制定鐵路旅客票價的策略模型與求解算法研究

李樹彬，黨文修，傅白白

（1．山東警察學院治安系，山東 濟南 250014；2．山東建筑大學交通研究所，山東 濟南 250101）

*交通運輸專欄*

制定鐵路旅客票價的策略模型與求解算法研究

李樹彬1，黨文修1，傅白白2

（1．山東警察學院治安系，山東 濟南 250014；2．山東建筑大學交通研究所，山東 濟南 250101）

城市間的多種運輸方式存在著競爭關系，在給定需求下票價價格是各種運輸方式的調節杠桿。本文提出了一個鐵路旅客票價制定的雙層規劃模型。首先建立了一個描述用戶多等級、路徑多阻抗、多標準情況的變分不等式模型，并將其作為雙層規劃模型的下層模型，然后以鐵路運營總收益為上層目標，建立了相應的雙層規劃模型，同時設計了求解此模型的基于混沌－修正投影算法的啟發式求解算法。結果表明，本文提出的票價價格制定機制是合理的，有望為有關部門的定價機制提供理論依據。

旅客票價；雙層規劃；變分不等式；求解算法

高速鐵路推動了我國經濟的發展，也帶動了城際間出行需求的激增，鐵路作為城際間交通的主要出行方式之一，是承載城市間交通的主要載體，也是保證我國經濟快速發展的主要力量。目前，國家大部制改革促使鐵路運營走上市場化，由于現有的定價機制存在一定的盲目性，已經遠遠落后于時代的發展，因此必須研究市場經濟條件下新的鐵路旅客票價制定策略。

市場經濟的主要特點之一就是存在競爭性，就鐵路而言，在長遠距離上存在航空運輸的競爭，而在中短路又存在著公路運輸以及私家車的競爭。在相對較長的一段時間內，各種運輸方式中的基本因素（如舒適度、方便性、旅行時間、安全性等）都不會發生較大的變化，因此相對來說票價對客流需求變化具有較大的影響。

關于票價定價機制的研究，大體上分為城市間運輸方式和城市內運輸方式兩個方面。城市內的研究主要集中在公交票價、軌道交通和擁擠收費等方面，如Ferrari［1］討論了在彈性需求和能力約束的條件下城市交通網絡的收費問題；Friesz等［2］討論了空間價格平衡網絡的城市交通票價設計問題；王敏［3］分析了地鐵票價制定的相關因素；史若燃等［4］研究了在不同市場機制下，多種交通方式的定價問題；蔣金亮等［5］研究了低碳交通下快速公交的票價優化方法等。城市間票價制定問題的主要研究包括公路、航空和鐵路三個方面。黃歡等［6］利用系統動力學研究了公路客運票價制定問題，陳林［7］建立了航空公司實行多級票價的經濟數學模型，朱金福等［8］探討了航空客運艙位控制和超售綜合靜態建模。鐵路方面，四兵鋒［9－10］、陳建華［11－12］、李樹彬［13－14］等分別研究了市場經濟條件下的不同鐵路旅客票價制定的理論模型和算法。但上述研究都把旅客作為一個整體，假設旅客具有相同的需求，并沒有在運輸方式提供的服務上進行細化，比如個人價值觀不同，對時間的偏重程度也不同等。本文將旅客劃分為幾個等級，從而更加客觀地反應現實情況。首先研究多級別的旅客需求，構建了一個新的變分不等式作為下層模型，同時考慮鐵路運營的最大化收益，構建了雙層規劃的上層模型，從而組成了鐵路旅客票價制定的雙層規劃模型。上層模型保證了鐵路運營部門的最大化收益，下層模型考慮到了旅客自身的出行費用最小。

1 城際間多模式用戶選擇的變分不等式模型

城市之間的交通相比于市內交通較為簡單，因為路線是固定的，不存在路徑選擇問題，只有交通方式的選擇。交通網絡如圖1所示，節點表示城市，弧線表示運輸方式，運輸方式一旦選定，路線也就確定了。

考慮到需求會隨費用變動的情況，最終將在各種運輸方式之間達到一種均衡狀態，在這種狀態下，同一等級的旅客選擇任何一種交通方式的最小廣義費用全部相等，并且小于或等于未被選中的交通方式的出行費用。

設交通網絡G＝（N，ξ），N代表節點集合；ξ代表有向路段的集合；P表示OD對集合，因為沒有路徑選擇問題，每個OD對的連接只有不同的路段n；pn表示連接OD對p的第n個路段（即第n種運輸方式）；Rp表示連接每個OD對p的路段總數。

