線偏振光通過多個任意厚度波片的偏振態

任樹鋒，王秀霞

（菏澤學院物理系，菏澤274015）

線偏振光通過多個任意厚度波片的偏振態

任樹鋒，王秀霞

（菏澤學院物理系，菏澤274015）

為了研究線偏振光通過多個任意厚度波片后的偏振態，利用線偏振光疊加的方法，對兩個晶體光軸夾角為45°的不同厚度波片計算了透射的兩個正交線偏振光的強度和相位差，由此得到疊加后的偏振態及透射光總強度，并分析了它們隨波片延遲量、入射光方位角的變化關系。結果表明，透射光的偏振態由后面波片的延遲量決定，強度由前面波片的延遲量和入射線偏振光方位角決定，同時說明正反向使用時，透射光的偏振態和強度一般不同。該研究結果可用于類似結構退偏器（如Lyot退偏器）的分析。

光學器件；波片；偏振態；相位差；線偏振光

引 言

光波是橫波，其光矢量在與傳播方向垂直的平面內分布的不對稱性稱為偏振，相應的各種不同的振動狀態即偏振態。光的偏振特性在光學技術及科學實驗研究中有著廣泛應用，因而偏振態的分析［1-7］成為光學的重要內容。波片是由雙折射晶片制作而成的延遲器件，一般可以將垂直入射的線偏振光分解為振動方向正交且具有一定的相位差的兩束線偏振光。相位差的不同決定了出射光疊加后的偏振態，如通過λ／4波片后一般是橢圓偏振光，通過λ／2波片后仍為線偏振光。單獨的常用波片（如λ／4波片、λ／2波片等）對入射光偏振態的作用已有較多的詳細研究報道。棱鏡型的偏光器件（如各種起偏器和退偏器）往往由多個任意延遲量的雙折射晶片或光楔組成，因此，光通過多個具有任意延遲量（或厚度）后的偏振態分析具有重要意義。對偏振態的分析以往大多利用矩陣方法，如Jones矩陣、Mueller矩陣［8-9］，作者從偏振光基本概念出發，利用光矢量疊加的方法，分析線偏振光通過兩個任意厚度的石英波片，方法簡便、意義清晰。

1 光路分析

在圖1中，前后兩個波片平行豎直放置，厚度分別為d1，d2。前面波片的晶體光軸沿x方向，后面波片的晶體光軸在x-O-y面內與前者成45°夾角（與Lyot退偏器結構類似）。單色線偏振光垂直入射（沿z軸），振動方向與x軸夾角，即方位角為θ。線偏振光在前面波片內分解為振動方向正交的非常光和尋常光，兩者傳播方向一致，相位不同且相位差隨波片厚度變化。這兩個線偏振光進入后面波片后又分別分解為兩個相位不同的非常光和尋常光。這4束透射光用e（表示非常光）和o（表示尋常光）的字母組合命名，即ee，eo，oe和oo，前后兩個字母分別表示該光束在前后兩個波片的偏振屬性。其中，ee和oe為前面透射的兩個線偏振光在后面波片分別分解得到的兩個非常光，eo和oo則為它們分別分解得到的兩個尋常光。兩個非常光和兩個尋常光分別疊加可以得到兩個振動方向垂直、相位不同的線偏振光，由此可知，最終透射光一般為橢圓偏振光。

Fig.1 The optical path of linearly polarized light transmitting through two wave-plates

2 偏振態疊加分析

對石英晶體的波片，設在后面波片的出射端面oo的初相位為0，則4束透射光的初相位可表示為：

式中，λ為入射光波長，no和ne分別是石英晶體中o光和e光的主折射率。

忽略界面反射、石英吸收以及散射，參照圖1的參量設置可得4束透射光的振幅：

式中，A為初始振幅。這4束光再兩兩疊加：ee與oe合成得到振動方向和頻率不變，在后面波片中相當于非常光的線偏振光，其振幅和初相位分別用Ae，φe表示；與之類似，oo與eo合成的尋常光的振幅和初相位分別用Ao，φo表示。由（1）式～（8）式可得：

將（11）式、（12）式代入正切的差角公式：

得：

其中，

通過三角函數運算，可得相位差：

由（9）式、（10）式可以計算透射光的總光強為：

由（19）式可以看到，對于確定波長的入射光，相位差由后面波片的延遲量決定；而相位差又決定透射光的偏振態，其隨相位差在一個周期內的變化如圖2所示。當相位差為kπ（k為整數）時，透射光為線偏振光；當相位差為（k＋1／2）π時，由（9）式、（10）式可知Ae＝Ao，因此透射光為圓偏振光；當相位差為其它值時，透射光為橢偏率不同的一般橢圓偏振光。另外，由于偏振態僅由后面波片決定，所以當反向入射時，透射光的偏振態一般與正向入射時不同這是使用時應該注意的問題。

Fig.2 The polarization states of transmitted light changing with phase difference

由（20）式看到，透射光強度隨前面波片延遲量決定的相位差的變化而發生周期變化，且周期與偏振態變化周期相同；入射線偏振光方位角θ決定變化幅度：θ為0°或90°時，透射光強為A2不變；θ＝45°時，透射光強變化幅度最大，在［0，2A2］內變化；θ為其它值時，透射光強變化幅度介于以上二者之間。圖3為θ分別取0°，15°，45°時，透射光強隨相位差變化的曲線。

Fig.3 The transmitted light intensity of different vibration azimuth angle changing with phase difference

對于多個波片（N≥3）且任意兩個相鄰波片晶體光軸夾角為45°的情況，前面（N－1）個波片可等效為一個波片，其透射光疊加后同樣得到振動方向垂直、初相位不同的尋常光和非常光，其中非常光的振動方向與第（N－1）個波片的晶體光軸一致，即第（N－1）個波片的晶體光軸可視為前面（N－1）個波片的等效晶體光軸。因此，這兩束再通過第N個波片的計算與兩個波片完全相同，結論也一致。

