窮舉歸納和比較在初中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用

楊惜君

窮舉歸納法是指證明一個(gè)命題時(shí)，根據(jù)提示考慮到一切可能的情形，然后分別各種情形逐一進(jìn)行推理論證，若都能導(dǎo)出命題結(jié)論的正確性，則可歸納得出命題的正確性。這種證法，只適應(yīng)于特殊情形不多的命題。

例：已知：⊙O1和⊙O2相交于點(diǎn)A，B，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線分別交兩圓于點(diǎn)C和D，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線分別交兩圓于點(diǎn)E和F，且CD∥EF。求證：（1）CD=EF；（2）CE=DF。

證明：本題的圖形有兩種情況（如圖）。

（1）CE，DF分居公共弦AB兩側(cè)（圖甲），連結(jié)AB，則∠ABF=∠C，∵四邊形ABFD內(nèi)接于⊙O2，∴∠ABF+∠D=180°，∴CE∥DF，又CD∥EF，∴四邊形CEFD是平行四邊形。故CD=EF，CE=DF。

（2）CE，DF在公共弦AB的同側(cè)（圖乙），連結(jié)AB，則∠CDF=∠B， ∵四邊形CEBA內(nèi)接于⊙O1，∴∠C+∠B=180°，∴CE∥EF，∴四邊形CEFD是平行四邊形。故CD=EF，CE=DF。

在采用窮舉歸納法證明幾何題中，有時(shí)還會(huì)發(fā)現(xiàn)一些被認(rèn)為是正確的命題的錯(cuò)誤，從而否定這些似真而假的幾何命題。

比較法就是找出一事物區(qū)別其他事物的特點(diǎn)，通過(guò)對(duì)比可以找出差異，有助于進(jìn)一步加深對(duì)新知識(shí)的理解，揭示新知識(shí)的本質(zhì)。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用比較法，不但能突出教學(xué)的重點(diǎn)，簡(jiǎn)化某些教學(xué)環(huán)節(jié)，而且有助于學(xué)生理解和掌握概念，提高解題能力和發(fā)展思維能力，可以使學(xué)生對(duì)解題思路更清晰更準(zhǔn)確，既可鞏固基礎(chǔ)知識(shí)又提高能力。

例：一個(gè)容器盛滿純藥液63升，第一次倒出一部分藥液后，用水加滿；第二次又倒出同樣多的藥液，再用水加滿，這時(shí)，容器內(nèi)剩下的純藥液是28升，每次倒出液體多少升？

這類題目，不僅在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中經(jīng)常碰到，而且在學(xué)習(xí)高中的等比數(shù)列、指數(shù)方程等內(nèi)容時(shí)，也要碰到。它是分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)問(wèn)題的實(shí)際應(yīng)用，解題時(shí)，要用到“已知個(gè)數(shù)的百分之幾，求這個(gè)數(shù)”的方法，而且又涉及到化學(xué)中“溶液”、“溶質(zhì)”、“濃度”的概念及其三者之間的關(guān)系。

在解決這類問(wèn)題前，應(yīng)該要求學(xué)生理解“溶液”（溶劑和溶質(zhì)的和）、“溶質(zhì)”、“濃度“三者的概念和它們之間的關(guān)系（濃度=溶質(zhì)/溶液）及其變化時(shí)的關(guān)系：1. 若溶液增加溶劑（如水），則溶液和濃度變化，而所含溶質(zhì)的量不變。2. 若將溶液倒出，則溶液中所含溶質(zhì)的量發(fā)生變化，但是濃度不變。

解法一：利用每次倒出純藥液的多少列式。設(shè)每次倒出液體x升，則第一次倒出x升都是純藥液，用水加滿后，這時(shí)容器中剩下的純藥液為（63-x）升，占整個(gè)溶液63升的（63-x）/63（即濃度）；第二次倒出x升的藥液中有純藥液（63-x）x/63升，由此可得方程：63-x-（63-x）x/63=28。

這種列式方法，學(xué)生最容易接受和理解，但是式子太繁瑣，而且與以后學(xué)習(xí)的等比數(shù)列，指數(shù)方程應(yīng)用題列式形式與解題的途徑不一致，所以不是最佳方法。

解法二：用濃度與溶質(zhì)的變化列式。設(shè)每次倒出x升液體，第一次倒出x升純藥液后，用水加滿，此時(shí)，容器內(nèi)的濃度為（63-x）/63，第二次倒出x升溶液后，在剩下的（63-x）升溶液中，有純藥液（63-x）·（63-x）/63升，由此可得方程（63-x）2/63=28。

