中國和新加坡高中數學教材整體知識結構比較研究
——從中國和新加坡高中文科教材內容的視角

王奮平

（1．南京師范大學 課程與教材研究所，江蘇 南京 210097；2．瓊州學院 理工學院，海南 三亞 572000）

中國和新加坡高中數學教材整體知識結構比較研究
——從中國和新加坡高中文科教材內容的視角

王奮平1，2

（1．南京師范大學 課程與教材研究所，江蘇 南京 210097；2．瓊州學院 理工學院，海南 三亞 572000）

對中國大陸和新加坡高中數學的系列教材從內容、知識點安排順序、必修和選修等方面作出分析．新加坡教材內容按照不同知識模塊編寫教材：純數學、力學數學、概率統計等模塊，知識容量比中國教材小，但是系統性強，相同知識點難度更大，知識安排結構更加符合學生的認知規律，分為必修和選修兩部分，對中國教材修改完善有一定啟示．

新加坡高中數學教材；整體結構；設計

新加坡中小學學制比較復雜，根源于英國殖民地時期的特點，不同于中國大陸地區學制和學習內容．但是總體上看，小學分為兩段，1-4年級第一段，5-6年級第二段，初中四年，初中結束后參加國家教育部門組織的O-Level（Ordinary Level）考試，然后一部分學生進入職業技術學院學習，另一部分學生進入初級學院（Junior Colleges）或大學先修中心（Centrailsed Institutes）．這兩種學校相當于中國大陸的高中階段，初級學院一般學制兩年，大學先修中心學制一般也是兩年，通過在這兩種學校學習高中內容并參加A-Level（Advanced Level）考試，成績達到各個大學錄取要求分數后，即可申請進入大學學習．現在統計顯示，大多數學生還是選擇通過初級學院兩年的學習參加A-Level考試而進入大學．在新加坡一般稱為11-12年級．初級學院（以下簡稱為新加坡高中）學習內容分為兩類供學生選擇：人文類和科學類，相當于中國大陸的高中文科和理科．人文類學生學習內容主要包括：數學、英國文學、歷史、地理、經濟、戲劇、美術與設計、高階中文、馬來語、泰米爾語等．科學類學生需要學習：數學、進階數學、物理、化學、經濟、生物、英國文學、地理、歷史、信息技術等．新加坡中小學使用的教材按照西方國家通行的商業化模式運作，任何個人或機構編寫的教材只要能通過國家教育部門審核就可以向全國各個中小學推銷．小學和初中教材的編寫主要依據國家頒布的課程綱要（相當于中國課程標準）內容和知識結構格局，高中教材的編寫主要依據A-Level考試大綱．和中國一樣，新加坡采用多元化教材使用制度，教材質量是第一生命力，教材質量決定未來使用率．

1 研究材料和內容及研究方法

比較中國大陸人教版高中數學教材（2007年2月第三版）和新加坡EPB Pan Pacific 2006年首次出版2008年重印的高中數學A-Level數學第一卷（Volume1）和第二卷（Volume2）教材數學內容整體知識結構，發現共性和差異，提出對中國教材完善的設想．

比較教育學中常用的內容分析法、同類比較法、橫向比較法和結構比較法相結合，研究兩國數學教材內容，通過對照列舉兩國高中數學教材具體內容，分析兩國高中數學教材相同或相似內容模塊知識的知識范圍異同、各知識點順序安排異同等．這里只對兩國教材整體知識內容結構做質性對照比較，不做量化比較研究．

2 中國和新加坡高中教材主要內容

新加坡高中數學學習內容分為3類：數學1，數學2和高級數學．數學1主要針對準備報考文、法、商專業的學生開設，此課程為文、法、商專業學生選修內容，主要內容為純數學和概率統計．數學2主要針對準備報考理工科專業的學生開設，此課程為理工科專業學生必修內容，主要內容為純數學、力學數學和概率統計，從新加坡高中A-Level大綱內容看，很明顯，數學2學習內容范圍比數學1更廣泛．高級數學也是針對準備報考理工科專業的學生開設，此課程為選修內容，主要內容為純數學、力學數學和統計，但是內容難度和廣度都要高于數學2．數學2學習內容范圍涵蓋了數學1學習內容，而高級數學深度大于數學1、數學2，提供給能力卓越的學生繼續學習．這里僅就新加坡EPB Pan Pacific（2006版）教材數學1內容（以下稱為新加坡教材）和中國高中數學教材人教版（2007版）文科生學習內容（以下稱為中國教材）加以比較研究．

