SAMR網格上擴散方程有限體格式的逼近性與兩層網格算法

舒 適， 岳孝強， 周志陽， 徐小文

SAMR網格上擴散方程有限體格式的逼近性與兩層網格算法

舒 適1， 岳孝強1， 周志陽1， 徐小文2，*

（1.湘潭大學數學與計算科學學院，湖南湘潭 411105；2.北京應用物理與計算數學研究所，北京 100094）

針對結構自適應加密網格（SAMR）上擴散方程的求解，分析幾種有限體格式的逼近性，同時設計和分析一種兩層網格算法.首先，討論一種常見的守恒型有限體格式，并給出網格加密區域和細化／粗化插值算子的條件；接著，通過在粗細界面附近引入輔助三角形單元，消除粗細界面處的非協調單元，設計了一種保對稱有限體元（SFVE）格式，分析表明，該格式具有更好的逼近性，且對網格加密區域和插值算子的限制更弱；最后，為SFVE格式構造一種兩層網格（TL）算法，理論分析和數值實驗表明該算法的一致收斂性.

自適應網格加密（AMR）；擴散方程；有限體格式；逼近性；兩層網格算法

0 引言與模型問題

在很多實際應用的數值模擬中，物理現象通常具有局部性，如激波、物質界面、能量傳播前沿等通常出現在局部區域.局部自適應網格加密技術（AMR）廣泛應用于對這類問題的求解.例如，由 Babuska和Rheinboldt提出的基于局部加密技術的自適應有限元（AFEM）方法［1］已成為有限元計算中最有效的模擬手段之一.本文的背景主要來源于另外一種面向結構網格的局部加密自適應計算（SAMR），該類自適應計算最初由Berger等人提出，用于在流體力學計算中求解雙曲型方程［2－4］.在SAMR自適應計算中，離散網格由多個不同分辨率的網格層嵌套而成，每個網格層是一個均勻結構網格，其中最粗網格層覆蓋整個計算區域，細網格層基于數值計算誤差估計原理和自適應網格加密技術，在相鄰粗網格的局部區域加密而成，用于刻畫物理現象的局部特征.在數值模擬過程中，物理現象的局部特征可能隨時間的發展而移動，細網格層將被動態地刪除和創建.圖1給出了一個包含三個網格層的二維SAMR網格的例子.

圖1 三層結構網格嵌套而成的二維SAMR網格Fig.1 SAMR mesh with three levels for 2D example

由于SAMR網格僅在局部區域加密，同時保持了與全局一致加密情形具有相同分辨率，因此可大幅度地減少網格規模，節省計算量和計算資源.目前，SAMR自適應計算已經廣泛應用于輻射流體力學 、天體物理［10－14］等實際問題的數值模擬中.并且，基于SAMR自適應計算的應用軟件支撐框架也得到快速發展［15－16］.

對于流體力學方程組的顯式離散格式，Berger等人提出的基于細化模式的時間積分相對成熟［2－4］.在該模式中，時間積分從最粗到最細網格層逐層進行，相對于粗網格層的一個時間步，細網格層基于粗網格層提供的邊界條件，積分若干個時間步.對于擴散方程的隱式離散格式，通常采用組合模式進行時間積分［17－18］.在組合模式中，所有網格層組合在一起形成組合網格［17］，空間離散和時間積分均在組合網格上進行，此時，所有網格層具有相同的時間步長.多物理耦合問題的數值模擬和大規模并行計算表明，組合模式具有很強的局限性，因此，近年來也發展了求解擴散方程的細化模式隱式時間積分算法［5，9，19］.

給定SAMR網格，無論采用細化模式還是組合模式，擴散方程的求解主要涉及兩個關鍵問題：離散格式的構造和離散代數系統的求解.對于細化模式，離散格式只需針對單層均勻網格進行設計，但需要基于粗細界面處的細化插值（為細網格層提供邊界條件）和加密區域的粗化插值（為粗網格層提供校正量）在網格層之間進行多層迭代，直到收斂［9］.對于組合模式，離散格式于組合網格需要處理粗細界面的“一對多”非協調單元［17］.對非協調單元的離散格式，本質上也可視為在粗細界面處通過引入細化插值和粗化插值進行構造.因此，在多層迭代收斂的前提下，細化模式與組合模式在離散格式層面是等價的.簡單起見，本文僅針對組合模式.