這種列式方法，雖然比較簡(jiǎn)單，但與以后的學(xué)習(xí)無(wú)多大聯(lián)系，所以也不是最好方法。

解法三：設(shè)每次倒出x升液體，則第一次倒出x升純藥液后，容器內(nèi)還剩下純藥液63-x=63（1-x/63）升，用水加滿后，容器內(nèi)溶質(zhì)（純藥液）不變，而濃度變成了63（1-x/63）/63=1-x/63，所以在第二次倒出x升溶液中有純藥液（1-x/63）· x，這時(shí)容器內(nèi)剩下的純藥液有63（1-x/63）-（1-x/63）x=（1-x/63） · （63-x） =63（1-x/63）2，依題意可得63（1-x/63）2=28。

這種方法列的方程比較簡(jiǎn)明易解，它既聯(lián)系了例題的分析過(guò)程和列式的方法，且與以后等比數(shù)列，指數(shù)方程等應(yīng)用題的解題形式和思考方法有聯(lián)系，所以采取這一列式方法是最佳的。

在實(shí)踐中證明，這種比較法的數(shù)學(xué)方法，學(xué)生掌握的知識(shí)扎實(shí)，理解也較好。當(dāng)然，比較法只能用來(lái)幫助我們建立猜想，作為研究問(wèn)題的線索。

責(zé)任編輯 羅峰e(cuò)ndprint

窮舉歸納法是指證明一個(gè)命題時(shí)，根據(jù)提示考慮到一切可能的情形，然后分別各種情形逐一進(jìn)行推理論證，若都能導(dǎo)出命題結(jié)論的正確性，則可歸納得出命題的正確性。這種證法，只適應(yīng)于特殊情形不多的命題。

例：已知：⊙O1和⊙O2相交于點(diǎn)A，B，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線分別交兩圓于點(diǎn)C和D，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線分別交兩圓于點(diǎn)E和F，且CD∥EF。求證：（1）CD=EF；（2）CE=DF。

證明：本題的圖形有兩種情況（如圖）。

（1）CE，DF分居公共弦AB兩側(cè)（圖甲），連結(jié)AB，則∠ABF=∠C，∵四邊形ABFD內(nèi)接于⊙O2，∴∠ABF+∠D=180°，∴CE∥DF，又CD∥EF，∴四邊形CEFD是平行四邊形。故CD=EF，CE=DF。

（2）CE，DF在公共弦AB的同側(cè)（圖乙），連結(jié)AB，則∠CDF=∠B， ∵四邊形CEBA內(nèi)接于⊙O1，∴∠C+∠B=180°，∴CE∥EF，∴四邊形CEFD是平行四邊形。故CD=EF，CE=DF。

在采用窮舉歸納法證明幾何題中，有時(shí)還會(huì)發(fā)現(xiàn)一些被認(rèn)為是正確的命題的錯(cuò)誤，從而否定這些似真而假的幾何命題。

比較法就是找出一事物區(qū)別其他事物的特點(diǎn)，通過(guò)對(duì)比可以找出差異，有助于進(jìn)一步加深對(duì)新知識(shí)的理解，揭示新知識(shí)的本質(zhì)。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用比較法，不但能突出教學(xué)的重點(diǎn)，簡(jiǎn)化某些教學(xué)環(huán)節(jié)，而且有助于學(xué)生理解和掌握概念，提高解題能力和發(fā)展思維能力，可以使學(xué)生對(duì)解題思路更清晰更準(zhǔn)確，既可鞏固基礎(chǔ)知識(shí)又提高能力。

例：一個(gè)容器盛滿純藥液63升，第一次倒出一部分藥液后，用水加滿；第二次又倒出同樣多的藥液，再用水加滿，這時(shí)，容器內(nèi)剩下的純藥液是28升，每次倒出液體多少升？

這類題目，不僅在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中經(jīng)常碰到，而且在學(xué)習(xí)高中的等比數(shù)列、指數(shù)方程等內(nèi)容時(shí)，也要碰到。它是分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)問(wèn)題的實(shí)際應(yīng)用，解題時(shí)，要用到“已知個(gè)數(shù)的百分之幾，求這個(gè)數(shù)”的方法，而且又涉及到化學(xué)中“溶液”、“溶質(zhì)”、“濃度”的概念及其三者之間的關(guān)系。