新加坡高中教材按照內容分模塊編寫，中國、新加坡高中文科數學主要內容和分類如表1所示．

從表1所列兩國教材內容看，中國教材中的歐幾里得立體幾何內容、算法語言內容和不等式內容在新加坡文科教材中沒有看到，中國高中文科學生除了學習表1所列必修內容外還需要選修的內容包括：選修1-1第一章 常用邏輯語言（命題及其關系、充分條件和必要條件、簡單邏輯連接詞、全稱量詞和存在量詞），選修1-2第二章 推理與證明（合情推理和演繹推理、直接證明和間接證明），選修1-2第三章數系的擴充與復數的引入（復數概念、復數的四則運算），選修1-2第四章 流程圖和結構圖，上述內容也稱為“必選”內容，對打算參加高考的文科學生來講實際上也是必修內容．這些內容在新加坡文科教材中都沒有看到，不屬于強制學習內容范圍．新加坡教材中也沒有中國教材中必修的解析幾何內容，但是卻有中國必修教材中沒有發現的矩陣內容．

表1 中國和新加坡高中數學必修內容一覽表

用算法估計2的值；用excel解決線性規劃問題必修5 用T1-84計算器研究數學；公式列舉和統計表；最小二乘線性回歸的證明；兩套考試題及答案；兩套考試題及答案附錄4附錄5附錄6附錄7附錄8空間幾何體（空間幾何體的結構、空間幾何體三視圖和直觀圖、空間幾何體的表面積和體積），點、直線、平面之間的位置關系（三者之間的位置關系、直線和平面平行與垂直的判定和性質）必修2第一章第二章算法初步（算法與程序框圖、基本算法語句）必修3第一章不等式（不等關系與不等式、一元二次不等式及其解法、一元二次不等式與簡單線性規劃、基本不等式）必修5第三章

根據新課程標準要求：中國大陸高中文科學生必須修滿必修5個模塊的數學內容，然后還需要選修1-1和1-2兩個模塊的內容，學有余力的學生還可以繼續選修更加寬廣的數學知識模塊，增加學分的同時，也增加被更好的高校錄取的機會．新加坡高中數學文科考生只學習純數學和概率統計，學有余力的資優同學可以繼續選修高級數學模塊的內容，以提高被名校錄取的機會，高級數學包含的主要內容見表2：

表2 新加坡高中高級數學內容一覽表

新加坡高中文科數學必修內容只有兩個模塊：純數學和概率統計，兩個模塊分別編寫成一本書．選修的高級數學內容獨立編寫成一本書．中國教材5本必修教材，2本必選教材，一共7本書．中國學生如果想繼續學習數學可選模塊內容，知識范圍就更加廣泛，教材數量也更多．

中國教材對利用信息技術處理數學問題的內容用“閱讀材料”方式附在相關章節后，而新加坡教材將利用信息技術處理數學問題的內容用附錄形式附在教材最后．都不是必修內容，不過中國教材隨時跟在相關知識后面學習信息處理的方法，應該更加有利于學生學習和記憶．新加坡教材將信息技術處理數學問題集中安排在書后，一方面不容易引起學生及時注意使用信息技術，另一方面，如果教師在學完全部內容后集中學習信息技術處理數學的知識，也容易引起學生對前面學習知識的遺忘．

3 中國和新加坡高中教材主要內容和知識結構分析

3.1 中國和新加坡兩國文科教材內容整體知識結構順序有所不同

從表1可以看到，新加坡教材所有數學知識分為兩大模塊：“純數學”和“概率統計”．純數學內容包含代數與函數、數列、向量、復數與解析幾何、微積分，“三角函數”屬于閱讀選學內容，學生自主確定是否學習，所有內容按照代數與函數→數列→向量→復數與解析幾何→微積分→概率統計”順序排列．中國教材中知識按照具體知識點劃分，編排順序為：集合與函數→立體幾何→直線與方程→算法語言→概率統計初步→三角函數→平面向量→進階三角函數→數列→不等式．數與代數內容是基礎，兩種教材均安排該內容在第一章，概率統計相對獨立，在兩種教材中均居于最后學習．

