中考存在性試題的思維探究

李秀明

存在性探究題是指在一定的條件下，判斷某種數(shù)學(xué)對(duì)象是否存在的問題，它有結(jié)論存在和結(jié)論不存在兩種情形.解答這類問題，一般先假設(shè)所探究的對(duì)象已知存在，然后建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型（如函數(shù)、方程、不等式等），運(yùn)用一定的數(shù)學(xué)思想方法（如數(shù)形結(jié)合、分類討論等），通過計(jì)算或推理，如果探究出與條件相符號(hào)的結(jié)果，則說明假設(shè)成立，并由此得出問題的結(jié)論；否則就不存在.

一、存在直線與拋物線只有一個(gè)點(diǎn)

例1：已知點(diǎn)A（-1，-1）在拋物線y=（k2-1）x2-2（k-2）x+1是上.（1）求拋物線的對(duì)稱軸；（2）若B點(diǎn)與A點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸，問是否存在與拋物線只交于一點(diǎn)B的直線？如果存在，求符合條件的直線；如果不存在說明理由.

思路點(diǎn)撥：①用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；②根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸公式求對(duì)稱軸，或用配方法求對(duì)稱軸；③由對(duì)稱軸的性質(zhì)求出點(diǎn)A關(guān)于x=-■的軸對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)；④求點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為求過點(diǎn)B直線的解析式與拋物線的解析式組成方程組的解，但別忘了過B點(diǎn)平行于y軸的那條直線.

二、存在直線與直線平行（或垂直）

例2：（2009上海中考）如圖，已知在正方形ABCD中，AB=2，P是邊BC上的任意一點(diǎn)，E是邊BC延長(zhǎng)線上點(diǎn)，連結(jié)AP.過點(diǎn)P作PF⊥AP，與∠DCE的平分線CF相交于點(diǎn)F.連結(jié)AF，與邊CD相交于點(diǎn)G，連結(jié)PG.（1）求證：AP=FP；（2）⊙P、⊙G的半徑分別是PB、GD，試判斷⊙P與⊙G兩圓的位置關(guān)系，并說明理由；（3）當(dāng)BP取何值時(shí)，PG∥CF.

思路點(diǎn)撥：①先證△ABP∽△PNF，再證△ABP≌△PNF； ②作輔助線，證△APM≌△APG；③由平行線的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)，由（2）的數(shù)量關(guān)系PG=BP+GD，建立方程求解.

三、存在直線與圓相切

例3：（惠州市中考試題）已知：如圖（圖略），拋物線y=-■x2-■x+■的圖像與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，⊙M經(jīng)過原點(diǎn)O及A，C，點(diǎn)D是劣弧OA上一動(dòng)點(diǎn)（D點(diǎn)與A，O不重合）.（1）求⊙M的面積；（2）連接CD交AO于點(diǎn)F，延長(zhǎng)CD至G，使FG=2，試探究當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，直線GA與⊙M相切，并請(qǐng)說明理由.

思路點(diǎn)撥：①求圓的面積關(guān)鍵是求圓的半徑；②由直線與圓相切的知識(shí)，猜想點(diǎn)D是弧AO的中點(diǎn)，由點(diǎn)D是弧AO的中點(diǎn)證明直線GA與⊙M相切.

四、存在特殊三角形（等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、等腰直角三角形）

例4：（2009重慶市中考）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=2，OC=3，過原點(diǎn)O作∠AOC的平分線交AB于點(diǎn)D，連結(jié)DC，過點(diǎn)D作DE⊥DC，交OA于點(diǎn)E.（1）求過點(diǎn)E、D、C的拋物線的解析式；（2）將∠EDC繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后，角的一邊與y軸的正半軸交于點(diǎn)F，另一邊與線段OC交于點(diǎn)G.如果DF與（1）中的拋物線交于另一點(diǎn)M，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為■，那么EF=20G是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）對(duì)于（2）中的點(diǎn)G，在位于第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得直線GQ與AB的交點(diǎn)P與點(diǎn)C、G構(gòu)成的△PCG是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

思路點(diǎn)撥：①用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，這個(gè)解析式在第（2）、（3）題的計(jì)算中要用到；②過點(diǎn)M作MN⊥AB，根據(jù)對(duì)應(yīng)線段成比例可以求FA的長(zhǎng)；③將∠EDC繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過程中，△DCG與△DEF保持全等；④第（3）題反客為主，分三種情況討論△PCG為等腰三角形，根據(jù)點(diǎn)P的位置確定點(diǎn)Q的位置，再計(jì)算點(diǎn)Q 的坐標(biāo).

