四維空間內的有限元體繪制轉換函數設計

唐 儀， 黃志剛， 郭鐘寧

(廣東工業大學機電工程學院，廣東 廣州 510006)

四維空間內的有限元體繪制轉換函數設計

唐 儀， 黃志剛， 郭鐘寧

(廣東工業大學機電工程學院，廣東 廣州 510006)

經典的有限元體繪制轉換函數是定義在三維位置空間內的，然而有限元分析中還存在四維空間的數據，為了對該類數據進行顯示，現提出一種面向四維有限元數據的體繪制轉換函數模型。該模型結合有限元數據極大值區高關注度的特點和體繪制技術良好的數據篩選能力，在原有位置空間轉換函數的基礎上擴充第四維，以變換出時序體繪制效果和多標量體繪制效果。該模型的使用可極大的豐富有限元數據的圖形顯示方法。

轉換函數；四維空間；體繪制；有限元數據

經典的有限元數據多采用表面繪制技術實現彩云圖、切片圖和等值面的顯示效果，雖然面繪制能高效的表現某種標量數據在模型表面的分布情況，但它不便于觀察三維實體模型的內部數據分布。相對面繪制而言，體繪制[1]作為直接提取興趣區域內體數據進行顯示的圖形學方法，它可以強調實體內部興趣信息，去除或弱化非興趣信息，以實現實體內部關鍵數據的顯示。

體繪制主要包括體繪制算法與轉換函數兩部分，體繪制算法用以獲取各采樣點數據值，體繪制算法包含體光線投射法[2]、體單元投影法[3]和混合繪制方法，雖然體繪制計算量相當大，但通過三維紋理映射[4]，并行機制[5]或硬件支持的多邊形RGBA填充[6]的圖形硬件加速方法仍可滿足有限元繪制的要求；轉換函數用以將采樣點數據值映射到組成圖像的光學屬性(透明度和顏色)，它設定的好壞對成像質量有著直接的影響。實際中設定一個較理想的轉換函數需要大量嘗試，而轉換函數設定的困難[7-9]影響著體繪制在實際可視化應用中的發展。轉換函數的研究主要集中在自動生成傳遞函數和提供交互界面兩個方向，Correa和Ma[10]提出依據特征空間輔助用戶設計傳遞函數的方法，Tzeng等[11]利用智能系統提取興趣體數據以自動生成轉換方程，該方法操作簡單但生成的轉換函數的類型存在局限性；Jankun-Kelly和Ma[12]用二維表格交互界面對多維可視化參數空間顯示，Tory等[13]基于并行坐標界面表現可視化參數空間，以上研究極大的推動了體繪制的應用。

但以上轉換函數設計的數據對象都在三維位置空間內，而有限元分析中存在著某些四維數據。故本文提出一種應用于四維空間內有限元數據的轉換函數模型，該模型在原本三維空間的基礎上增加第四維，改變第四維的意義即可生成新的體繪制顯示效果，如時序體繪制顯示效果和多標量體繪制顯示效果，時序體繪制效果可將有限元瞬態分析多個時間點的數據同時顯示在單幀圖像內，以觀察某種數據隨時間的分布變化情況；多標量體繪制顯示可將有限元分析中的多種數據標量顯示在單幀圖像內，以快速找出實體內對多種標量的敏感部位。

1 轉換函數模型設計

類比于三維體繪制中的轉換函數的設計方法，四維空間內的數據轉換函數定義如下。

1.1 透明度設計

圖1為空間數據不透明度轉換函數示意圖，考慮到有限元分析中對極大值區域關注較多，將它定義為高通濾波函數，圖2為第四維不透明度轉換函數示意圖。通過以上兩個函數即可確定數據的最終不透明度。

圖1 空間數據不透明度轉換函數

圖2 第四維不透明度轉換函數

空間數據不透明度轉換函數的定義如式(1)：

最終不透明度被定義如式(2)：

其中，v代表模型的任一采樣點數值，vmax代表模型中數據的最大數值，w代表極大值數據區域的寬度，w(i)代表第四維坐標值為i時對應的不透明度值。

1.2 顏色模型設計

將投影到第四維上不同位置的數據用不同的顏色區分，將該顏色定義在 HSV(Hue, Saturation, Value)模型上。為了使第四維上相鄰數據明顯區分，將Hue設計如式(3)：