3.2 中國教材必修和必選內容比新加坡教材必修內容知識面寬

從表1和表2內容看，兩國教材數學內容都包括純數學內容：函數、函數圖形及其圖形轉換、數列與級數、向量、三角、微分、積分等．概率統計內容：概率、離散型概率分布、二項分布、泊松分布、連續型概率分布、正態分布、抽樣、估計、假設檢驗、相關和回歸等；各個模塊各自獨立編寫成書．既相互獨立，同時純數學內容又是其他數學模塊知識的基礎，但是中國教材中很多內容在新加坡教材中沒有看到，例如不等式、算法語言、歐氏幾何內容等．

3.3 新加坡教材知識呈現“直線型”模式而中國教材知識是“直線式”和“螺旋式”相結合模式

世界各國教材對同一知識點內容的安排一般分為“直線型”和“螺旋式”兩種．中國中小學數學相同知識點內容的安排一般遵循難度“螺旋式”上升的模式，各個年級陸續安排難度逐步上升的同一模塊內容，但是人教A版教材文科必修+必選內容除了三角內容外，其余的也基本上是“直線式”安排的．新加坡教材中同一模塊知識點的安排一般遵循“直線式”安排，一次性學完，這種安排方式和英國高中數學教材相似．新加坡純數學教材內容主要有：代數與函數→數列→向量→復數→微積分→三角，而概率統計教材內容安排順序是：古典概型→抽樣和檢驗→相關和回歸．每個模塊內容一次性全部學完，這種模式也是西方國家傳統的現在還比較普遍使用的教材編排方式[1]．

3.4 新加坡教材中數學內容比中國教材相同知識點知識堆積程度更加緊湊但難度也更大

中國教材知識面廣而淺而新加坡相同知識內容比中國教材更加深刻，難度也更大．例如新加坡教材概率統計內容中有較多的假設檢驗方面的知識，包括卡方檢驗和t檢驗等難度較大的內容，這是中國教材沒有的．新加坡教材導數內容包含馬克勞林（Maclaurin）級數和微分方程這些中國教材中沒有出現的較為深刻的微積分內容，第三模塊中三節就包含了“二維和三維空間的向量，數量積和矢量積，向量和三維向量幾何”等內容．中國教材五節內容卻只學習了平面向量，這個特點可能是繼承了新加坡原宗主國英國的高中數學內容安排模式特點[2]．

3.5 新加坡教材把復數和點的軌跡結合在一起學習

從表1內容可以看到，新加坡文科學生并不單獨學習點的軌跡內容，而是把點的軌跡結合在復數在復平面內對應點的軌跡中來學習，因為新加坡文科學生根本不要求學習解析幾何內容，而中國教材中卻有專門的兩章內容來學習解析幾何內容，包含直線和圓的方程以及一般軌跡方程的求法，這里面包含軌跡內容．中國教材中對復數的學習雖然單獨學習但是內容較少，將原來舊大綱教材中的解復數方程、復數三角形式、求實數n次方根都刪除了[3]．

3.6 新加坡文科教材不學習歐幾里得幾何內容和解析幾何內容而中國教材繼續繼承了該傳統內容

從表1內容可以看到，新加坡文科學生并不學習歐幾里得幾何內容，這可能源于其英國殖民地時期形成的英國特色的中學數學內容特點．因為歐洲在20世紀60年代發生過“新數運動”，提出“歐幾里得滾蛋”，倡導在中小學數學中剔除平面幾何和立體幾何等傳統的歐幾里得幾何內容．中國在此次新課程改革過程中也弱化了對歐幾里得幾何內容的學習，但是還是保留了最基礎的內容．歐幾里得幾何對工程設計專業的學習還是有很大幫助的，因此完全剔除歐幾里得幾何內容也許不一定是明智的選擇．而且新加坡教材中沒有看到的解析幾何內容，在歐、美國家的高中數學教材中也很少看到．

3.7 兩國教材中信息技術處理數學問題均不是必修內容

從中、新兩國教材看，中國教材對信息技術處理數學問題的內容用“閱讀材料”方式附在相關章節后，而新加坡教材將信息技術處理數學問題的內容用附錄形式附在教材最后．都不是必修內容，但是中國教材的該部分內容比較簡單，而新加坡教材對該內容的闡述和必修內容幾乎沒有兩樣，很是細致入微，有利于學生自學[4]．