由于本文的討論僅涉及到SAMR網格上的空間離散格式，為簡單起見，考慮如下二維定常擴散問題

其中n為?Ω的單位外法向量，a和b均為正常數，κ＝diag（κ1，κ2），這里κ1、κ2、λ、f和g均為已知的連續函數，且 κ1、 κ2、 λ ＞0．

1 SAMR網格上的有限體格式

圖2 矩形網格Qh和剖分單元Ωi，jFig.2 Rectangularmesh Qhand cellΩi，j

1.1 混合五點格式

設Qh為對Ω作nx×ny等距剖分得到的矩形網格（如圖2所示），其沿x和y方向的剖分步長分別為hx＝a／nx和hy＝b／ny，h＝max（hx，hy）為Qh的尺寸．記剖分單元Ωi，j＝（xi－hx／2，xi＋hx／2）×（yj－hy／2，yj＋hy／2），其中xi＝（i－1／2）hx，yj＝（j－1／2）hy，i＝1，2，…，nx，j＝1，2，…，ny．若?Ωi，j∩?Ω ＝φ，則稱Ωi，j為內部單元，否則稱為邊界單元.

設自由度定義在網格單元中心，采用標準的守恒型有限體方法進行離散，可得到五點格式.具體地，內部單元Ωi，j上的五點格式為

其中

邊界單元Ωi，j上的離散格式，需要基于具體的物理邊界條件對公式（2）作適當修正.

下面以兩層SAMR網格為例討論相應的離散格式.不失一般性，考慮區域Ω＝Ω1∪Ω2由兩個子區域組成（如圖3所示），其中Ω1＝（μ，a）×（0，b），Ω2＝（0，μ）×（0，b）．采用矩形均勻網格，粗網格的尺寸為H，加密區域為Ω1，網格加密的細化率為2，即Ω1的網格尺寸為h＝H／2．由此可得如圖4所示的兩層SAMR網格QhH，該網格包含H和h兩種尺寸的單元，因此它是一種組合網格（composite grid），其中粗、細網格單元交界的網格線（對應x＝μ）稱為粗細界面Γ．

圖3 Ω的一個分劃Fig.3 A partition ofΩ

圖4 SAMR網格QhH和粗細界面ΓFig.4 SAMR mesh QhHand coarse-fine interfaceΓ

1.1.1 細化插值算子

圖5 編號為p和q的代表單元示意圖Fig.5 Illustration for typical cells numbered p and q

1.1.2 粗化插值算子

考慮如圖6所示的Ω1中的某個粗單元，設其編號為i0，該單元一致加密后所得四個細單元的編號分別為il，l＝1，2，3，4．一個最常用的粗化插值算子為

利用上述細化和粗化插值算子，就可以為非協調單元建立離散格式.下面與粗細界面相鄰的一個粗網格非協調單元i0和一個細網格非協調單元j0為例（見圖7），分別給出相應的離散格式.

圖6 粗化插值算子模板圖Fig.6 Illustration for a template of coarsening interpolation operator

圖7 代表單元i0和j0Fig.7 Typical cells i0and j0

由式（10）和（12）可知，SAMR網格中關于非協調單元上的離散格式模板不同于協調單元的五點格式.粗網格非協調點通常為八點格式（10），而細網格非協調點的格式模板與具體細化插值算子相關，當細化插值算子采用P1公式時，細網格非協調單元為九點格式（12）；當采用P0公式時，則退化為五點格式.一般地，對于細化率大于2的情形，非協調單元的格式模板更復雜，格式寬度更大.為方便起見，本文將SAMR網格上包含多種格式模板的離散格式稱為混合五點格式.

1.2 SFVE格式

對于SAMR網格，非協調單元將影響離散格式的逼近性，對插值算子和加密準則有較大的限制.本節我們將通過在粗細界面附近引入輔助三角形單元，消除粗細界面處的非協調單元，進而設計相應的SFVE格式.下面給出該格式的構造過程.

不妨考慮圖4所示的SAMR網格，為了消除粗細界面Γ上的非協調單元，我們對Γ左側的粗網格四邊形單元，通過引入輔助三角形單元，可得到一種協調的SAMR混合網格，如圖8（a）所示.