在解決這類問(wèn)題前，應(yīng)該要求學(xué)生理解“溶液”（溶劑和溶質(zhì)的和）、“溶質(zhì)”、“濃度“三者的概念和它們之間的關(guān)系（濃度=溶質(zhì)/溶液）及其變化時(shí)的關(guān)系：1. 若溶液增加溶劑（如水），則溶液和濃度變化，而所含溶質(zhì)的量不變。2. 若將溶液倒出，則溶液中所含溶質(zhì)的量發(fā)生變化，但是濃度不變。

解法一：利用每次倒出純藥液的多少列式。設(shè)每次倒出液體x升，則第一次倒出x升都是純藥液，用水加滿后，這時(shí)容器中剩下的純藥液為（63-x）升，占整個(gè)溶液63升的（63-x）/63（即濃度）；第二次倒出x升的藥液中有純藥液（63-x）x/63升，由此可得方程：63-x-（63-x）x/63=28。

這種列式方法，學(xué)生最容易接受和理解，但是式子太繁瑣，而且與以后學(xué)習(xí)的等比數(shù)列，指數(shù)方程應(yīng)用題列式形式與解題的途徑不一致，所以不是最佳方法。

解法二：用濃度與溶質(zhì)的變化列式。設(shè)每次倒出x升液體，第一次倒出x升純藥液后，用水加滿，此時(shí)，容器內(nèi)的濃度為（63-x）/63，第二次倒出x升溶液后，在剩下的（63-x）升溶液中，有純藥液（63-x）·（63-x）/63升，由此可得方程（63-x）2/63=28。

這種列式方法，雖然比較簡(jiǎn)單，但與以后的學(xué)習(xí)無(wú)多大聯(lián)系，所以也不是最好方法。

解法三：設(shè)每次倒出x升液體，則第一次倒出x升純藥液后，容器內(nèi)還剩下純藥液63-x=63（1-x/63）升，用水加滿后，容器內(nèi)溶質(zhì)（純藥液）不變，而濃度變成了63（1-x/63）/63=1-x/63，所以在第二次倒出x升溶液中有純藥液（1-x/63）· x，這時(shí)容器內(nèi)剩下的純藥液有63（1-x/63）-（1-x/63）x=（1-x/63） · （63-x） =63（1-x/63）2，依題意可得63（1-x/63）2=28。

這種方法列的方程比較簡(jiǎn)明易解，它既聯(lián)系了例題的分析過(guò)程和列式的方法，且與以后等比數(shù)列，指數(shù)方程等應(yīng)用題的解題形式和思考方法有聯(lián)系，所以采取這一列式方法是最佳的。

在實(shí)踐中證明，這種比較法的數(shù)學(xué)方法，學(xué)生掌握的知識(shí)扎實(shí)，理解也較好。當(dāng)然，比較法只能用來(lái)幫助我們建立猜想，作為研究問(wèn)題的線索。

責(zé)任編輯 羅峰e(cuò)ndprint

窮舉歸納法是指證明一個(gè)命題時(shí)，根據(jù)提示考慮到一切可能的情形，然后分別各種情形逐一進(jìn)行推理論證，若都能導(dǎo)出命題結(jié)論的正確性，則可歸納得出命題的正確性。這種證法，只適應(yīng)于特殊情形不多的命題。

例：已知：⊙O1和⊙O2相交于點(diǎn)A，B，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線分別交兩圓于點(diǎn)C和D，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線分別交兩圓于點(diǎn)E和F，且CD∥EF。求證：（1）CD=EF；（2）CE=DF。

證明：本題的圖形有兩種情況（如圖）。

（1）CE，DF分居公共弦AB兩側(cè)（圖甲），連結(jié)AB，則∠ABF=∠C，∵四邊形ABFD內(nèi)接于⊙O2，∴∠ABF+∠D=180°，∴CE∥DF，又CD∥EF，∴四邊形CEFD是平行四邊形。故CD=EF，CE=DF。

（2）CE，DF在公共弦AB的同側(cè)（圖乙），連結(jié)AB，則∠CDF=∠B， ∵四邊形CEBA內(nèi)接于⊙O1，∴∠C+∠B=180°，∴CE∥EF，∴四邊形CEFD是平行四邊形。故CD=EF，CE=DF。

