有限域隨機變量限界概率分布函數模型

鄒毅，王君杰

（1．中國人民大學信息學院，北京 100872；2．同濟大學橋梁工程系，上海 200092）

有限域隨機變量限界概率分布函數模型

鄒毅1，王君杰2

（1．中國人民大學信息學院，北京 100872；2．同濟大學橋梁工程系，上海 200092）

針對隨機變量正態分布函數等的理想化情況，提出了限界修正的方法，并給出了線性函數修正和二次函數修正兩種具體的修正結果。以美國AASHTO橋梁船撞設計指南中船舶碰撞概率的計算方法為例，說明了限界修正在工程領域中的重要性。

隨機變量；概率密度函數；有限域

在科學與工程領域，當對物理現象進行定量數學建模時，一些物理量表現出很強的不確定性，其中絕大多數可以描述為隨機性，具有隨機性的物理量稱為隨機變量。恰當的描述隨機變量可以確定其概率分布函數，這樣就可以得到該隨機變量的完整的統計描述。從目前的研究與應用的情況來看，廣泛使用的隨機變量的概率描述數學模型主要有正態分布、對數正態分布、極值分布等［1－2］。這些應用廣泛的分布函數的數學模型一般都定義在（－∞，＋∞）或（0，＋∞）上。但任何現實的物理量都不可能取值－∞或＋∞，數學模型的這種處理是對真實物理現象的理想化處理。這種理想化處理在很多情況下可以給出合理地分析和預測結果，但對于一些工程問題，這種理想化則不能合理的分析和預測結果，需要進行必要的限界修正。本文針對應用最為廣泛的正態分布模型進行限界修正，并以案例說明這種修正的實際意義。

1 修正模型的一般表達形式

假定X是可以理想化為正態分布的隨機變量，其概率密度函數為f（x），定義在（－∞，＋∞）區間上。對于實際的工程問題，隨機變量X的取值區間是有限的，記為（x1，x2），其中x1和x2取有限值。考慮到隨機變量X的取值區間為有界的實際情況，進行如下修正，得到概率分布函數模型

其中x0為f（x）取最大值處，f1（x）和f2（x）稱為修正函數，p（x）稱為修正的限界概率密度函數。

記p（x）在x＝x0處得最的大值為pmax，則有

記p（x）在x＝x1處取值為p1，在x＝x2處取值為p2，則有

理論上講，f1（x）和f2（x）可以取任何合理的函數，但出于簡單考慮，這里選取線性函數和二次拋物線函數。

2 線性修正函數

最簡單的修正函數可以選線性函數。利用f1（x）和f2（x）在x0、x1和x2處的函數取值（式（2）和（3）），可以得到

修正過的概率密度函數p（x）必須滿足

據此，對于線性函數，可以得到

采用線性修正函數得到的修正結果見圖1。

圖1 線性修正結果Fig.1 linear correction results

3 二次拋物線修正函數

對于二次拋物線函數，除了利用f1（x）和f2（x）在x0、x1和x2處的函數取值（式（2）和（3））外，還需要補充條件：在x＝x0時，f1（x）取極值f′1（x0）＝f′2（x0）＝0。即，據此可以得到

對于二次函數，根據式（5），可以得到

采用線性修正函數得到的修正結果見圖2。

對正態概率密度函數的修正，目的是考慮自變量域的有界性，這一點對有些工程實際問題是重要而不能忽略的。修正的一個基本考慮是經過修正的概率密度函數，與域內原正態概率密度函數的性質接近，如光滑性、凹凸變化等。經二次拋物線修正后的概率密度函數在性質上與原正態概率密度函數更接近，因此與線性函數修正相比，這是更好的修正方案。

4 應用

圖2 二次拋物線修正結果Fig.2 Correction result of quadratic parabola

目前，國內外船舶與近海工程結構碰撞概率的計算［3－9］，其幾何分布均定義為正態分布。但河道與航道都是有界的，因此理想化的正態分布與實際情況有差別。本文以這一工程應用為背景，來說明限界修正的必要性。計算對象為一座跨越航道的大橋，平面布置為4×50 m＋2×160 m＋13×50 m，如圖3所示，橋墩編號從16號到35號［10］。

