方程組巧解

李國東

二元一次方程組的解法是學生必須掌握的一項基本技能，解題時應教會學生仔細觀察題目的特點，抓住方程的結構特征或某種規律，聯想不同的解題方法和技巧.通常情況下，有的教師總認為只有通過重復，機械的練習才能獲得這一技能.而重復機械的練習常常使學生覺得枯燥乏味，反而影響了學生對數學的學習態度與情感.怎樣才能讓學生更好地學習與掌握這一基本技能，并在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展呢？

在學生們學完了用代入消元法、加減消元法解二元一次方程組后，我進行了一次大膽的嘗試.

上課鈴響了，我一如既往地走進教室：“同學們，上面我們學習了二元一次方程組的解法.今天我們來上一節復習課.”一聽是復習課，學生立刻缺少了往日的熱情.

“解二元一次方程組的基本思路是什么？”

“消……元……”幾個學生懶洋洋地回答道.這時，我在幻燈片上展出解方程組

3x+4y=10 ①12x-9y=15 ②

稍做停頓，我靈機一動：“今天，我們只解一道題.”

話音剛落，許多學生都驚奇地抬起了頭.看來這出其不意的一招奏效了.

“咳，這個簡單……我來做，我來做.”學生甲舉起了手.于是他順理成章地上了講臺.他用的是加減法.

解法1：①×4得：12x+16y=40③

③-②得：25y=25，y=1，將y=1代入①，求得x=2，

∴方程組的解為

x=2y=1

緊接著，我問：“這個題目還有沒有其他方法呢？”“有，代入法.”學生乙大聲說.既而，響起了更多的唏噓聲：“麻煩死了……”我決定支援一下乙：“用代入法可不可以解？”這回，唏噓聲輕了些：“可以是可以，就是麻煩.”“那你有沒有辦法使它簡單一點呢？”我笑著追問.“哦！我知道了……”“乙，你知道什么了？”

解法2：“因為第2個方程中x的系數是第1個方程中x的系數的4倍，故用整體代入法，將3x看做一個整體.由①得3x=10-4y代入②從而得解.”

“對呀，我怎么沒想到……”這時有些學生懊惱，有些學生羞愧，有些學生羨慕.

“學生們唧唧喳喳地討論開了.從他們滿意的神情中，我看出了他們還是很愿意接受挑戰的.幾分鐘后，學生們開始陳述自己的觀點.

解法3：將3x+4y看做一個整體

將②代為12x+16y-25y=15

4（3x+4y）-25y=15

∵①為3x+4y=10整體代入上式

4×10-25y=15由此得解y=1

這是一種巧妙的換元.

解法4：觀察方程②，化為4x-3y=5 ③

3x+4y=10 ①4x-3y=5 ③

①×3+③×4

得25x=50 x=2

雖然沒有比上述各解法簡單，巧妙，但這是解此類方程組的常規方法.

解法5：觀察方程②，化為4x-3y=5 ③

3x+4y=10 ①4x-3y=5 ③

①+③得7x+y=15由此代為y=15-7x代入①求解.

這種代入非常巧妙，他構造了一個系數為1的元，看來不能小瞧學生的潛力.由這種解法我想到了一種系數呈輪換對稱的方程組.于是給出了一個變式：

解方程組：

3x+4y=10 ①4x-3y=5 ②

引導學生通過觀察系數的特殊性，介紹了解決此類方程組的特殊技巧.

①+②得：x+y=■ ③

②-①得：x-y=-5 ④

聯立③④，解得方程組.

此時學生很興奮.

于是我不失時機地讓學生進行歸納總結：“不同的方法可以達到殊途同歸的效果，如何根據方程組的特點選擇恰當的方法呢？要解對一道方程組，又有哪些重要因素呢？”學生們情緒高漲，七嘴八舌地講了很多.

數學是一門嚴謹的學科，由于它的學科特點，學生往往覺得數學課困難、枯燥、乏味.因此，在教學中如何引起學生的共鳴是每個老師應該深思熟慮的一個問題.