圖1 交通網絡圖Fig.1 Three lines traffic network

將所有旅客劃分為k個等級，每一級用i（i∈k）表示，那么表示pn路段上第i個級別的旅客流量表示OD對p的第i個級別的旅客流量，fp表示OD對p的所有旅客的流量。于是可以得出如下等式：

由于路段pn上每種交通方式所需要的時間基本上是固定的，所以流量與舒適度、安全度有一定的關系，通常這種關系是反函數關系：

其中，bpn表示交通方式pn的安全度舒適度。

本文假定非負參數和表示時間、票價和安全度、舒適度對第i級旅客的權重。權重越大說明對某種因素越重視。

lpn表示交通方式pn在某個OD對p之間的票價，用來表示pn上第i級用戶的廣義費用函數，一般是指數或者冪函數形式，本文設定如下：其中，q，b是待為標定的參數，tn是時間常數。于是，第i級別的旅客在交通方式pn上的廣義出行費與總流量和票價有關。

當我們固定其他交通方式票價時，滿足上述條件的均衡問題可以表示成一個變分不等式：

這里〈…，…〉表示kn維歐幾里德空間里的內積。

命題1上述變分不等式與所提出的均衡條件等價。

上述均衡條件與變分不等式等價，從均衡條件可以看出，對于固定的第i級用戶的pn路段，可得

對（7）式中的OD對p的所有途徑pn求和得到：

（8）式可以簡化為

將（9）對p和i求和，可以得到下式

將其表示成向量形式，即可得（6）。

2 基于鐵路運營收益的雙層規劃模型

變分不等式（6）描述了城市間多等級多標準的運輸條件下，旅客從自身的利益出發，選擇對自身來說出行費用最小的交通方式。因為各種交通方式由于價格的存在，出行費用也隨價格而變動，因此鐵路運營者可以通過改變票價來影響旅客在不同交通方式之間的選擇，但不能決定旅客的最終選擇，當然也期望自己的鐵路經濟效益最大。這就是典型的雙層規劃思想。

在這里，假設n＝1表示鐵路運輸，在某個OD對p之間鐵路運輸的客票價格為lp1，于是整個交通網絡中，鐵路運營的總收益為

其中Lp1表示鐵路運輸在OD對p之間每個旅客的平均客運成本。

在現有的經濟體制下，政府部門由于考慮公益性，對鐵路客票價格有一定的制約作用，那么票價必將有下限和上限：

于是雙層規劃模型的上層模型如下：

3 基于混沌－修正投影算法的啟發式算法

對于上述雙層規劃模型當票價給定時，下層模型為一個變分不等式題，可用修正的投影算法進行求解［15］。鑒于混沌算法［16］的普適性，本文設計了一個基于混沌－修正投影算法優的啟發式算法，其基本步驟如下：

（1）算法初始化。置k＝1，F*通常取一個較小的數。

（2）隨機產生上層規劃的變量lp1的初值，并將這個隨機數變換到該優化問題變量的允許解空間。

（3）將上步的初始值代入到下層規劃，利用修正的投影法求解下層變分不等式，得到最優解。

（4）將求得的值返回到上層規劃，利用混沌優化方法對上層規劃求解得到最優解及相應的最優值Fk。

4 數值算例

彈性需求問題往往可以用增設虛擬路段的方式加以解決［12］，由于雙層規劃模型求解的復雜性，本文采用固定需求的形式，并且只考慮了一個OD對，兩種級別的旅客和兩種交通方式，見圖2（n＝1為鐵路，n＝2為公路）。

圖2 兩級交通網絡圖Fig.2 Two lines traffic network

表1 已知費用數據Table 1 The known cost data

表2 模型參數值Table 2 Model parameter value

表3 模型所得結果Table 3 Model acquired results

上述結果表明，經過本文所提模型和算法的最優求解，合理的票價制定價格是26.96，此時存在兩種交通方式的費用，其一為鐵路運營，其二為公路運營，通過求解雙層規劃模型，兩種運營方式的費用分別為65.54和59.4。費用不同是因為不同級別的旅客對不同屬性的重視程度不同而引起的。從鐵路運營的最大收益來說，此時票價價格既保證了旅客的出行費用最小，同時又滿足了鐵路運營的最大收益。通過模型的求解26.96是雙層規劃模型的平衡點，這表明，在雙層規劃思想的驅動下，兩種運營方式的有條件博弈，最終達到了一個平衡點，即是最優的需求點。

