淺談概率論中的獨立性

劉波

摘 要： 本文歸納和總結了概率論課程中隨機事件和隨機變量的獨立性的概念和性質.

關鍵詞： 概率論 隨機變量 獨立性

在概率論課程中，獨立性是一個非常重要的概念，在教學過程中它既是重點又是難點.現對概率論中出現的獨立性問題做總結和歸納.

1.事件的獨立性

設A，B是兩個事件，一般而言P（A）≠P（A|B），這表示事件的發生對事件的發生的概率有影響，只有當P（A）=P（A|B）時，才可以認為B的發生與否對A的發生毫無影響，這時就稱A，B兩個事件是獨立的.

定義1[1]：如果P（AB）=P（A）P（B）成立，則稱事件A與B相互獨立，簡稱A與B獨立.

在實際問題中，我們一般不用定義判斷兩個事件A，B是否相互獨立，而是相反，從試驗的具體條件及試驗的具體本質分析判斷它們有無關聯，是否獨立.如果獨立，就可以用定義中的公式來計算積事件的概率.

定義2[1]：設有n個事件A，A，…，A，如果對任意k（1

P（AA…A）=P（A）P（A）…P（A） （1）

則稱此n個事件A，A，…，A相互獨立.

三個事件相互獨立不僅是兩兩獨立的，而且滿足三三獨立.

注：（1）A與B互不相容和相互獨立的關系.

若AB=？準，則稱A與B互不相容，互不相容是說明兩個事件沒有相同的樣本點.而獨立是說明兩個事件的發生互不影響.所以它們是兩個不同的概念，但它們之間也有一定的聯系，如例1.

例1：若P（A）>0，P（B）>0，則有：（1）當A與B相互獨立時，則有A與B相容，即AB≠？準.（2）當A與B互不相容時，有A與B不相互獨立.

解：（1）由A與B相互獨立和P（A）>0，P（B）>0，有P（AB）=P（A）P（B）>0，故AB≠？準，即A與B相容.

（2）由A與B互不相容和P（A）>0，P（B）>0，有P（AB）=0≠P（A）P（B），故P（AB）≠P（A）P（B），即A與B不獨立.

由上例得到，若P（A）>0，P（B）>0，則A與B相互獨立與A，B互不相容不能同時成立.但是若去掉P（A）>0，P（B）>0這個條件，則存在這樣的事件，它們互不相容而且相互獨立，如不可能事件與任何事件互不相容，而且與任何事件相互獨立.

（2）由定義可知必然事件和不可能事件與任何事件都是相互獨立的.

（3）判斷兩事件A，B 的獨立性通常是根據它們的實際意義看彼此是否有影響進行判斷的.但不能用經驗判斷時，就必須用獨立的定義判斷.

（4）對于三個事件A，B，C兩兩獨立，但不一定三個事件相互獨立.

例2：隨機投擲編號為 1 與 2 的兩個骰子設A表示1號骰子向上一面出現奇數；A表示2號骰子向上一面出現奇數；A表示兩骰子出現的點數之和為奇數，則有P（A）=P（A）=P（A）=1/2；對任意的1≤i

（5） 若四對事件 中有一對是相互獨立的，則另外三對也是相互獨立的.對于這條性質的直觀理解也是容易的：如果A與B相互獨立，則A的發生不影響B的發生，那么A的發生也不會影響B的不發生，A的不發生也不會影響B的發生，A的不發生也不會影響B的不發生.

2.隨機變量的獨立性

在多維隨機變量中，各分量的取值有時會相互影響，但有時會毫無影響.譬如一個的身高X和體重Y就會相互影響，但與收入Z一般無影響.當兩個隨機變量的取值互不影響時，就稱它們是相互獨立的.

定義3[1]：設n維隨機變量的聯合分布函數為FF的邊際分布函數，如果對于任意n個實數x，有

則稱X相互獨立.

類似隨機事件的獨立性，隨機變量相互獨立說明，各個隨機變量的取值不會相互影響，或者說隨機變量之間沒有任何關系.

注：（1）不相關與相互獨立的關系.二維隨機變量（X，Y），當Cov（X，Y）=0時，稱X與Y不相關.這時可能由兩類情況導致：一類是X與Y的取值毫無關聯；一類是X與Y間存在某種非線性關系，譬如平方關系、對數關系等.而相互獨立說明兩個隨機變量沒有任何關系.因此若X與Y獨立，則X與Y不相關；若X與Y不相關，則不能得到X與Y相互獨立.這個性質表明：“不相關”是比“獨立”更弱的一個概念.

例3：設隨機變量X服從區間（0.5，0.5）上的均勻分布，Y=cosX，試證X與Y不相關.

證：由于隨機變量X，Y有函數關系Y=cosX，則顯然X與Y不獨立.因為E（X）=0，所以Cov（X，Y）=E（XY）=0，即X與Y不相關，而且X與Y不獨立.

這個例子表明，“獨立”必導致“不相關”，而“不相關”不一定導致“獨立”.獨立要求嚴，不相關要求寬.因為獨立性是用分布定義的，二不相關只是用矩定義的.另外可以看出，關于數學期望的性質中：若X與Y相互獨立，則有E（XY）=E（X）E（Y），可以將條件“相互獨立”降弱為“不相關”.

（2）對于二維正態分布N，不相關與相互獨立是等價.即對于二維正態分布（X，Y），若ρ=0，則隨機變量X，Y不相關，而且相互獨立；若ρ≠0，則隨機變量X，Y相關，不相互獨立.

（3）設二維隨機變量（X，Y）的聯合密度函數為p（x，y），X與Y相互獨立的充分必要條件是p（x，y）可分離變量，即p（x，y）=h（x）g（y），而且h（x）與邊際密度函數p（x）相差一個常數因子k，g（y）與邊際密度函數p（y）相差一個常數因子k，并且.應用這條性質可以更方便地判斷兩個隨機變量獨立性.

（4）利用獨立隨機變量的可加性，可以方便地計算隨機變量和的分布.如：二項分布，泊松分布，正態分布，伽馬分布，卡方分布.這些分布都具有可加性.

（5）注意利用獨立同分布隨機變量和的性質，如獨立同分布的兩點分布的和為二項分布，n個相互獨立同分布的標準正態變量的平方和是服從自由度為n的卡方分布，利用這樣的性質可以更簡便地推導二項分布和卡方分布的一些性質，如數學期望和方差等.

（6）獨立隨機變量和的特征函數為每個隨機變量的特征函數的乘積.特征函數是計算隨機變量函數的分布的有利工具，如果隨機變量還滿足相互獨立的條件，則更簡化了計算隨機變量函數分布的計算.

參考文獻：

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