3 實驗驗證

樣品為一個石英晶體材料的8mm波片與λ／4波片（633nm）的組合。由于較厚波片的延遲量對入射角非常敏感，難以準確測定，所以將λ／4波片放在后面。實驗光路如圖4所示，激光光源的波長為633nm，后面放置相應波長的波片，可將光源近似調制為圓偏振光（減小光源主偏振面旋轉的影響）。起偏棱鏡的旋轉可以改變入射線偏振光的方位角，而檢偏棱鏡的旋轉可以檢測透射光的偏振態。另外，由于波片對入射角很敏感，采用自準直方法調整光的垂直入射。

Fig.4 The light-path diagram of experiments

對于（20）式：去掉檢偏棱鏡，通過旋轉起偏棱鏡，可以驗證透射光強隨（2倍）方位角按正弦規律變化，實驗曲線如圖5所示。

Fig.5 The diagram of transmitted power changingwith vibration azimuth angle

對于（19）式：在仔細調整光的垂直入射（特別是λ／4波片的垂直入射），以及兩波片晶體光軸夾角為45°的前提下，旋轉檢偏棱鏡，發現透射光強變化很小，見表1。

Table1 The transmitted power changing with the rotation of the analyzer

由表1可見，隨檢偏棱鏡的旋轉，透射光強變化幅度很小，最大值與最小值的差值僅為平均強度的2.92%。由此可以判斷透射光為圓偏振光，這與利用（9）式、（10）式及（19）式分析得到的結論相同。

4 結 論

利用線偏振光疊加的方法，計算分析了單色線偏振光垂直通過兩個任意厚度、晶體光軸夾角為45°的波片后的偏振態和光強。理論分析表明，透射光的偏振態由后面波片的延遲量決定，強度由前面波片的延遲量和入射光方位角決定。通過實驗，該結論得到一定驗證。分析結果可以推廣到多個波片且相鄰晶體光軸夾角為45°的情況。另外，應用數學積分，還可計算分析復色光的情況；該研究可應用于具有相近結構的雙折射型棱鏡偏振態的分析，如Lyot退偏器［10-11］。

［1］ LIU F，LEE Ch J，CHEN JQ，et al.Ellipsometry with randomly varying polarization states［J］.Optics Express，2012，20（2）：870-878.

［2］ REN Sh F，WU F Q.Design of bireflective parallel beamsplitting polarization prism combined of iceland and glass［J］.Laser Technology，2012，36（5）：686-688（in Chinese）.

［3］ WANGW，XIE Y，XU L L.Research on change of the polarization status for the polarized light passing through quarterwave plate［J］.Journalof HuaibeiCoal Industry Teachers College，2010，31（2）：26-29（in Chinese）.

［4］ YOU Y，TONIZZO A，GILERSON A A，etal.Measurements and simulations of polarization states of underwater light in clear oceanic waters［J］.Applied Optics，2011，50（24）：4873-4893.

［5］ ZHENG G L，XU J，WANG H C，et al.Effect of polarization state on electro-optic coupling and its application to polarization rotation［J］.Applied Optics，2006，45（34）：8648-8652.

［6］ KRZYSZTOF P.Analysis of clusters and uniformity of distribution of states of polarization on the Poincarésphere［J］.Applied Optics，2005，44（21）：4533-4537.

［7］ RAJENDRA B.Halfwave retarder for all polarization states［J］.Applied Optics，1997，36（13）：2799-2801.

［8］ JIAO Sh L，TODOROVIC M，STOICA G，et al.Fiber-based polarization-sensitive mueller matrix optical coherence tomography with continuous source polarization modulation［J］.Applied Optics，2005，44（26）：5463-5467.

［9］ DO T，DONG H，SHUM P.Measurementof the complex polarization mode dispersion vector using jonesmatrix analysis［J］.Applied Optics，2007，46（6）：916-921.

［10］ REN Sh F.Study on the polarization dependence of an improved Lyot depolarizer bymeansof superposition ofmultiple beam［J］.Optical Technique，2012，39（1）：14-18（in Chinese）.

［11］ REN Sh F，WU FQ，WUW D.Depolarization performance for monochromatic light of an improved Lyot depolarizer［J］.Acta Optica Sinica，2013，33（4）：0423001（in Chinese）.

Polarization states of linearly polarized light transm itting through several wave-plates w ith arbitrary thickness

REN Shufeng，WANG Xiuxia
（Department of Physics，Heze University，Heze 274015，China）

Adopting the means of light vector superimposition，the polarization states of linearly polarized light transmitting through several wave-plateswith arbitrary thicknesswere analyzed.Taking two wave plates whose optical axes are oriented at45°as example，the polarization states and intensity of transmitted lightwere calculated.It is found that the polarization states are dependent on retardation of the back wave-plate，and the intensity is dependent on retardation of the frontwave-plate and vibration azimuth angle of incident light.Italso indicates that the characteristics are not the samewhen the two wave plates are used in forward and reverse directions.The theoretical results can be applied to the analysis of depolarizer，such as Lyot depolarizer.

optical devices；wave-plate；polarization state；phase difference；linearly polarized light

O436.3

A

10.7510／jgjs.issn.1001-3806.2014.03.024

1001-3806（2014）03-0394-04

山東省高等學校科技計劃資助項目（J11LA52）；荷澤學院自然科學基金資助項目（XY13KJ04）

任樹鋒（1979-），男，講師，主要研究方向為偏光器件的設計與分析。

E-mail：renshufeng7909＠163.com

2013-05-14；

2013-07-03