應用頻率積分相位解調測量徑向畸變

楊初平，劉建斌，譚穗妍，翁嘉文

（華南農業大學物理系，廣州510642）

應用頻率積分相位解調測量徑向畸變

楊初平，劉建斌，譚穗妍，翁嘉文

（華南農業大學物理系，廣州510642）

為了測量光學成像系統的徑向畸變，采用載頻條紋模板，應用瞬時頻率積分法提取因徑向畸變而產生的徑向調制相位；推導了條紋徑向調制相位與瞬時頻率的關系式，并導出徑向調制相位和徑向畸變位移關系；采用小波頻率估計提取畸變條紋徑向瞬時頻率，并對其進行積分獲得畸變條紋的徑向調制相位；應用徑向調制相位和立方卷積插值算法對畸變圖像進行了校正，得出了詳細的理論分析和實驗結果。結果表明，上述方法是可行的。

測量與計量；畸變測量；載頻條紋；相位解調；徑向畸變

引 言

畸變普遍存在于光學成像系統中。徑向畸變測量就是獲得徑向畸變位移函數即畸變像點相對于無畸變像點的位移，校正畸變圖像。通過設定特征點、提取特征點的畸變位移的標定模板［1-7］是目前測量徑向畸變的主要方法。如果把這些特征點的灰度按正弦函數分布排列，則測量因徑向畸變導致的特征點的位移將轉化成測量灰度條紋徑向調制相位。本文中以縱向正弦載頻灰度條紋作為模板，把徑向位置畸變轉化為徑向調制相位，采用小波頻率估計提取畸變條紋徑向瞬時頻率并進行積分運算得到徑向調制相位。與目前提取條紋調制相位都需要進行相位解包［8-14］不同，采用瞬時頻率積分相位解調方法提取變形條紋調制相位方法沒有產生包裹相位，因而無需經相位解包過程，便可直接得到調制相位。然后換算為徑向位置畸變，實現對圖像的校正。

1 圖像畸變模型

畸變圖像建立如圖1所示的坐標系。徑向畸變相對于圖像中心點O具有旋轉對稱性，在同一圓周上的點具有相等的位置畸變。設（x0，y0），（x，y），（xd，yd）分別表示圖像中心點、理想像點和對應的畸

Fig.1 Diagram illustrating radial distortion of fringe patterns

式中，徑向畸變位移函數T（r）是描述畸變像點相對于無畸變像點的位移，表示為：

通過實驗得到Δr，代入（1）式并結合灰度插值得到校正圖像。

2 徑向畸變相位

2.1 徑向調制相位與徑向瞬時頻率

以條形正弦灰度模板進行成像，采集的畸變條紋和無畸變條紋的關系如圖1所示，其中徑向OAB經過圖像中心O點。采集的無畸變條紋像的灰度可表示如下：

式中，A1（x）是背景灰度，B1（x）是正弦灰度的幅值，相位分布是（2πf0x＋φ），f0是頻率，φ是初始相位。

一方面，由于畸變，采集的條形模板灰度不再是正弦分布，可表示為：

式中，相位分布是［2πf0x＋φ（x）＋φ］，不再是周期性分布，而是出現沿著徑向發生變化的調制相位函數φ（x）。畸變條紋像與無畸變條紋像比較，因徑向畸變產生的相位差即徑向調制相位函數為：

另一方面，徑向畸變表現為畸變像點相對于無畸變像點的位置移動，如圖1所示，徑向畸變使B點移到A點，產生的徑向畸變位移函數表示為Δr（x）。則徑向畸變相位函數與徑向畸變位移函數的關系為：

因此，只要得到徑向調制相位就可以計算徑向畸變位移分布。

畸變條形模板灰度分布不再是固定的頻率f0，而是隨著徑向發生變化。畸變條形徑向瞬時頻率定義為：

把f0移到等號左邊，兩邊積分得：φ（x）－φ（0）＝在畸變像的中心點，畸變為0，則瞬時頻率f（0）＝f0，而且φ（0）＝0。因此徑向調制相位函數為：

因此，若得到瞬時頻率分布f（x），則可以計算徑向各個畸變點的徑向調制相位。在以往的條紋調制相位解調過程中，由于采用反正切函數計算條紋每個點的調制相位，大于2π的調制相位將被折斷到（－π，π）范圍內，為了獲得真實調制相位，需要對解調相位進行解包處理。采用瞬時頻率積分不會出現相位折斷，因而無需相位解包過程就能夠直接計算真實的調制相位。