3.8 新加坡教材通過學習力學數學來引導學生學習運用數學解決實際問題

從表2中看到，新加坡理科學生可以通過學習物理中的力學來學習數學應用.“數學是自然科學的鑰匙”，物理是最古老、最典型的應用數學解決自然界各類問題的學科之一．新加坡繼承了英國通過學習力學數學培養學生應用數學解決問題能力的一貫方法．實際上，力學數學的學習也引導學生理解了數學的實質，中國20世紀90年代的舊教材很大程度上繼承了前蘇聯學習數學的方法，單純就數學學數學，符號化、形式化程度較高，此次新課程改革后，中國新數學教材中出現了不少應用數學解決實際問題的例子，但是這些內容都是零散而不系統的．新加坡教材在學習力學數學過程中，從函數到微積分到向量到復數等各個知識點，在力學中學習過程中對上述內容的應用，十分廣泛．

3.9 中國教材允許教師靈活配置選修內容的學習順序

中國教材對高中數學內容各知識點允許授課教師在學習過程中根據學生實際和個人體會主動變更學習順序，不同的教師對知識點順序各有特點．部分學校數學教師對必修內容采用1-4-5-2-3的學習順序，還有學校將數學史內容放在高一學習，這樣的靈活安排方式給教師根大的自主權，但是也對教師能力和知識水平提出很高的要求．新加坡教材依據考試大綱編寫，直線型編寫，調整順序的意義不大．也沒有給予教師如此寬泛的權利，教師要根據教材中已經安排好的順序按部就班地教學．

3.10 新加坡教材非常重視概率統計內容的學習

僅僅從內容看，新加坡教材概率統計專門獨立編寫成書，273頁的泱泱巨著，幾乎涵蓋了概率統計的所有基礎知識，而中國所學概率統計無論從概念數量還是與新加坡教材相同內容的學習數量均遠遠少于新加坡教材．或許因為中國教材必修內容中沒有學習積定分而影響了概率統計的學習，因為連續性隨機變量的密度函數以及概率的學習需要定積分知識的基礎．中國教材雖然通過減少學習內容滿足了減輕學生學習負擔的目標，但是，是否又同時失去了知識的完整性和系統性[5]？減少教材知識量是否真的能調動教師備課前的主動性和學生自學及探究精神？

4 啟 示

4.1 新加坡高中數學教材知識堆積緊湊而系統的特點值得學習借鑒

從新加坡教材各個知識點的呈現特點看，新加坡教材更加緊湊而系統，同一知識點聚集了比中國教材更多的相關知識，這樣的安排方式應該有利于學生更加深入理解相關知識點的實質和擴大對該知識點的認知范圍．中國教材總體上看知識的堆積和關聯程度還是相對松散，新加坡繼承了英國這樣的老牌發達國家幾百年積累的數學教育經驗，編寫的教材應該有其獨特的適合中學生學習和持續發展的內在優勢．新加坡數學教材被美國加利福尼亞州中小學全套采用就是該國教材編寫成功的一個佐證．

4.2 中國教材內容應該增加概率統計中假設檢驗內容以及三維向量幾何內容

概率統計和向量、微積分等實用性很強的內容占較大份量是新加坡教材最大的特點，更加體現出學習“有用的數學”的特點．中國大陸在數學新課程標準中曾經一度提出要學生“學習有用的數學”，目標很明確：提高學生應用數學解決問題能力，此次修訂課程標準雖然去掉了這個明確的提法，但是基本思想沒有變，培養學生應用數學能力是現在各個國家課程標準或教學大綱中普遍體現的觀點，這個目標首先要體現在學習內容的變化上．假設檢驗在實際生活和生產中有廣泛的用途，對學生今后繼續深造學習工程技術、經濟管理、社會學研究等均有很好的基礎作用，三維幾何是工程學科、物理等的基礎工具課程，因此這些內容可否按照選修的方式增加到高中教材中值得思考．