圖8 協調的SAMR混合網格ThH及其代表單元示意圖Fig.8 Illustration for conforming SAMR mixed mesh ThHand its typical cell

與已有的協調非混合網格（即僅含一種類型的單元）上SFVE格式 的構造不同，對于上述SAMR混合網格，我們需對不同類型的單元（分別見圖8（b）和（c）），給出相應的單元剛度矩陣和單元載荷向量.

關于圖8（b）所示的四邊形單元，其單元剛度矩陣和單元載荷向量的計算公式可見文［20］（在后面的數值實驗中，取該文的格式I）；對圖8（c）所示的單元（記單元編號為k），經過類似的推導可得到相應的單元剛度矩陣（aklm）5×5和單元載荷向量（fkl）5×1， 其中

上面我們雖然是針對SAMR網格的細化率為2（即粗單元落在界面上的邊僅含一個懸點）的特殊情形進行討論的，但該處理方法可以應用到細化率大于2的情形，其基本思想是通過引入過渡區，將該情形的處理轉化為若干個細化率為2的情形進行處理.例如對于細化率為4的情形（見圖9（a）），圖9（b）通過引入過渡區（即對界面附近的粗單元加密一次）將其轉化為兩個細化率為2的情形進行處理.

圖9 細化率為4時的SAMR網格的協調化Fig.9 Conformance for SAMR mesh with 4 as refinement rate

對ThH中所有單元的單元剛度矩陣和單元載荷向量進行集成，即可得到求解問題（1）的SFVE格式所對應的線性系統的系數矩陣AH，h和右端向量 fH，h．

2 逼近性分析

2.1 逼近問題的提出

記方程（1）在粗網格及加密網格下的離散系統分別為

下面討論我們給出的混合五點格式和SFVE格式的逼近性問題，即在什么條件下式（17）成立.

2.2 逼近性分析及數值實驗

圖10 區域Ωμ，δ、Ω~1和Ω~2示意圖Fig.10 Illustration for domainsΩμ，δ，Ω~1andΩ~2

首先給出幾個典型算例.將求解域Ω中的參數a和b均取為1，定義Ωμ，δ＝（c，d）×（0，1）表示粗細界面x＝μ附近的一個δ鄰域，這里 c＝ μ － δ，d ＝ μ ＋ δ，并記 Ω~1＝ Ω1＼Ωμ，δ，Ω~2＝Ω2＼Ωμ，δ，如圖10所示.

在方程（1）中取κ1＝κ2＝λ ＝1，并取μ＝1／4，δ＝1／8（此時相應的c＝1／8，d＝3／8），可構造如下三個算例.

例1 在模型方程（1）中取真解為

例2 在模型方程（1）中取真解為

例1～例3的真解函數u在Ω~2∪Ωμ，δ分別取為1、x和x2，在Ω~1均取為高次多項式．這三個例子表現的是真解函數u在Ω~2∪Ωμ，δ上的變化比在Ω~1上的變化要平緩的情形，圖11（a）、11（b）和11（c）分別給出了例1～例3的真解函數u在截面y＝0上的曲線.

上述算例中，方程（1）的右端函數f均通過將相應的u代入式（1）后計算得到.

下面針對上述算例考察混合五點格式和SFVE格式的逼近性問題.

首先考察混合五點格式.由于算例的真解函數u只與變量x有關，此時細化插值算子P1可簡化為

為了進行對比，我們還構造了如下兩個一維細化插值算子1）細化插值算子P＾1

圖11 例1～例3的真解函數u在截面y＝0上的曲線Fig.11 Curves of true solutions u at section y＝0 for Examples 1－3

注意到，細化插值算子P＾1具有一階代數精度，且其權系數保正；細化插值算子P2具有二階代數精度，但其權系數不能保正.

在本文數值實驗中，離散系統的求解均采用AMG-CG方法，迭代控制精度取10－8.例1～例3的數值實驗結果分別列在表1～表3中.

