把握時機，循序漸進，逐步提高

朱強

數(shù)與形是數(shù)學的基本研究對象，形的特點是直觀，數(shù)的特點是完整嚴密.它們之間存在著對立統(tǒng)一的辯證關系.在解決代數(shù)問題時，直觀的圖像可以幫助我們更方便地思考.通過數(shù)字與圖形的有機結(jié)合，揭示出隱含其中的幾何背景，啟發(fā)思維，找到解決問題的途徑；反之，在研究幾何問題時，要注意從代數(shù)角度出發(fā)，通過數(shù)量關系的研究解決問題.

學生在初中已經(jīng)初步接觸了代數(shù)和幾何，而高中是數(shù)學思想方法逐步形成的關鍵時期.在這個階段，領會了數(shù)學基本思想的同學，學習水平及能力突飛猛進，學習熱情高漲；反之，也有許多同學學習能力水平熱情平平，甚至出現(xiàn)倒退的現(xiàn)象.原因之一就在于沒有真正領會數(shù)形結(jié)合的思想方法.

解析幾何是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，這一階段的教學正是逐步滲透數(shù)形結(jié)合思想方法的最佳時機.如何引起學生的興趣和共鳴？筆者認為應該注意以下方面.

一、抓住基本概念

結(jié)合課本中的基本例題習題，對每一個基本概念諸如斜率，兩點間距離，平行垂直，直線和圓方程等的幾何意義都要求通過圖形解釋，并在此基礎上穩(wěn)步提高.

例1：對每個實數(shù)x，設f（x）取4x+1，x+2，-2x+4中的最小值，那么f（x）的最大值是？搖 ？搖.

分析：本題無非是代數(shù)和幾何方法，如果使用代數(shù)法，那么就要比較3個式子的大小，需要分段討論，相對比較麻煩.而幾何方法只要如圖作出分段函數(shù)f（x）=4x+1 的圖像，不難得出：

當x取A點橫坐標時，有最大值.

這里，函數(shù)的最值就是圖像的高點縱坐標，結(jié)論一目了然.

二、及時歸納總結(jié)和推廣

例2：求函數(shù)f（x）=+的最小值.

分析：f（x）=.如果從代數(shù)角度看，好像沒有簡單有效的方法.但是從圖像角度看，f（x）的值是動點p（x，0）到兩個定點N（0，2）與Q（-1，0）的距離之和，依據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，就可以知道當x=-1也就是P點Q點重合時（即x=1）時有最小值f（x）=f（-1）=.

這里，函數(shù)的最值就是x軸上面點P到2個定點N，Q距離之和的最值.

總結(jié)：例題2中點P在直線x軸上面并且x取任何實數(shù)，如果限制范圍x為正數(shù)，結(jié)果會怎樣？如果點P范圍是在坐標平面內(nèi)，那么點P到點A和點B距離之和應該表示為……

這樣，搞清楚了以后，可以思考求函數(shù)f（x）=的最值應該怎樣求.

三、引導學生進行適當?shù)穆?lián)想類比

例3：求函數(shù)y=的最值.

通過分析引導，如題的形式應該聯(lián)想到直線的斜率，y可以看成是點P（cosx，sinx）與A（2，1）連線的斜率，動點P是圓x■+y■=1上面的點，過A作圓O的切線AB，AC， 得

聯(lián)想到斜率，問題就簡單了.

例4：若對于滿足 的一切實數(shù)x，y不等式x+y+m≥0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

分析：當x，y滿足 時有序?qū)崝?shù)對（x，y）對應的點就是個圓，要所給的不等式成立，就是要圓上的所有點都在直線l：x+y+m=0的上方（含直線上）即可.顯然極限位置是相切 ；不難求得 直線 的縱截距分別是-m，- 這里滿足不等式x+y+m≥0的幾何意義就是直線 上方的點.

例5：解不等式

分析：本題是無理不等式，一般需要分類討論，但是如果構(gòu)造幾何圖形，則比較方便.令y=，則有y=2（x+）（y≥0），作出拋物線C.再令y=x-1，作直線L：x-y-1=0.

上述直線和拋物線交于點A（4，3）（如圖所示），∵≥x-1，∴拋物線在直線的上方，原不等式的解集為：{x|-≤x≤4}.

直觀的圖像確實有助于我們思考，但是圖像畢竟少精確；如果我們不注意結(jié)合數(shù)的嚴密性，單純依靠圖像，有時候就會誤入歧途.

例6：如果拋物線y=6x與圓（x-a）+y=4沒有公共點，求實數(shù)a的取值范圍.

分析：通常方法是這樣，利用圖像特點（如圖所示），觀察得圓有兩種可能，

（1）a=-2時，拋物線與圓外切；

（2）圓與拋物線內(nèi)切（即a>2）時，由方程組y=6x（x-a）+y=4消去y整理得：x-（2a-6）x+（a-4）=0，再由△=0得到a=.

最后，結(jié)合圖形可得a的范圍是：a<-2或a>.好像解答得比較順利.但是事實上方程x-（2a-6）x+（a-4）=0當a=時的解為負根，所以圓內(nèi)切于拋物線的情況是不存在的，也就是上圖（1）右邊的相切圓是不存在的.

圖（1） 圖（2）

究其原因，還是拋物線圖像沒有畫正確，當a>0時，因為拋物線的張口比較大，如圖（2）所示，a>2才是正確答案.可見單純依靠圖像有時會誤入歧途.