五、存在特殊四邊形（平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形）

例5：（2011廣東中考）如圖，拋物線y=-■x2+■x+1與y軸交于A點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線與拋物線交于另一點(diǎn)B，過點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C（3，0）.（1）求直線AB的函數(shù)關(guān)系式；（2）動(dòng)點(diǎn)P在線段OC上原點(diǎn)O出發(fā)以每秒一個(gè)單位的速度向C移動(dòng)，過點(diǎn)P作PN⊥x軸，交直線AB于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N.設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間為t秒，MN的長(zhǎng)度為s個(gè)單位.求s與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；（3）設(shè)在（2）的條件下（不考慮點(diǎn)P與點(diǎn)O、點(diǎn)C重合的情況），連接CM、BN，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形BCMN為平行四邊形？問對(duì)于所求的t值，平行四邊形BCMN是否為菱形？請(qǐng)說明理由.

評(píng)析：本題是代數(shù)與幾何的綜合運(yùn)用，解題時(shí)應(yīng)多角度、多線索深入分析，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想、數(shù)學(xué)建模的思想、分析討論的思想、轉(zhuǎn)化的思想、待定系數(shù)法等多種數(shù)學(xué)思想與方法.

六、存在三角形相似

例6：（2011深圳市中考）如圖①，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為C（1，4），交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）.（1）求拋物線的解析式；（2）如圖②（圖略），過點(diǎn)A的直線與拋物線交于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F，其中點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2，若直線PQ為拋物線的對(duì)稱軸，點(diǎn)G為直線PQ上的一動(dòng)點(diǎn)，則x軸上是否存在一點(diǎn)H，使D、G、H、F四點(diǎn)所圍成的四邊形周長(zhǎng)最小.若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）如圖③（圖略），在拋物線上是否存在一點(diǎn)T，過點(diǎn)T作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN∥BD，交線段AD于點(diǎn)N，連接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

評(píng)價(jià)：本題考查學(xué)生二次函數(shù)與四邊形、相似三角形等幾何知識(shí)的綜合運(yùn)用能力.

七、存在相等距離（或相等面積、等周長(zhǎng)、定值）

例7：（2009上海市中考）二次函數(shù)y=-■x2+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）、B（-4，-4），且與y軸交于點(diǎn)C.（1）試求此二次函數(shù)的解析式；（2）試證明：∠BAO=∠CAO（其中O是原點(diǎn)）；（3）若P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），過P作y軸的平行線，分別交此二次函數(shù)圖像及x軸Q、H兩點(diǎn)，試問：是否存在這樣的點(diǎn)P，使PH=2QH？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.endprint

思路點(diǎn)撥：①用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；②數(shù)形結(jié)合，求∠BAO與∠CAO的正切值，可以判定∠BAO=∠CAO；③分類討論P(yáng)H=2QH，根據(jù)點(diǎn)Q的位置分兩種情況；④利用典型題目的結(jié)論，把PH=2QH時(shí)點(diǎn)，Q的位置轉(zhuǎn)化為OD、OC的中點(diǎn)問題.

八、存在最大值（或最小值）

例8： （2011陜西中考）如圖①，在矩形ABCD中，將矩形折疊，使點(diǎn)B落在邊AD（含端點(diǎn)）上，落點(diǎn)記為E，這時(shí)折痕與邊BC或邊CD（含端點(diǎn)）交于點(diǎn)F.然后再展開平鋪，則以B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的△BEF稱為矩形ABCD的“折痕三角形”. （1）由“折痕三角形”的定義可知，矩形ABCDD的任意一個(gè)“折痕△BEF”一定是一個(gè) 三角形；（2）如圖②（圖略），在矩形ABCD中，AB=2，BC=4.當(dāng)它的“折痕△BEF”的頂點(diǎn)E位于邊AD的中點(diǎn)時(shí)，畫出這個(gè)“折痕△BEF”，并求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）如圖③（圖略），在矩形ABCD中，AB=2，BC=4.該矩形是否存在面積最大的“折痕△BEF”？若存在，說明理由，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，為什么？