為了表達定量反映限界修正的影響，定義如下比值

式中，pm為限界修正后的碰撞概率，p為無修正時的碰撞概率。

圖4是比值ρ的計算結果。由圖4可見，進行限界修正后，對于遠離航道的橋墩船撞頻率會減小，而且離航道越遠減小的程度越大；對于靠近航道處的橋墩，進行限界修正后撞擊頻率可能會變小也可能會變大（如下行船舶撞擊23號墩的頻率在進行限界修正后會變大）。原因是隨著偏離分布曲線中心點距離的增加，修正概率密度函數和未修正概率密度函數的函數值偏差會呈遞增趨勢。圖4顯示，考慮河道與航道的有界性后，船舶航跡采用二次函數修正的限界正態概率分布函數，對船舶碰撞頻率的估計結果的影響顯著，離航道中心線越遠影響越大（減小）。該例表明，正態分布函數的限界修正具有實際工程意義。

圖3 九江大橋橋跨布置Fig.3 Layoutof Jiujiang bridge and its navigational channels

圖4 限界修正對船舶撞擊頻率的影響Fig.4 Impactof limited domain correction on vessel collision frequency

［1］貢金鑫．工程結構可靠度計算方法［M］．大連：大連理工大學出版社，2003．

［2］高謙，吳順川，萬林海，等．土木工程可靠性理論及其應用［M］．北京：中國建材工業出版社，2007．

［3］AASHTO．Guide specification and commentary for ship collision design of highway bridges［M］．Washington，D．C：American Association of State Highway and Transportation Officials，2009．

［4］EN 1991-1-7．General Actions-Accidental Actions due to Impact and Explosions［S］．

［5］KUNZCU．Ship Bridge Collision in River Traffic，Analysis and Design Practice［M］．London：Aa Balkema Rotterdam，1998：13－21．

［6］KARLSSON M，RASMUSSEN F M，FRISK L．Verification of ship collision frequency model［M］．London：AA Balkema Rotterdam，1998：117－121．

［7］戴彤宇，劉偉力，聶武．船撞橋概率分析與預報［J］．哈爾濱工程大學學報，2003，24（1）：23－25，29．

［8］JCSS．Probabilistic Model Code［EB／OL］．［2013－09－10］．http：／／www．jcss．byg．dtu．dk／～／media／Subsites／jcss／english／publications／probabilistic_model_code／impact．ashx．

［9］ZHANG SW．Studies on the Probabilistic Model for Ship-Bridge Collisions［J］．International Journal of Statistics and Frequency，2013，2（1）：16－23．

［10］潘放，王君杰，李衛民，等．九江大橋船撞風險評估與防撞系統方案研究技術報告［R］．上海：同濟大學，2010．

Modified probabilistic density function of a random variable in a limited domain

ZOU Yi1，WANG Jun-jie2
（1．School of Information，Renmin University of China，Beijing 100872，China；2．Department of Bridge Engineering，Tongji University，Shanghai 200092，China）

We presented a limited domain modification approach for the ideal condition of normal distribution of a random variable．We also proposed two concrete modification results of linear function and quadratic function modification．We further demonstrated the importance of limited domain modification of probabilistic density function in science and engineering，taking the computational method of vessel-bridge collision probability in USA AASHTO guide for bridge-vessel collision design as an example．

random variable；probabilistic density function；limited domain

TB115

A

1002-4026（2014）01-0106-04

10.3976／j.issn.1002－4026.2014.01.019

2013-10-10

交通運輸部西部科技項目（200731882234）；交通部行業聯合科技攻關項目（2008-353-344-340）

鄒毅（1992－），男，學士，研究方向為應用數學。Email：zouyiapply＠sina．com