表1 例1的逼近性比較Table 1 Approximation comparison for Examp le 1

表2 例2的逼近性比較Table 2 Approximation comparison for Examp le 2

表3 例3的逼近性比較Table 3 Approximation comparison for Examp le 3

由表1～表3，可得如下結論

1）針對例1，插值公式P1、和P2均可使得關系式（17）成立，且對應的‖eH，h‖w更接近‖eh‖w．另外，需要指出的是，由于u的特殊性（在∪Ωμ，δ上為常數），插值公式P0可使得‖eH，h‖w＜‖eh‖w．

2）針對例2，插值公式P0對應的數值解沒有逼近性，其原因是u在∪Ωμ，δ不屬于插值公式P0所能重構的函數類，而插值公式P1和P2均可以使得關系式（17）成立，且對應的‖eH，h‖w更接近‖eh‖w．

3）針對例3，插值公式P0、P1、P＾1和P2均不能使得關系式（17）成立，但值得注意的是，P1、和P2均有一定的逼近性，其中P2的逼近性最好.

定義稱函數集合V為插值算子P的可重構函數類，是指對?u∈V，有Pu＝u．

下面我們對上述結論3做一些分析評論.我們認為導致關系式（17）不成立主要原因有：①由于P1和只有一階代數精度，因此它對二次多項式不能精確成立；②插值公式P2，雖然具有二階代數精度，但由于其插值權系數中有負值，因此不能保證極值原理成立.

綜上可知，對于混合格式，為使得關系式（17）成立（對充分小的h），網格加密準則和細化插值算子應遵循如下逼近性條件

條件1給定插值算子，加密區域Ωμ，δ應該盡可能覆蓋那些其數值解不屬于該插值算子重構函數類的區域.

條件2細化插值算子中的權系數盡可能保正.

梯度檢測是實際應用中最常用的加密準則之一，該準則在數值解梯度大的區域加密.為了盡可能滿足條件1，通常的策略是在實際加密區域的邊界設置預警區寬度，基于預警區寬度，將實際加密的區域擴大，使粗細界面向更光滑區域偏移，在一定程度上緩解條件1的限制.

接著我們考察SFVE格式的逼近性，表4給出了相應的數值實驗結果.

表4 例1～例3的逼近性Table 4 Approximation comparisons for Exam ple 1－3

從上表可見，對于例1～例3，均有式（17）成立.由此可知，與SAMR網格上的混合格式相比，新格式對數值解的逼近性更好，對加密區域及粗細界面附近數值解變化程度的敏感性更弱.

3 兩層網格法及收斂性分析

本節針對基于SAMR網格的離散系統（16），設計并分析一種兩層網格（TL）法.

3.1 兩層網格法

算法1給出了求解（16）的TL算法中從第k步迭代向量uk到第k＋1步迭代向量uk＋1的步驟.

算法1 TL法

1）前磨光：以uk，0： ＝uk為初值，按公式

作m1次迭代得到uk，m1，這里S取為點Gauss-Seidel迭代矩陣（算子）.

2）粗網格校正

a）求解粗水平方程（設R和P分別為限制和插值矩陣）

其中Ac＝ RAH，hP，rc＝ Rr，r＝ fH，h－AH，huk，m1．

b）提升并校正：uk，c＝ uk，m1＋Pec．

3）后磨光：以uk，c為初值，按公式（18）作m2次迭代，得到uk＋1．

目前，關于算法1中的限制算子R和插值算子P的選取有許多，下面給出一種常見的簡單插值公式，由于在粗節點上采用恒等插值，所以只需給出在細節點處的插值公式.為此考慮加密區域中的某個粗單元及其所含的4個細單元（見圖12），這里記粗單元的4個頂點在粗網格下的編號為ik（k＝1，3，7，9），其余在細網格節點的編號為ik（k＝2，4，5，6，8），在這些細節點上采用如下插值公式

圖12 加密區的粗單元及相應的細單元Fig.12 Coarse element of refine domain and its refinement

取Galerkin型限制算子R＝PT，這時容易驗證粗化矩陣Ac＝RAH，hP為九帶狀矩陣.

下面針對第2.2節中的三個算例的SFVE格式所對應的線性代數系統，給出基于上述R和P的TL法的數值實驗，其中迭代終止準則為‖rk‖≤10－8‖r0‖（rk為第k個迭代步的殘量），調用1次V-Cycle求解式（19），前后磨光次數m1＝m2＝1且僅對加密網格中的自由度進行磨光.

從表5可見，TL法的迭代次數不依賴于網格規模，即該算法是穩健的.

下面針對m1＝0且m2＝1的情形，給出上述TL法的收斂性分析.