評(píng)析：本題考查學(xué)生的閱讀理解及圖形的操作能力，首先閱讀題意，理解最基本的概念“折痕三角形”，然后利用此概念解決有關(guān)問題，此過程中畫出滿足題意的圖形是解決問題的關(guān)鍵，然后根據(jù)圖形，分析出數(shù)量關(guān)系從而解決問題.

九、“不存在”的問題

例9：（2009上海中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+b分別與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與y軸正半軸交于點(diǎn)B，⊙P經(jīng)過點(diǎn)A、點(diǎn)B（圓心P在x軸負(fù)半軸上），已知AB=10，AP=■.（1）求點(diǎn)P到AB的距離；求直線y=kx+b的解析式；（3）在⊙P上是否存在點(diǎn)Q，使以A、P、B、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在點(diǎn)Q，使A、P、B、Q對(duì)頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，并說明理由.

思路點(diǎn)撥：①求點(diǎn)P到AB的距離要用到垂徑定理和勾股定理；②求直線的解析式的前提是求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)的關(guān)鍵是解直角三角形AOB；③以AB為對(duì)角線或者分類討論菱形的存在性，當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，兩條對(duì)角線不互相平分；當(dāng)AB為邊時(shí)，兩鄰邊不相等.

存在性題型的考察，是對(duì)學(xué)生對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的全面綜合的檢測(cè)，它考察的是學(xué)生的分析問題、解決問題的能力，考察學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，考察的是學(xué)生的學(xué)科綜合素質(zhì).因此，我們的日常的教學(xué)中，除了做好雙基的教學(xué)工作外，還應(yīng)注意抓好學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)和數(shù)學(xué)基本思想以及數(shù)學(xué)基本能力的培養(yǎng).

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思路點(diǎn)撥：①用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；②數(shù)形結(jié)合，求∠BAO與∠CAO的正切值，可以判定∠BAO=∠CAO；③分類討論P(yáng)H=2QH，根據(jù)點(diǎn)Q的位置分兩種情況；④利用典型題目的結(jié)論，把PH=2QH時(shí)點(diǎn)，Q的位置轉(zhuǎn)化為OD、OC的中點(diǎn)問題.

八、存在最大值（或最小值）

例8： （2011陜西中考）如圖①，在矩形ABCD中，將矩形折疊，使點(diǎn)B落在邊AD（含端點(diǎn)）上，落點(diǎn)記為E，這時(shí)折痕與邊BC或邊CD（含端點(diǎn)）交于點(diǎn)F.然后再展開平鋪，則以B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的△BEF稱為矩形ABCD的“折痕三角形”. （1）由“折痕三角形”的定義可知，矩形ABCDD的任意一個(gè)“折痕△BEF”一定是一個(gè) 三角形；（2）如圖②（圖略），在矩形ABCD中，AB=2，BC=4.當(dāng)它的“折痕△BEF”的頂點(diǎn)E位于邊AD的中點(diǎn)時(shí)，畫出這個(gè)“折痕△BEF”，并求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）如圖③（圖略），在矩形ABCD中，AB=2，BC=4.該矩形是否存在面積最大的“折痕△BEF”？若存在，說明理由，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，為什么？

評(píng)析：本題考查學(xué)生的閱讀理解及圖形的操作能力，首先閱讀題意，理解最基本的概念“折痕三角形”，然后利用此概念解決有關(guān)問題，此過程中畫出滿足題意的圖形是解決問題的關(guān)鍵，然后根據(jù)圖形，分析出數(shù)量關(guān)系從而解決問題.

九、“不存在”的問題

例9：（2009上海中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+b分別與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與y軸正半軸交于點(diǎn)B，⊙P經(jīng)過點(diǎn)A、點(diǎn)B（圓心P在x軸負(fù)半軸上），已知AB=10，AP=■.（1）求點(diǎn)P到AB的距離；求直線y=kx+b的解析式；（3）在⊙P上是否存在點(diǎn)Q，使以A、P、B、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在點(diǎn)Q，使A、P、B、Q對(duì)頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，并說明理由.

