利用曲率分析的三維網格質量評估方法

江亮亮 楊付正

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利用曲率分析的三維網格質量評估方法

江亮亮*楊付正

(西安電子科技大學ISN國家重點實驗室 西安 710071)

由于頂點的曲率能夠很好地反映3維網格的視覺特征，該文提出了一種利用曲率分析的3維網格質量評估方法。該方法首先估算各頂點的曲率，然后在每個頂點的鄰域內構建一個曲率矩陣，并根據原始網格和失真網格對應曲率矩陣的奇異值差異評估頂點位置的失真，最后通過對這些局部失真的加權聯合得到網格的整體失真。實驗結果表明，相比于其他方法，該文提出的方法不但能夠更準確地評估3維網格的質量，而且具有更好的魯棒性。

信息處理；3維網格；質量評估；曲率；奇異值分解

1 引言

隨著3維建模和掃描技術的發展，3維網格模型的獲取日益簡單方便。目前，3維網格模型廣泛應用在視頻游戲、計算機輔助設計、虛擬現實以及文物的修復和保護等領域[1]。然而，3維網格模型的數據量一般都比較大，通常會采用簡化和壓縮等方法減少存儲空間和節約傳輸帶寬[2,3]，在處理過程中，3維網格模型會不可避免地遭受失真[4]。因此，非常有必要建立一種能夠準確評估3維網格失真程度的方法，從而驅動3維網格處理算法的優化，最大限度地減少3維網格的失真。

3維網格質量評估方法可以分為主觀評估方法和客觀評估方法兩大類。主觀評估方法是由觀測者直接評估網格質量，評估的結果最符合人眼的視覺感受，但是實現起來步驟復雜，代價昂貴，實時性差[5]。而客觀評估方法是由計算機自動評估網格質量，無需人工干預，使用方便，實時性好[6]。本文主要研究的是3維網格質量的客觀評估方法。

曲率是衡量曲面不平坦程度的一種幾何特征，它能夠很好地反映3維網格的表面粗糙度，光滑度等視覺特征，相關研究也表明人眼對曲率的變化比較敏感[8]，所以，本文提出一種利用曲率分析的3維網格質量評估方法，該方法以頂點為中心，通過分析各頂點鄰域內的曲率變化情況評估各頂點位置的失真，進而得到網格的整體失真。由于三角形網格是3維網格最主要的表現形式，并且有關3維網格質量評估方面的研究大多是針對三角形網格進行的[6,10,11,15]，因此，本文也主要研究三角形網格的質量評估方法。

2 利用曲率分析的3維網格質量評估方法

3維網格的形狀主要由幾何信息和拓撲信息決定，其中，幾何信息指的是頂點的位置坐標，拓撲信息描述的是頂點之間的連接關系。本文研究的是在保持拓撲信息不變的情況下，幾何信息的變化對3維網格形狀的影響。圖1給出了3維網格模型維納斯(Venus)，該模型的頂點數目為49666，三角形數目為99328，其中圖1(a)是沒有失真的原始網格，圖1(b)是在原始網格上加入噪聲的失真網格，失真網格在拓撲信息上與原始網格保持一致，只是幾何信息發生了變化。從圖1中可以看出，幾何信息的變化導致3維網格各局部位置的形狀遭受失真，進而造成3維網格整體形狀的失真。所以，在評估3維網格質量時，本文首先評估網格各局部位置的失真，然后根據局部失真計算網格的整體失真。

在具體的實現中，本文首先估算各頂點的曲率，然后在每個頂點鄰域內構建一個曲率矩陣，并利用奇異值分解對曲率矩陣進行分析，根據奇異值的變化評估各頂點位置的失真，最后通過這些局部失真的加權聯合得到網格的整體失真，如圖2所示。

