帶中間頻率總體呈現上升趨勢，與正方形的情況相類似，伴隨著旋轉角度的增加，禁帶中間頻率較為固定，即禁帶出現的位置較為固定。在實驗過程中，也發現，無論填充率取到怎樣的值，在旋轉角θ＝15°時，禁帶出現的位置均有下降。

圖7 不同散射體填充率條件下，正六邊形散射體禁帶中間頻率與偏轉角度關系圖Fig.7 Relationship between midgap of hexagon scatterers and rotation angle under various filling fractions

圖8 為當填充率f＝0.5時，旋轉角θ分別為0及15°時Z模態下帶隙結構圖。

圖8 正六邊形散射體Z模態禁帶結構圖Fig.8 Z mode of band gap of hexagon scatterers

2.4 橢圓形散射體

取橢圓短半軸與長半軸長度之比為aov∶bov＝0.8∶1。分析過程如2.2所述，得到聲子晶體帶隙結構圖，并記錄禁帶寬度及出現位置。

如圖9所示，伴隨著填充率f的提升，禁帶寬度ΔΩ總體呈現逐步擴大的趨勢。當填充率f較大時（f＞0.5），伴隨著旋轉角度θ的上升，禁帶寬度有著明顯上升的趨勢。但是當填充率f＜0.5時，伴隨著旋轉角度的上升，禁帶寬度呈現略微下降的趨勢。

關于禁帶產生的位置，如圖10所示，伴隨著填充率f的提升，禁帶中間頻率Ωm逐漸上升，當填充率f保持不變時，禁帶中間頻率穩定，不存在明顯的變化。旋轉角對于禁帶中間頻率（即禁帶產生的位置）不存在明顯影響。

圖9 不同散射體填充率條件下，橢圓形散射體禁帶寬度與散射體偏轉角度關系圖Fig.9 Relationship between gap width of elliptical scatterers and rotation angle under various filling fractions

圖10 不同散射體填充率條件下，橢圓形散射體禁帶中間頻率與散射體偏轉角關系圖Fig.10 Relationship between gap width of elliptical scatterers and rotation angle under various filling fractions

圖11 為出現最大禁帶寬度f＝0.7，θ分別取0及45°時，其Z模態禁帶結構圖。

圖11 橢圓形散射體Z模態禁帶結構圖Fig.11 Z mode of band gap of elliptical scatterers

3 結論

本文得到如下結論：1）散射體的旋轉角對于禁帶寬度具有顯著影響。根據仿真結果可以看出，當散射體形狀取為正方形時，在填充率固定的情況下，伴隨著旋轉角度的上升，禁帶寬度總體呈現縮小趨勢。但是當散射體形狀取為正六邊形時，同樣在填充率固定的情況下，伴隨著旋轉角度的上升，禁帶寬度總體呈現先擴大再縮小的趨勢。2）散射體旋轉角對于正六邊形及正方形散射體的影響明顯大于對于橢圓形散射體的影響。3）無論散射體取為何種形狀，旋轉角度對于聲子晶體產生禁帶的位置（禁帶中間頻率）影響并不明顯。但較為明顯的是，伴隨著填充率的上升，最大禁帶出現的位置都呈現上升趨勢。

本文研究成果對于實際情況具有較好的指導意義，在實際應用中可以通過機械裝置對散射體進行人為偏轉，從而達到人為控制聲子晶體帶隙的目的。

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Effects of the rotation angle of scatterers on the band gap structure of a two-dimensional phononic crystal

DU Jingtao，HE Yanbo，FENG Haocheng
（College of Power and Energy Engineering，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China）

In order to investigate the influence of rotation of scatterers on the propagation characteristic of elastic waves in phononic crystals，the plane wave expansion method is utilized in this paper.The factor of rotation angle between scatterers and lattice axis is introduced into the structure function to explore the change of position as well as the width of the band gap structure for square，ellipse and hexagon scatterers corresponding to the change of rotation angle and filling fractions.The results demonstrated that the rotation angle of scatterers has significant impact on the band gap structure of two dimensional phononic crystals.In the meantime，such impact on the hexagon and square scatterers is more obvious than the elliptical scatterers.However，no matter what the shape of the scatterer is，the influence of rotation angle on the band gap position（mid-gap）of phononic crystals is not obvious.

phononic cyrstals；bandgap；forbidden band；rotation angles；plane wave expansion method；scatterers

10.3969／j.issn.1006-7043.201309069

http：／／www.cnki.net／kcms／doi／10.3969／j.issn.1006-7043.201309069.html

O481.1

A

1006-7043（2014）11-1358-06

2013-09-22.網絡出版時間：2014-09-22.

國家自然科學基金資助項目（11202056）.

杜敬濤（1981-），男，副教授，博士.

杜敬濤，E-mail：dujingtao＠hrbeu.edu.cn.