Saturation和Value模型被定義為式(4)：

其中，n表示共有n(n≥2)個第四維數據點，i代表第i個第四維數據點。

1.3 第四維積分

相對于三維空間的數據積分，四維空間需定義第四維度上的積分，第四維數據積分順序包括從后往前和從前往后兩種。

以遞歸的方式表達從前往后積分方程如式(5)所示[14-15]，該方法假想體光線從第四維坐標的最小值開始向后依序跨越，對于每一個采樣點分別將顏色和不透明度乘以透明度(1–α)，再與已積累的顏色和不透明度相加生成下一采樣點積累顏色和不透明度。采用這種方式當不透明度接近1時可提前結束跨越。

以遞歸的方式表達從后往前積分方程如式(6)所示，從后往前方法是基于通用的畫家算法，因其無法提前結束跨越，故效率較低。

2 轉換函數應用

采用四維空間內定義的轉換函數，通過改變第四維的數據對象意義即可得到新的體繪制顯示效果。若將第四維定義為時間維，即得到時序體繪制效果圖；若將第四維設定為標量順序維，即得到多標量體繪制效果圖。

2.1 時序體繪制方法

有限元法的瞬態動力學分析[16-17]是工程計算最常用的分析方法之一。瞬態動力學分析是用于確定承受任意的隨時間變化載荷的動力學響應的方法，該方法可確定結構在穩態載荷、瞬態載荷和簡諧載荷的隨意組合下的隨時間變化的位移、應變、應力及力。因其是基于時間變化的分析，故有限元瞬態動力學分析常采用動畫對分析結果進行觀察。

動畫顯示符合人們對動態事物的觀察認知習慣，它借助人類的瞬態記憶能力將多個時間點的圖像串聯起來，但動畫顯示要求各圖像時間間隔足夠小，故不利于觀察時間間隔較大的情況。本方法考慮將多個時間點圖像合成單張圖像，靜態對比不同時間點的數據分布情況，以確定時域內應力最大的時間點。以下用一個實例加以說明。

2.1.1 有限元模型描述

以下是有一個方形物體在長條形桌面上移動的接觸分析[18]，圖3為其在0.8 s和1.0 s時的應力分布圖，其最大應力Vmax為19.317 Pa。

圖3 某瞬態分析在兩時間點的應力分布圖

2.1.2 結果與分析

按時序體繪制各圖參數見表1：

表1 時序體繪制各圖參數

圖4～7為按表1參數繪制的時序效果圖。圖中若采用向后的時間積分，則w(1)對應0.8 s時刻的透明度，w(2)對應1.0 s時刻的透明度，據式(6)知0.8 s時刻數據為藍色，1.0 s時刻數據為紅色；若采用向前的時間積分則w(1)對應1.0 s時刻的透明度，w(2)對應0.8 s時刻的透明度，同理可知1.0 s時刻數據為藍色，0.8 s時刻數據為紅色。

圖5相對于圖4將1.0 s時的透明度調小后，可將干涉區域內原本被覆蓋的0.8 s時的數據（紅色）透顯出來；圖6相對于圖4變換的時間積分的順序，圖4先積分0.8 s的數據(紅色)再積分1.0 s數據(藍色)，圖6先積分1.0 s數據(紅色)再積分0.8 s數據(藍色)，由圖4和圖6知干涉區域內后積分的數據會覆蓋先積分的數據。故可通過調節時刻透明度或改變時間積分順序的方法觀察干涉區域內的極大值區域。

圖7在設定參數下，僅顯示出1.0 s時的部分數據(紅色)，表明1.0 s相對于0.8 s需承受更大的應力，同時指明1.0 s時極大值區域的部位。但若采用圖3所示的面繪制方法則需每一張圖對比，并且若想觀察到極大區域需觀察變換角度。在確定出1.0 s為關鍵分析時刻后即可有針對性的進一步分析。