思路點(diǎn)撥：①求點(diǎn)P到AB的距離要用到垂徑定理和勾股定理；②求直線的解析式的前提是求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)的關(guān)鍵是解直角三角形AOB；③以AB為對(duì)角線或者分類討論菱形的存在性，當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，兩條對(duì)角線不互相平分；當(dāng)AB為邊時(shí)，兩鄰邊不相等.

存在性題型的考察，是對(duì)學(xué)生對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的全面綜合的檢測(cè)，它考察的是學(xué)生的分析問題、解決問題的能力，考察學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，考察的是學(xué)生的學(xué)科綜合素質(zhì).因此，我們的日常的教學(xué)中，除了做好雙基的教學(xué)工作外，還應(yīng)注意抓好學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)和數(shù)學(xué)基本思想以及數(shù)學(xué)基本能力的培養(yǎng).

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思路點(diǎn)撥：①用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；②數(shù)形結(jié)合，求∠BAO與∠CAO的正切值，可以判定∠BAO=∠CAO；③分類討論P(yáng)H=2QH，根據(jù)點(diǎn)Q的位置分兩種情況；④利用典型題目的結(jié)論，把PH=2QH時(shí)點(diǎn)，Q的位置轉(zhuǎn)化為OD、OC的中點(diǎn)問題.

八、存在最大值（或最小值）

例8： （2011陜西中考）如圖①，在矩形ABCD中，將矩形折疊，使點(diǎn)B落在邊AD（含端點(diǎn)）上，落點(diǎn)記為E，這時(shí)折痕與邊BC或邊CD（含端點(diǎn)）交于點(diǎn)F.然后再展開平鋪，則以B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的△BEF稱為矩形ABCD的“折痕三角形”. （1）由“折痕三角形”的定義可知，矩形ABCDD的任意一個(gè)“折痕△BEF”一定是一個(gè) 三角形；（2）如圖②（圖略），在矩形ABCD中，AB=2，BC=4.當(dāng)它的“折痕△BEF”的頂點(diǎn)E位于邊AD的中點(diǎn)時(shí)，畫出這個(gè)“折痕△BEF”，并求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）如圖③（圖略），在矩形ABCD中，AB=2，BC=4.該矩形是否存在面積最大的“折痕△BEF”？若存在，說明理由，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，為什么？

評(píng)析：本題考查學(xué)生的閱讀理解及圖形的操作能力，首先閱讀題意，理解最基本的概念“折痕三角形”，然后利用此概念解決有關(guān)問題，此過程中畫出滿足題意的圖形是解決問題的關(guān)鍵，然后根據(jù)圖形，分析出數(shù)量關(guān)系從而解決問題.

九、“不存在”的問題

例9：（2009上海中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+b分別與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與y軸正半軸交于點(diǎn)B，⊙P經(jīng)過點(diǎn)A、點(diǎn)B（圓心P在x軸負(fù)半軸上），已知AB=10，AP=■.（1）求點(diǎn)P到AB的距離；求直線y=kx+b的解析式；（3）在⊙P上是否存在點(diǎn)Q，使以A、P、B、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在點(diǎn)Q，使A、P、B、Q對(duì)頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，并說明理由.

思路點(diǎn)撥：①求點(diǎn)P到AB的距離要用到垂徑定理和勾股定理；②求直線的解析式的前提是求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)的關(guān)鍵是解直角三角形AOB；③以AB為對(duì)角線或者分類討論菱形的存在性，當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，兩條對(duì)角線不互相平分；當(dāng)AB為邊時(shí)，兩鄰邊不相等.

存在性題型的考察，是對(duì)學(xué)生對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的全面綜合的檢測(cè)，它考察的是學(xué)生的分析問題、解決問題的能力，考察學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，考察的是學(xué)生的學(xué)科綜合素質(zhì).因此，我們的日常的教學(xué)中，除了做好雙基的教學(xué)工作外，還應(yīng)注意抓好學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)和數(shù)學(xué)基本思想以及數(shù)學(xué)基本能力的培養(yǎng).

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