4.3 教材編寫應該更加注重吸收大學或研究所數學研究人員參與

知識的系統性和科學性是教材建設的生命，只追求降低難度，缺乏教材全部內容和相關知識點之間的系統性和整體性，表面上減少了知識點，實際上因為知識系統性和關聯性降低，反而增加了教材的難度．中國學生普遍感覺數學比較難學，所謂“學好數理化，走遍天下都不怕”正是中國學生對數學難學的心理寫照，但是在西方國家很少聽學生說數學難學[6]．華人數學家丘成桐認為：中國學生認為數學難學，主要是因為課程（這里包括教材和課程標準在內）問題造成的．教材編者應該包括中小學經驗豐富的一線教師、大學從事數學教育研究的學者，還需要數學家對教材的整體知識系統性、嚴謹性和科學性把關．同時應該延長新教材實驗周期，經過實驗并不斷修訂完善后的教材方可推廣至全國使用，切忌急躁、盲目擴大新教材適用范圍，以免造成負面效果后再走回頭路，當然也不能因噎廢食，裹足不前，造成“行百里者半九十”的遺憾[7]．

4.4 中國教材允許教師靈活配置選修內容的學習順序比新加坡教材更有利于發揮教師的能動性和調動積極性

一線中學教師對各個知識點順序的理解來源于自身對高中數學整體知識結構的不同理解及教學經驗的影響．給教師主動配置知識點順序的權利有利于增強教師的受尊重感和受信任感，提高教師對自身知識水平和教學能力的自信，激發教師教學創造性，從而提高學生對數學知識的學習效率，這種做法值得提倡，但是條件是教師本身具有較為扎實的數學專業素質和掌握基本的教育、教學技能是基礎．新加坡教材相對比較保守，可能受殖民地時期英國傳統教育思想的影響．

[1] 康玥媛，Fritjof Sahlstr?m．芬蘭高中課程改革及高中數學課程標準評介[J]．數學教育學報，2013，22（4）：11-15．

[2] 王奮平．中、英高中數學教材復數內容比較研究[J]．數學教育學報，2011，20（6）：51-55．

[3] 王奮平．中、英高中數學教材比較研究[J]．數學教育學報，2011，20（4）：83-86．

[4] 寧連華，崔黎華，金海月．新加坡高中數學課程標準評介[J]．數學教育學報，2013，22（4）：1-5．

[5] 王奮平．中、英高中教材概率統計內容比較研究[J]．數學通報，2011，（5）：32-36．

[6] 李娜，曹一鳴，Lyn Webb．南非國家高中數學課程與評價標準評介[J]．數學教育學報，2013，22（4）：6-10．

[7] 王奮平，孔凡哲．中、英高中數學教材比較研究[J]．中學數學教學參考，2012，（7）：35-37．

Comparative Studying of Mathematics Textbooks Whole Knowledge Structure of the High School between Singapore and China from the Perspective of Liberal Arts School Textbooks of China and Singapore

WANG Fen-ping1,2
(1. Research Institute of Curriculum and Teaching, Nanjing Normal University, Jiangsu Nanjing 210097, China; 2. Physics and Engineering College of Qiongzhou University, Hainan Sanya 572000, China)

Analysing the mathematics textbooks of the high school of China and Singapore, on the content, knowledge point arrangement, compulsory and elective made, and so on. Singapore textbook contents are designed according to the different knowledge module textbooks: pure mathematics, mechanics and mathematics, probability statistics module, knowledge capacity are smaller than the Chinese textbooks material, but the system is strong, the same knowledge points are more difficult, more fitting with the knowledge structure of students’ cognition, Singapore textbook contents is divided into compulsory part and elective part. It have some enlightenment to Chinese textbooks revising and improving.

high school maths textbooks of Singapore; integer structure; design

G421

：A

：1004–9894（2014）02–0014–05

[責任編校：周學智]

2013–11–10

全國教育科學規劃2010年度中小學數學教育研究專項課題——中小學數學課程核心內容及其教學的研究（GOA107010）；全國教育科學“十二五”規劃2012年度單位資助教育部規劃課題——高中數學教科書整體知識結構國際比較研究（FDB120423）；海南省教育科學“十二五”規劃2011年度課題——黎族地區中學數學教學改革經驗與案例實證研究（QJM112501）

王奮平（1971—），男，甘肅涼州人，教授，南京師范大學在讀博士，主要從事跨國文化數學教育研究．