責任編輯羅峰endprint

二元一次方程組的解法是學生必須掌握的一項基本技能，解題時應教會學生仔細觀察題目的特點，抓住方程的結構特征或某種規律，聯想不同的解題方法和技巧.通常情況下，有的教師總認為只有通過重復，機械的練習才能獲得這一技能.而重復機械的練習常常使學生覺得枯燥乏味，反而影響了學生對數學的學習態度與情感.怎樣才能讓學生更好地學習與掌握這一基本技能，并在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展呢？

在學生們學完了用代入消元法、加減消元法解二元一次方程組后，我進行了一次大膽的嘗試.

上課鈴響了，我一如既往地走進教室：“同學們，上面我們學習了二元一次方程組的解法.今天我們來上一節復習課.”一聽是復習課，學生立刻缺少了往日的熱情.

“解二元一次方程組的基本思路是什么？”

“消……元……”幾個學生懶洋洋地回答道.這時，我在幻燈片上展出解方程組

3x+4y=10 ①12x-9y=15 ②

稍做停頓，我靈機一動：“今天，我們只解一道題.”

話音剛落，許多學生都驚奇地抬起了頭.看來這出其不意的一招奏效了.

“咳，這個簡單……我來做，我來做.”學生甲舉起了手.于是他順理成章地上了講臺.他用的是加減法.

解法1：①×4得：12x+16y=40③

③-②得：25y=25，y=1，將y=1代入①，求得x=2，

∴方程組的解為

x=2y=1

緊接著，我問：“這個題目還有沒有其他方法呢？”“有，代入法.”學生乙大聲說.既而，響起了更多的唏噓聲：“麻煩死了……”我決定支援一下乙：“用代入法可不可以解？”這回，唏噓聲輕了些：“可以是可以，就是麻煩.”“那你有沒有辦法使它簡單一點呢？”我笑著追問.“哦！我知道了……”“乙，你知道什么了？”

解法2：“因為第2個方程中x的系數是第1個方程中x的系數的4倍，故用整體代入法，將3x看做一個整體.由①得3x=10-4y代入②從而得解.”

“對呀，我怎么沒想到……”這時有些學生懊惱，有些學生羞愧，有些學生羨慕.

“學生們唧唧喳喳地討論開了.從他們滿意的神情中，我看出了他們還是很愿意接受挑戰的.幾分鐘后，學生們開始陳述自己的觀點.

解法3：將3x+4y看做一個整體

將②代為12x+16y-25y=15

4（3x+4y）-25y=15

∵①為3x+4y=10整體代入上式

4×10-25y=15由此得解y=1

這是一種巧妙的換元.

解法4：觀察方程②，化為4x-3y=5 ③

3x+4y=10 ①4x-3y=5 ③

①×3+③×4

得25x=50 x=2

雖然沒有比上述各解法簡單，巧妙，但這是解此類方程組的常規方法.

解法5：觀察方程②，化為4x-3y=5 ③

3x+4y=10 ①4x-3y=5 ③

①+③得7x+y=15由此代為y=15-7x代入①求解.

這種代入非常巧妙，他構造了一個系數為1的元，看來不能小瞧學生的潛力.由這種解法我想到了一種系數呈輪換對稱的方程組.于是給出了一個變式：

解方程組：

3x+4y=10 ①4x-3y=5 ②

引導學生通過觀察系數的特殊性，介紹了解決此類方程組的特殊技巧.

①+②得：x+y=■ ③

②-①得：x-y=-5 ④

聯立③④，解得方程組.

此時學生很興奮.

于是我不失時機地讓學生進行歸納總結：“不同的方法可以達到殊途同歸的效果，如何根據方程組的特點選擇恰當的方法呢？要解對一道方程組，又有哪些重要因素呢？”學生們情緒高漲，七嘴八舌地講了很多.

數學是一門嚴謹的學科，由于它的學科特點，學生往往覺得數學課困難、枯燥、乏味.因此，在教學中如何引起學生的共鳴是每個老師應該深思熟慮的一個問題.