5 結論

本文根據旅客對運輸方式不同屬性的偏好，將旅客劃分為不同的等級，并運用均衡思想，建立了多級別多標準的均衡配流變分不等式模型。由于鐵路運營者期望收益最大，但也只能用票價杠桿來調節需求的分配，不能最終決定旅客的選擇，而旅客同時也期望自己的出行費用最小，這看似矛盾的組合體恰好符合雙層規劃的思想。因此本文中，建立了一個描述上述問題的雙層規劃模型，鑒于模型的求解復雜性，本文設計了基于混沌—修正投影算法的啟發式求解算法，該算法避免了靈敏度分析所帶來的求導困難，結果表明模型和算法是可行的，該模型稍加修改也可應用于其他的交通方式。本文的不足之處是算例偏小，并且沒有將同一種運輸方式進行細致劃分，比如鐵路上的高鐵、動車、快車等，這也是下一步工作的方向。

［1］FERRARIP．Road pricing and network equilibrium［J］．Transportation Research，1995，29（3）：357－372．

［2］FRIESZ T L，HARKER P T．Multicriteria spatial price equilibrium network design：Theory and computational results［J］．Transportation Research B，1983，17（5）：411－426．

［3］王敏．地鐵票價制定相關因素分析［J］．鐵道運輸與經濟，2011，33（9）：6－8．

［4］史若燃，李志純．不同市場機制下多種交通方式定價模型研究［J］．交通運輸系統工程與信息，2010，10（5）：91－97．

［5］蔣金亮，宋瑞，劉杰．低碳交通下快速公交票價優化研究［J］．重慶交通大學學報：自然科學版，2011，30（4）：818－822．

［6］黃歡，蔣陽升，代漉川．基于系統動力學模型的公路客運票價制定［J］．交通科技與經濟，2009（6）：22－25．

［7］陳林．航空公司實行多級票價的經濟數學模型［J］．中國民航大學學報，2007，25（4）：40－43．

［8］朱金福，劉瑋，高強．航空客運艙位控制和超售綜合靜態建模研究［J］．中國管理科學2006，14（5）：68－72．

［9］四兵鋒，高自友．城市間公路客運的客票票價與其客流量之間的靈敏度分析［J］．中國公路學報，2000，13（2）：91－95．

［10］四兵鋒，高自友．合理制定鐵路客票價格的優化模型及算法［J］．管理科學學報，2001，9（1）：45－51．

［11］陳建華，高自友．多模式條件下需求變動時鐵路客票價格制定的優化模型及算法［J］．交通運輸系統工程與信息，2001，1（4）：319－330．

［12］陳建華．鐵路旅客票價優化問題的相關模型及算法［D］．北京：北京交通大學，2007．

［13］李樹彬．鐵路旅客票價制定及其相關問題研究［D］．北京：北京交通大學，2007．

［14］李樹彬，陳峰．城市間多模式交通旅客票價制定的博弈分析［J］．鐵道運輸與經濟，2006，28（3）：8－10．

［15］任華玲，高自友．動態交通分配中一種離散VI模型的算法研究［J］．土木工程學報2004，37（3）：105－108．

［16］滕春賢，李智慧．二層規劃的理論與應用［M］．北京：科學出版社，2002：84－92．

Strategy model and solution algorithm of railway passenger ticket price

LI Shu-bin1，DANG Wen-xiu1，FU Bai-bai2
（1．Department of Public Security，Shandong Police College，Jinan 250014，China；2．Institu te of Traffic，Shandong Jianzhu University，Jinan 250101，China）

Competition exists in multiple intercity transportation means．Ticket price is the adjustment lever for the given requirements．This paper presents a bi-level programming model for railway passenger ticket pricing．We initially construct a variational inequality model that can represent multi-class，multi-path cost and multi-criteria．It serves as the down-level model of the bi-level programming model．We then establish the up-level model of the bi-level programming model with total railway income as an object．We also design a chaos-modified projection algorithm based heuristic algorithm to solve a bi-level programming model．Results show that the proposed ticket pricing mechanism is reasonable．It will provide a better theoretical basis for government railway ticket pricing mechanism．

railway passenger ticket price；bi-level programming；variational inequality；solution algorithm

U293.1

A

1002-4026（2014）01-0073-05

10.3976／j.issn.1002－4026.2014.01.013

2013-03-13

國家自然科學基金（71171124）；山東省超級計算科技專項項目（2011YD01104）；交通運輸部行業聯合科技公關項目（2009-353-337-480）

李樹彬（1977－），男，博士，研究方向為交通運輸系統分系統與集成、智能交通等。