圖4 w為15.454，w(1)為1，w(2)為1向后時間積分所生成的效果圖

圖5 w為15.454，w(1)為1，w(2)為0.1向后時間積分所生成的效果圖

圖6 w為15.454，w(1)為1，w(2)為0.2向前時間積分所生成的效果圖

圖7 w為3.863，w(1)為1，w(2)為1向后時間積分所生成的效果圖

2.2 多標量體繪制方法

有限元分析結果中往往包含多種標量數據，經典的繪制方法一次只能顯示一種數據分布情況，若想觀察其他標量的分布需進行顯示的切換，現提出多標量體繪制方法以實現多種標量數據的單幀顯示，該方法的實現只需將轉換函數模型的第四維設定為標量順序維度。以下用一個實例加以說明。

2.2.1 有限元模型描述

以下模型為扁平封裝器件(quad flat package，QFP)[19]的三維熱傳導分析。圖8為分析后的等效熱梯度分布云圖，熱梯度的數據值范圍為[0.65，6675]，圖9為該分析后的等效熱流量分布云圖，熱流量的數值范圍為[24.5，59308]。現擬在單張圖片上同時顯示出以上兩個標量的分布。

2.2.2 結果與分析

多標量體繪制各圖參數見表2。

表2 多標量體繪制各圖參數

圖10～12為按表2參數繪制的多標量顯示效果圖。將熱梯度標量定為1號標量，將熱流量標量定為2號標量，因均采用向后的標量積分方向，故w(1)為熱梯度的透明度，w(2)為熱流量的透明度，故由式(3)推導得知熱梯度數據為紅色，熱流量數據為藍色。

圖8 QFP的熱梯度分布云圖

圖9 QFP的熱流量分布云圖

圖10的熱流量不透明度為0.0，由式(2)可知圖10僅會顯示出熱梯度標量的極大值區域。同理，圖11僅會顯示出熱流量標量的極大值區域。圖10和圖11實際只是單標量體繪制效果圖。

圖 12才是真正的熱梯度和熱流量雙標量體繪制圖，可認為其是圖10和圖11的疊加。

圖10 QFP的熱梯度單標量體繪制

圖11 QFP的熱流量單標量體繪制

圖12 QFP的熱流量與熱梯度兩標量體繪制顯示效果

圖 12除去表面結構的干擾，直接顯示出整個模型的熱梯度(紅色)和熱流量(藍色)的極大值區域，而圖8與圖9因為表面遮擋的原故無法顯示出相應標量的極大值區域（紅色區域），更無法多標量同時顯示。

3 結 論

本文提出了一種針對四維空間內的有限元數據體繪制的轉換函數模型，該模型將三維有限元數據的顯示擴充到四維，使體繪制顯示擁有更多新的變化，進而衍生出時序體繪制顯示效果和多標量體繪制顯示效果。

該模型的優點在于首先它根據有限元分析中對極大值區域的高關注度，簡化已有空間三維轉換函數模型；同時它在空間三維的基礎增加第四維，在第四維方向上又為有限元體繪制增加了自由度；最后因為設計的轉換函數模型簡單，便于實現良好的交互。

[1] Hansen C D, Johnson C R. Visualization handbook [M]. Waltham, Massachusetts, United States, 2005: 127-174.

[2] Bunyk P, Kaufman A E, Silva C T. Simple, fast, and robust ray casting of irregular grids [C]//Roceedings of the Scientific Visualization Conference, Washington, DC, USA, 1997: 30-36.

[3] Farias R, Mitchell J S B, Silva C T. Zsweep: an efficient and exact projection algorithm for unstructured volume rendering [C]//Proceedings of the 2000 IEEE Symposium on Volume Visualization, New York, NY, USA, 2000: 91-99.

[4] Van Gelder A, Kim K. Direct volume rendering with shading via three-dimensional textures [C]//Proceedings of the 1996 Symposium on Volume Visualization, Piscataway, NJ, USA, 1996: 23-30, 98.