表5 TL法求解SFVE格式的迭代次數Table 5 Iteration numbers of TL method for SFVE scheme

3.2 收斂性分析

不妨考慮常系數定常擴散問題（1），其中κ1＝κ2＝λ＝1，并設粗網格剖分步長H＜1，為了給出TL法的收斂性分析，先給出一些預備知識.

記n1和n2分別為SAMR網格ThH和粗網格TH的節點數，設A1＝AH，h＝（a1ij）n1×n1，D1＝ diag（A1）．由單元剛度矩陣的公式（13）易知AH，h是對稱正定的．如果對ThH中節點按“先細節點后粗節點”進行排序，則A1和P可寫為如下分塊形式

其中，磨光算子S ＝I1－B1－1A1，粗網格校正算子K1，2＝I1－PA2－1PTA1，這里I1為恒等算子，粗網格算子A2＝PTA1P，B1＝D1－L1為A1的下三角陣.

由于A1對稱正定，因此利用一般代數兩層網格法的收斂性理論（見文［23］中的定理4.1），有如下收斂性引理.

引理1設e1＝（eF，eC） 為R 中的任意向量，σ和 是與e1無關的正數且 ≥σ．若算子S滿足性質

使得（29）的第二個不等式成立.

綜上所述，我們就得到了關于TL算法的一致收斂性定理.

定理1.算法1的迭代矩陣M1，2滿足如下估計式

其中 和σ均為與H無關的正常數且 ≥σ．

4 結論

針對一類二維定常擴散問題，討論SAMR網格混合離散格式的逼近性和一種TL法.首先，通過對典型算例的測試和分析，揭示了數值解的逼近性與解函數在粗細界面附近的性態以及插值算子精度之間的關系，并基于此給出了兩個逼近性條件.接著，為了消除SAMR網格中非協調單元對離散格式逼近性的影響，我們引入一種協調的SAMR混合網格，并設計了相應的SFVE格式.由于SFVE格式具有一定的變分背景，且在粗細界面附近單元上構造離散格式時不涉及插值公式，因而具有更好的普適性，并對解函數在粗細界面附近的變化劇烈程度的敏感性更弱.最后，針對SAMR混合網格SFVE格式離散線性系統，構造了一種兩層網格算法，并給出了一致收斂性證明.

特別需要指出的是，通過在局部（粗細界面附近）引入非結構網格 （三角形），本文提出的SAMR混合網格在整體上保持了結構網格性質.因此，相應的離散格式和兩層網格算法均保持了整體的結構性，可方便地集成到現有SAMR支撐軟件框架，如JASMIN和SAMRAI等.在此基礎上，現有的SAMR網格應用只需進行局部修改.

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Approximation and Two-level Algorithm of Finite Volume Schemes for Diffusion Equations with Structured AMR

SHU Shi1，YUE Xiaoqiang1，ZHOU Zhiyang1，XU Xiaowen2
（1.School ofMathematics and Computational Science，Xiangtan University，Hunan 411105，China；2.Institute of Applied Physics and Computational Mathematics，Beijing 100094，China）

We analyze approximation and propose a two-level algorithm for finite volume schemes of diffusion equations with structured adaptivemesh refinement.First of all，a typically conservative finite volume scheme was discussed，along with criterion for refining and coarsening interpolation operator.Secondly，non-conforming elements around coarse-fine interface were eliminated by introducing auxiliary triangle elements.A symmetric finite volume element（SFVE）schemewas designed.And further analysis showed the scheme has better approximation.It weakens restrictions.Finally，a two-level algorithm was constructed for SFVE.Theoretical analysis and numerical experiments demonstrate uniform convergence of the algorithm.

adaptivemesh refinement（AMR）；diffusion equations；finite volume schemes；approximation；two-level algorithm

date：2013－08－11；Revised date：2013－12－02

O241.6； TP338.6

A

1001-246X（2014）04-0390-13

2013－08－11；

2013－12－02

國家自然科學基金（10935003，61033009，91130002），973項目（2011CB309702），湖南省研究生科研創新項目（CX2013B255）及高等學校博士學科點專項科研基金（20124301110003）資助項目

舒適（1962－），男，湖南，博士，教授，博導，從事偏微分方程數值解和多重網格算法研究，E-mail：shushi＠xtu.edu.cn

*通訊作者：E-mail：xwxu＠iapcm.ac.cn