2.2 頻率估計

條紋上各點瞬時頻率的計算可以采用連續小波變換進行估計。對1維函數f（x），其連續小波變換系數Wf（a，b）定義為［11-13］：

母函數ψ（x）采用Gabor小波函數［12］：

式中，ψa，b（x）為母函數經過尺度因子a伸縮和平移因子b平移后得到的小波序列，ψa，b*（x）是ψa，b（x）的共軛函數。對實信號f（x）的各個b點采用不同a值進行連續小波變換，得到一系列的小波系數Wf（a，b）。小波系數的幅值A（a，b）和相位φ（a，b）可以通過Wf（a，b）的實部Re［Wf（a，b）］和虛部Im［Wf（a，b）］分別表示為［12］：

對信號各個位置b，通過檢測不同a值的小波變換系數幅值A（a，b），其中最大值所對應的尺度因子a就是最佳尺度，記為a（b），信號在b點的瞬時頻率可以估計為f（b）＝1／a（b）。把變形條紋I2（x，y）過中心點O沿OAB方向的灰度分布作為f（x），按照上述過程可以提取畸變條紋徑向OAB的瞬時頻率分布f（x）＝1／a（x），經過瞬時頻率積分得到徑向調制相位函數。

3 實驗結果

調整攝像機光軸垂直參考平面，然后采集圖像。圖2是成像系統采集的變形條紋（640pixel× 480pixel），中心點O即零畸變點位于（320，240）。圖3是OAB方向的瞬時頻率分布，以O為中心呈左右對稱。圖4是對O點右側瞬時頻率積分得到徑向調制相位的原始曲線和多項式擬合曲線。按照（4）式把圖4中的徑向調制相位轉化為徑向畸變位移，采用立方卷積插值法［15］對畸變圖像（見圖5）進行校正，校正圖像如圖6所示。

Fig.2 Distorted fringe pattern

Fig.3 Local frequency along OAB

Fig.4 Modulated phase along OAB

Fig.5 Distorted image

Fig.6 Calibrated image

4 小 結

為了測量成像系統的徑向畸變，以正弦灰度條紋模板作為成像對象，把徑向位置畸變轉化為變形條紋徑向調制相位；該方法只需要采集1幅畸變條紋圖像，該變形條紋不僅含有徑向畸變信息，而且在畸變條紋中心點含有無畸變條紋像信息，采用小波頻率估計提取徑向頻率并進行瞬時頻率積分計算徑向調制相位，實現畸變校正。

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M easurement of radial distortion based on frequency integration phase demodulation

YANG Chuping，LIU Jianbin，TAN Suiyan，WENG Jiawen
（Department of Physics，South China Agricultural University，Guangzhou 510642，China）

Tomeasure the radial distortion in optical imaging systems，adopting the straight sinusoidal carrier-fringe pattern，the radial modulated phase resulting from radial distortion was extracted by means of instantaneous frequency integration.The formula between the instantaneous frequency and the radial modulated phase was deduced，and the conversion formula between the radial modulated phase and the radial distortion displacement was obtained.The instantaneous frequency of the distorted fringe pattern in the radial direction was calculated by using frequency estimation of Gabor wavelet transform，and integrated to obtain the radialmodulated phase.The radialmodulated phase and the cubic convolution interpolation algorithm were used to calibrate the distorted image.Experimental results demonstrate that the method is available.

measurement and metrology；distortion measurement；carrier frequency fringe pattern；phase demodulation；radial distortion

O438

A

10.7510／jgjs.issn.1001-3806.2014.03.026

1001-3806（2014）03-0402-04

國家自然科學基金資助項目（61307011）；廣東省自然科學基金資助項目（9151064201000035）

楊初平（1970-），男，副教授，研究方向為光信息處理。

E-mail：yangchp＠scau.edu.cn

2013-07-09；

2013-10-08