圖1 Venus的原始網格與失真網格

圖2 利用曲率分析的3維網格質量評估方法框圖

2.1 頂點曲率的定義及其估算方法

3維曲面的曲率是針對頂點定義的，假設是曲面的任意一個頂點，上每一條經過點的曲線在點都有一個伴隨曲率，在這些曲率中，至少有一個極大值和極小值，這兩個極值曲率稱為點的主曲率，兩個主曲率的平均值就是點的平均曲率。頂點的平均曲率是衡量頂點位置彎曲程度的重要特征，它能夠反映頂點位置的粗糙度、光滑度等視覺特征。如圖3所示，圖3(a)中頂點1的平均曲率遠遠大于圖3(b)中頂點2的平均曲率，1明顯比2要粗糙，這兩個頂點附近的曲面形狀也是截然不同的。如果頂點的平均曲率發生變化，頂點的視覺特征就會隨之改變，人眼能夠很容易察覺出這種失真。所以，本文利用曲率評估3維網格的失真是符合主觀視覺感受的。

對于具有精確解析形式的曲面模型，頂點的平均曲率可以由傳統的微分幾何方法計算得到，而對于離散的曲面形式，如3維網格，只能利用離散點的坐標和離散點之間的拓撲關系進行數值分析，得到平均曲率的近似值。本文采用文獻[16]提出的方法估算各頂點的平均曲率，假設是曲面上的任意一點，在點的任意鄰域內，如圖4所示，點的曲率張量為

圖3頂點的平均曲率與視覺特征

圖4 頂點v及其任意鄰域

圖5 頂點v的1-ring鄰域

2.2 網格局部失真的評估

每個頂點鄰域內的視覺失真都是周圍各頂點的曲率變化共同作用的結果。所以，在評估頂點位置的失真時，需要綜合考慮當前頂點及其周圍頂點的曲率變化。本文的做法是在每個頂點1-ring鄰域內構建一個曲率矩陣，然后根據曲率矩陣的變化評估頂點位置的網格局部失真。假設是網格上任意一點，點與個三角形相連，將這些三角形中每個三角形對應的三個曲率設為曲率矩陣的一行，所以點的曲率矩陣的大小就是×3。式(2)給出了圖5中頂點對應的曲率矩陣：

其中,1,2,3,4,5和6分別代表頂點,1,2,3，4,5和6的平均曲率。

曲率矩陣綜合了當前頂點及其相鄰頂點的曲率，其變化能夠較好地反映當前頂點1-ring鄰域內的視覺失真。為了計算曲率矩陣的變化，利用奇異值分解對曲率矩陣進行分析。曲率矩陣的奇異值分解形式為

其中,分別是階和3階正交矩陣，為對角矩陣，,是矩陣奇異值的個數，= min(,3), 0為零矩陣。矩陣的奇異值集中了矩陣的能量，奇異值的差異可以反映矩陣變化的程度。因此，頂點位置的失真可以計算為

2.3 網格整體失真的評估

網格的整體失真是由局部失真決定的，可以通過聚合局部失真得到。由于各頂點位置的失真對網格整體失真的影響是不同的，在聚合過程中，需要為各頂點位置的失真分配不同的權重。一般來講，頂點的1-ring鄰域面積越大，該頂點位置的失真就越容易察覺，對網格整體失真的影響就越大。所以，本文采用的加權聯合方式為

其中GD是網格的整體失真，S是第個頂點的1-ring鄰域面積，N是網格的頂點數目。

另外，由于GD值反映的是頂點曲率的絕對變化，這會導致在相同的失真程度下，頂點曲率整體較大的網格對應的GD值往往較大。因而，本文對GD值進行如下修正：

3 實驗結果

本文利用LIRIS/EPFL general-purpose數據庫[12]對提出方法的性能進行測試。該數據庫包括4個原始網格(犰狳(Armadillo)，維納斯(Venus)，恐龍(Dinosaur) 和搖臂(Rockerarm)，如圖6所示) 和84個失真網格。這些失真網格是通過對原始網格添加不同程度的噪聲和進行不同程度的光滑生成的。

