一道求瞬時功率最大值問題的若干方法研究

滕玉永

摘 要： 本文采用了受力分析、運動分析，數學求導，以及Cauchy不等式等方法，加強學生對物理量最值的理解和求解，讓學生認識到求最值方法的多樣性，從而培養學生利用物理方法和數學方法求物理量最值的能力；利用gnuplot軟件畫出重力的功率隨θ的變化關系圖線，讓學生更形象、更直觀地認識重力的功率隨θ的變化趨勢。

關鍵詞： 最值 受力分析 運動分析 求導 Cauchy不等式

例題：如圖1所示，以O點為圓心，制作一個半徑為R=2m四分之一的光滑圓弧形軌道，質量為m=0.1kg的小球從與O點等高的圓弧最高點滾下。求：小球沿光滑圓弧下滑過程中重力的最大功率為多大（g取10m/s）？

圖1 圖2

解析：小球沿光滑圓弧下滑過程中重力的功率最大時，如圖2所示：設小球所在位置與O點的連線與豎直線所成夾角為θ，小球速度為v，由功能關系得：mgRcosθ=mv （1），所以v= （2），P=mgv=mgvsinθ=mgsinθ （3），代入數據可得：P=mgsinθ=2sinθ （4），則：求重力最大功率的問題轉化為求sinθ或cosθsinθ或cosθ（1-cosθ）的最大值問題。

方法一：受力分析和運動分析，豐富原有圖形，物理知識求最大值。

知識點類比遷移過程：在高中物理問題中，依據所研究問題的需要，把實際研究對象及其運動狀態、受力情況等進行合理抽象，對制約物體客體運動、變化的條件進行取舍，即忽略次要因素，抓住決定性的條件，突出理想客體與主要條件的內在聯系。如本題中，解決問題時可以首先突出豎直方向上的運動狀態，可以發現豎直方向的速度是先變大再變小；其次突出圓周運動，小球在任意一個位置的法線方向的合力提供向心力，因此可以采用如下步驟：

受力分析和運動分析1：如圖3所示：沿光滑圓弧下滑過程中小球受到重力mg和支持力N的作用，v達到最大值時，豎直方向的加速度為零，即豎直方向的合力為零，亦即：mg=Ncosθ可得：N=。

圖3 圖4

受力分析和運動分析2：小球在下滑過程中，做變速圓周運動（如圖4所示）：支持力N與重力G沿法線方向的分力的合力提供向心力。則有：N-mgcosθ=，結合前面（2）式和以上兩式可得：-mgcosθ=2mgcosθ，從而得：cosθ=，所以sinθ=，將上兩式代入（4）式可得：P=2sinθ=W。

方法二：重構原有知識，創設多種情境，函數求導求最大值。

（一）對cosθsinθ求導，若要cosθsinθ取最大值，需要：

則有：=-sinθ+3cosθsinθ=0

可得：cosθ=，所以sinθ=

與（一）同理代入即可得到結果。

方法三：利用三角函數，聯系臨界條件，Cauchy不等式求最大值。

Cauchy不等式是數學中的一個非常重要的不等式，求函數最值是Cauchy不等式的基本應用之一。

cosθsin

其中：2cosθ=sinθ時，cosθsinθ取最大值

此時有：P=mgsinθ=2sinθ=2=W。

方法四：利用gnuplot軟件，畫出重力的功率變化關系圖線，形成直觀印象。

筆者利用gnuplot軟件，畫出重力的功率隨θ的變化關系圖線，雖然該方法無法求出最值，但可以從圖像中清晰看出存在最值及重力的功率的變化趨勢，讓學生更形象、更直觀地認識重力的功率隨θ的變化趨勢，加深對知識的理解與記憶。

通過力的獨立作用原理和運動的分解，進行受力分析和運動分析，從具體的物理情景中逐步提煉出常見的物理模型，既符合學生的認知習慣，又有利于對實際物理問題的解決，充分利用所學的物理知識得到重力的最大瞬時功率，可以加深學生對物理知識的理解和掌握。同樣，當用物理知識考慮問題有困難時，也可以利用數學所學到的函數求導方法或Cauchy不等式方法求重力的瞬時功率最大值。讓學生充分認識到求物理量最值的方法的多樣性，從而培養學生利用物理方法和數學方法求物理量最值的能力。