在采用窮舉歸納法證明幾何題中，有時(shí)還會(huì)發(fā)現(xiàn)一些被認(rèn)為是正確的命題的錯(cuò)誤，從而否定這些似真而假的幾何命題。

比較法就是找出一事物區(qū)別其他事物的特點(diǎn)，通過(guò)對(duì)比可以找出差異，有助于進(jìn)一步加深對(duì)新知識(shí)的理解，揭示新知識(shí)的本質(zhì)。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用比較法，不但能突出教學(xué)的重點(diǎn)，簡(jiǎn)化某些教學(xué)環(huán)節(jié)，而且有助于學(xué)生理解和掌握概念，提高解題能力和發(fā)展思維能力，可以使學(xué)生對(duì)解題思路更清晰更準(zhǔn)確，既可鞏固基礎(chǔ)知識(shí)又提高能力。

例：一個(gè)容器盛滿純藥液63升，第一次倒出一部分藥液后，用水加滿；第二次又倒出同樣多的藥液，再用水加滿，這時(shí)，容器內(nèi)剩下的純藥液是28升，每次倒出液體多少升？

這類題目，不僅在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中經(jīng)常碰到，而且在學(xué)習(xí)高中的等比數(shù)列、指數(shù)方程等內(nèi)容時(shí)，也要碰到。它是分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)問(wèn)題的實(shí)際應(yīng)用，解題時(shí)，要用到“已知個(gè)數(shù)的百分之幾，求這個(gè)數(shù)”的方法，而且又涉及到化學(xué)中“溶液”、“溶質(zhì)”、“濃度”的概念及其三者之間的關(guān)系。

在解決這類問(wèn)題前，應(yīng)該要求學(xué)生理解“溶液”（溶劑和溶質(zhì)的和）、“溶質(zhì)”、“濃度“三者的概念和它們之間的關(guān)系（濃度=溶質(zhì)/溶液）及其變化時(shí)的關(guān)系：1. 若溶液增加溶劑（如水），則溶液和濃度變化，而所含溶質(zhì)的量不變。2. 若將溶液倒出，則溶液中所含溶質(zhì)的量發(fā)生變化，但是濃度不變。

解法一：利用每次倒出純藥液的多少列式。設(shè)每次倒出液體x升，則第一次倒出x升都是純藥液，用水加滿后，這時(shí)容器中剩下的純藥液為（63-x）升，占整個(gè)溶液63升的（63-x）/63（即濃度）；第二次倒出x升的藥液中有純藥液（63-x）x/63升，由此可得方程：63-x-（63-x）x/63=28。

這種列式方法，學(xué)生最容易接受和理解，但是式子太繁瑣，而且與以后學(xué)習(xí)的等比數(shù)列，指數(shù)方程應(yīng)用題列式形式與解題的途徑不一致，所以不是最佳方法。

解法二：用濃度與溶質(zhì)的變化列式。設(shè)每次倒出x升液體，第一次倒出x升純藥液后，用水加滿，此時(shí)，容器內(nèi)的濃度為（63-x）/63，第二次倒出x升溶液后，在剩下的（63-x）升溶液中，有純藥液（63-x）·（63-x）/63升，由此可得方程（63-x）2/63=28。

這種列式方法，雖然比較簡(jiǎn)單，但與以后的學(xué)習(xí)無(wú)多大聯(lián)系，所以也不是最好方法。

解法三：設(shè)每次倒出x升液體，則第一次倒出x升純藥液后，容器內(nèi)還剩下純藥液63-x=63（1-x/63）升，用水加滿后，容器內(nèi)溶質(zhì)（純藥液）不變，而濃度變成了63（1-x/63）/63=1-x/63，所以在第二次倒出x升溶液中有純藥液（1-x/63）· x，這時(shí)容器內(nèi)剩下的純藥液有63（1-x/63）-（1-x/63）x=（1-x/63） · （63-x） =63（1-x/63）2，依題意可得63（1-x/63）2=28。

這種方法列的方程比較簡(jiǎn)明易解，它既聯(lián)系了例題的分析過(guò)程和列式的方法，且與以后等比數(shù)列，指數(shù)方程等應(yīng)用題的解題形式和思考方法有聯(lián)系，所以采取這一列式方法是最佳的。

在實(shí)踐中證明，這種比較法的數(shù)學(xué)方法，學(xué)生掌握的知識(shí)扎實(shí)，理解也較好。當(dāng)然，比較法只能用來(lái)幫助我們建立猜想，作為研究問(wèn)題的線索。

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