在實驗中，本文將提出的方法與RMSE, HD, MSDM, MSDM2, FMPD這5種方法進行比較，選用Pearson相關系數(Pearson Correlation Coefficient, PCC)和Spearman秩相關系數(Spearman Rank Correlation Coefficient, SRCC)2個指標作為衡量性能的標準。PCC能夠反映主客觀評分之間的線性相關程度，PCC越接近于1，客觀評估方法的評價性能越好。SRCC能夠反映客觀模型的預測單調性，SRCC越接近于1，客觀評估方法的評價性能越好。考慮到人類視覺的飽和效應，在計算PCC和SRCC之前，通常需要對主客觀評分進行心理學曲線擬合，常用的是高斯心理學曲線[12]：

其中是客觀評分，M是校正后的客觀評分，和是待定參數，可以通過對主客觀評分的非線性最小二乘擬合得到。對于本文提出的方法，參數和的值分別為0.5800和-0.5941。

表1各評估方法的評價性能

評估方法ArmadilloVenusDinosaurRockerarm全部模型 PCCSRCCPCCSRCCPCCSRCCPCCSRCCPCCSRCC RMSE0.3220.6270.7730.9010.0000.0030.0300.0730.0790.268 HD0.3020.6950.0080.0160.2260.3090.0550.1810.0130.138 MSDM0.7000.8480.7230.8760.5680.7300.7500.8980.5640.739 MSDM20.7280.8160.7650.8930.7350.8590.7610.8960.6620.804 FMPD0.8320.7540.8390.8750.8890.8960.8470.8880.8350.819 本文方法0.8970.7940.8890.9050.8910.9140.8860.9290.8710.887

表2各評估方法在不同網格之間PCC和SRCC的標準差

評估方法RMSEHDMSDMMSDM2FMPD本文方法 0.3590.1390.0800.0180.0260.005 0.4360.2890.0750.0370.0670.062

4 結束語

本文提出了一種3維網格質量的客觀評估方法，該方法根據拓撲關系在每個頂點的1-ring鄰域內構建一個曲率矩陣，并引入奇異值分解分析曲率矩陣的變化, 從而評估頂點位置的失真。在將局部失真聚合為整體失真的過程中，本文采用加權聯合的方式，根據頂點的重要性為不同的頂點分配不同的權值。實驗結果表明，相比于其他方法，本文所提方法的評估分值與主觀分值具有更好的一致性。另外，對于不同的3維網格模型，本文所提方法的評估結果還具有較好的魯棒性。

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江亮亮： 男，1988年生，博士生，研究方向為3維模型處理和多媒體通信.

楊付正： 男，1977年生，教授，博士生導師，研究方向為視頻壓縮、視頻質量評估和多媒體通信.

A 3-D Mesh Quality Assessment Metric via Analyzing Curvature

Jiang Liang-liang Yang Fu-zheng

(,,710071,)

In this paper, a novel metric is proposed to evaluate the 3-D mesh quality via analyzing curvature, since the curvature describes well the visual characteristics of a 3-D mesh. Firstly, the curvature at each vertex is estimated, then a curvature matrix is constructed in the neighbourhood of each vertex, and the local distortion at each vertex is measured in terms of the differences between the singular values of the curvature matrix in the original mesh and that of the corresponding matrix in the distorted mesh. Finally, the global distortion is obtained by weighted combination of the local distortions. Experimental results reveal that the proposed metric not only achieves superior performance in prediction accuracy over all the other competing metrics, but also has very good robustness and stability.

Information processing; 3-D mesh; Quality assessment; Curvature; Singular Value Decomposition (SVD)

TP391

A

1009-5896(2014)11-2781-05

10.3724/SP.J.1146.2013.02032

江亮亮 lljiang@stu.xidian.edu.cn

2013-12-26收到，2014-04-18改回

國家自然科學基金(61371089)，中央高?；究蒲袠I務費專項資金(72115612, K5051301020)和高等學校學科創新引智計劃(B08038)資助課題