[5] Wilhelms J, Van Gelder A, Tarantino P, Gibbs J. Hierarchical and parallelizable direct volume rendering for irregular and multiple grids [C]//Proceedings of the 7th Conference on Visualization'96, Los Alamitos, CA, USA, 1996: 57-63.

[6] Reed D M, Yagel R, Law A, Shin P W, Shareef N. Hardware assisted volume rendering of unstructured grids by incremental slicing [C]//Proceedings of the 1996 Symposium on Volume Visualization, Piscataway, NJ, USA, 1996: 55-62, 101.

[7] Pfister H, Lorensen B, Bajaj C, Kindlmann G, Schroeder W, Avila L S, Raghu K M, Machiraju R, Lee J. The transfer function bake-off [J]. Computer Graphics and Applications, 2001, 21(3): 16-22.

[8] Tory M, Mller? T. Human factors in visualization research [J]. Visualization and Computer Graphics, 2004, 10(1): 72-84.

[9] Martin S, Shen Hanwei. Interactive transfer function design on large multiresolution volumes [C]//Large Data Analysis and Visualization (LDAV), 2012 IEEE Symposium on, Seattle, WA, USA, 2012: 19-22.

[10] Correa C, Ma K L. Visibility histograms and visibility-driven transfer functions [J]. Visualization and Computer Graphics, 2011, 17(2): 192-204.

[11] Tzeng F Y, Lum E B, Ma K L. An intelligent system approach to higher-dimensional classification of volume data [J]. Visualization and Computer Graphics, 2005, 11(3): 273-284.

[12] Jankun-Kelly T J, Ma K L. Visualization exploration and encapsulation via a spreadsheet-like interface [J]. Visualization and Computer Graphics, 2001, 7(3): 275-287.

[13] Tory M, Potts S, Moller T. A parallel coordinates style interface for exploratory volume visualization [J]. Visualization and Computer Graphics, 2005, 11(1): 71-80.

[14] Levoy M. Display of surfaces from volume data [J]. Computer Graphics and Applications, 1988, 8(3): 29-37.

[15] Porter T, Duff T. Compositing digital images [J]. SIGGRAPH Comput Graph, 1984, 18(3): 253-259.

[16] Wang D, Randolph M F, White D J. A dynamic large deformation finite element method based on mesh regeneration [J]. Computers and Geotechnics, 2013, 54: 192-201.

[17] Fei Zhongxiu, Tong Shuiguang, Wei Chao. Investigation of the dynamic characteristics of a dual rotor system and its start-up simulation based on finite element method [J]. Journal of Zhejiang University-SCIENCE A, 2013, 14(4): 268-280.

[18] 龔曙光, 謝桂蘭. ANSYS操作命令與參數化編程[M].北京: 機械工業出版社, 2004: 441-443.

[19] 包 陳, 王呼佳. ANSYS工程分析進階實例[M]. 北京:中國水利水電出版社, 2009: 373-391.

Transfer Function Design for Volume Rendering of Finite Element Data in 4-dimension Field

Tang Yi, Huang Zhigang, Guo Zhongning
(College of Mechanical and Electrical Engineering, Guangdong University of Technology, Guangzhou Guangdong 510006, China)

Conventional transfer function for volume rendering of finite element data is defined in 3-dimension field, while there are some 4-dimension data. In order to render them, a transfer function model in 4-dimension field is put forward. The model combines the characteristic of finite element data that the maximal data is more significant and the capability for filtering spatial data of volume rendering. It extends the forth dimension to construct time-series volume rendering and multiple volume rendering, so it enhances the flexibility of display for finite element data.

transfer function; 4-dimension field; volume rendering; finite element data

TP 317.4

A

2095-302X(2014)05-0676-06

2014-03-25；定稿日期：2014-05-14

唐 儀(1987–)，男，重慶人，碩士研究生。主要研究方向為科學計算可視化。E-mail：gduttangyi@163.com

黃志剛(1975–)，男，江西高安人，教授，碩士研究生導師。主要研究方向為微觀與多尺度仿真中的數值方法。E-mail：huangzg@gdut.edu.cn