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二元一次方程組的解法是學生必須掌握的一項基本技能，解題時應教會學生仔細觀察題目的特點，抓住方程的結構特征或某種規律，聯想不同的解題方法和技巧.通常情況下，有的教師總認為只有通過重復，機械的練習才能獲得這一技能.而重復機械的練習常常使學生覺得枯燥乏味，反而影響了學生對數學的學習態度與情感.怎樣才能讓學生更好地學習與掌握這一基本技能，并在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展呢？

在學生們學完了用代入消元法、加減消元法解二元一次方程組后，我進行了一次大膽的嘗試.

上課鈴響了，我一如既往地走進教室：“同學們，上面我們學習了二元一次方程組的解法.今天我們來上一節復習課.”一聽是復習課，學生立刻缺少了往日的熱情.

“解二元一次方程組的基本思路是什么？”

“消……元……”幾個學生懶洋洋地回答道.這時，我在幻燈片上展出解方程組

3x+4y=10 ①12x-9y=15 ②

稍做停頓，我靈機一動：“今天，我們只解一道題.”

話音剛落，許多學生都驚奇地抬起了頭.看來這出其不意的一招奏效了.

“咳，這個簡單……我來做，我來做.”學生甲舉起了手.于是他順理成章地上了講臺.他用的是加減法.

解法1：①×4得：12x+16y=40③

③-②得：25y=25，y=1，將y=1代入①，求得x=2，

∴方程組的解為

x=2y=1

緊接著，我問：“這個題目還有沒有其他方法呢？”“有，代入法.”學生乙大聲說.既而，響起了更多的唏噓聲：“麻煩死了……”我決定支援一下乙：“用代入法可不可以解？”這回，唏噓聲輕了些：“可以是可以，就是麻煩.”“那你有沒有辦法使它簡單一點呢？”我笑著追問.“哦！我知道了……”“乙，你知道什么了？”

解法2：“因為第2個方程中x的系數是第1個方程中x的系數的4倍，故用整體代入法，將3x看做一個整體.由①得3x=10-4y代入②從而得解.”

“對呀，我怎么沒想到……”這時有些學生懊惱，有些學生羞愧，有些學生羨慕.

“學生們唧唧喳喳地討論開了.從他們滿意的神情中，我看出了他們還是很愿意接受挑戰的.幾分鐘后，學生們開始陳述自己的觀點.

解法3：將3x+4y看做一個整體

將②代為12x+16y-25y=15

4（3x+4y）-25y=15

∵①為3x+4y=10整體代入上式

4×10-25y=15由此得解y=1

這是一種巧妙的換元.

解法4：觀察方程②，化為4x-3y=5 ③

3x+4y=10 ①4x-3y=5 ③

①×3+③×4

得25x=50 x=2

雖然沒有比上述各解法簡單，巧妙，但這是解此類方程組的常規方法.

解法5：觀察方程②，化為4x-3y=5 ③

3x+4y=10 ①4x-3y=5 ③

①+③得7x+y=15由此代為y=15-7x代入①求解.

這種代入非常巧妙，他構造了一個系數為1的元，看來不能小瞧學生的潛力.由這種解法我想到了一種系數呈輪換對稱的方程組.于是給出了一個變式：

解方程組：

3x+4y=10 ①4x-3y=5 ②

引導學生通過觀察系數的特殊性，介紹了解決此類方程組的特殊技巧.

①+②得：x+y=■ ③

②-①得：x-y=-5 ④

聯立③④，解得方程組.

此時學生很興奮.

于是我不失時機地讓學生進行歸納總結：“不同的方法可以達到殊途同歸的效果，如何根據方程組的特點選擇恰當的方法呢？要解對一道方程組，又有哪些重要因素呢？”學生們情緒高漲，七嘴八舌地講了很多.

數學是一門嚴謹的學科，由于它的學科特點，學生往往覺得數學課困難、枯燥、乏味.因此，在教學中如何引起學生的共鳴是每個老師應該深思熟慮的一個問題.

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