淺議基本幾何體的表面取點

余元

【摘要】學生在學習截交線、相貫線時往往感到很困難，那么其主要的原因是對形體分析和基本體表面取點的投影規律掌握不好，因此，本文通過對基本幾何體的表面取點進行分析，旨在讓學生掌握表面取點的方法及提高制圖實際運用的能力，培養學生的空間想象能力。

【關鍵詞】基本體；表面取點；機械制圖

在中等職業技術教育中，《機械制圖》作為一門專業覆蓋面極為廣泛的重要技術基礎課，其基本要求是讓學生能夠用圖形表達物體的形狀，并由已經畫好的圖樣想象物體的形狀，初步掌握識讀和繪制機械圖樣的能力，培養學生的空間想象力。基本體表面取點不僅形象地反映了形體的各個方位，開拓了學生的思維空間，并且為求截交線和相貫線奠定了堅實的基礎，本文通過對基本體表面取點的分析論述，旨在讓學生正確理解和運用表面取點。

一、點的投影規律

任何物體都是由面（平面和曲面）組成的，而面又是由線或者說由點組成的。因此要分析基本體的表面取點，很有必要首先闡述一下點的投影規律。

點的投影規律是：點的V面投影和H面投影的連線垂直于OX軸，點的V面投影和W面投影的連線垂直于OZ軸；點的H面投影至OX軸的距離等于其W面投影至OZ軸的距離。簡單地說點的投影規律就是“長對正、高平齊、寬相等”的投影規律。視圖中物體表面上的點都滿足點的投影規律。

二、點、線、面的重要性原理

如果空間點A在某面P上，則該點A的投影一定在面P的同面投影上；如果空間點A在線L上，則該點A的投影一定在線L的同面投影上；如果線L在面P上，則線L的投影一定在面P的同面投影上。這就是說點、線、面的重要性原理，我們在作圖和分析時一定要靈活運用它。

三、基本體的表面取點

任何物體都有可以看成是由若干個基本體組合而成的，基本體包括平面體和曲面體兩類。平面體的每個表面都是平面，如棱柱，棱錐；曲面體至少有一個表面是曲面，如圓柱體、圓錐體、圓球和圓環體等。

1、表面取點的方法

表面取點首先要對基本體進行形體分析，明確研究點所處的面是平面還是曲面，是一般位置還是特殊位置面，只有注意了點所處表面的特性，才可以選擇正確而又快捷的方法。

（1） 特殊位置面上的點的取點方法（積聚性法）

如果所求的點處于特殊位置面上，在進行表面取點時，按照點的投影規律，從點的已知投影入手，首先找出該點所處面的具有積聚性的視圖上的對應投影，然后運用“長對正、高平齊、寬相等”求出該點的第三投影。在三個視圖中，如果面處于可見位置，則該面上點的同面投影也是可見的，反之為不可見，在標注時一定要注意點的可見性。

（2）一般位置面的點的取點方法（輔助法）

一般位置面上的點在進行表面找點時往往比較困難，也是同學們感到頭痛的，但只要我們靈活運用下述方法，我想都是可以解決的。

輔助直線法：如果某點在椎體的一般位置面上，可以過頂點和已知點作一條輔助直線，求出該直線在基本體表面的投影，并利用點線面重屬性原理，即可求出該點其余投影。

輔助圓法：如果某點在旋轉體的一般位置表面，可以過該點作一個垂直于旋轉軸的緯圓，求出該緯圓的基本體表面上的投影，并利用點線面重屬性原理，即可求出該點其余投影。

2、表面取點的應用

（1）平面立體表面取點

下面我們以棱錐為例分析平面表面之點。

圖1所示，已知棱錐面△SAC上點M的V面投影（m′）（不可見），求作m和m′′的作圖過程。由分析可知點M所在棱面△SAC為側垂面，屬于特殊位置平面，該面在W面的投影具有積聚性，故首先運用“高平齊”作出點M的側面投影m′′，再運用“長對正，寬相等”作出點M的水平投影m。如圖2所示，已知三棱錐面上的點M的V面投影m′（可見），求作另外兩面投影的作圖過程。由分析可知點M所在表面△ABC為一般位置平面，故要用輔助線法作圖。過錐頂S和點M作輔助直線SD，具體作圖步驟：連接s′m′，并延長a′b′于d′，得輔助線SD的V投影s′d′，再利用“長對正”求出SD的H面投影sd上，由點線面的重屬性原理可知水平投影m必在sd上，因此利用“長對正”可求得點M在H面的水平投影m。點M的W面投影m′′，則利用“寬相等，高平齊”作s′′d′′求得，也可利用“寬相等，高平齊”由m′和m直接求出。

（2） 曲面立體表面取點

下面以圓錐為例來分析曲面表面之點。

圖3

如圖3所示，已知圓錐面上一點M的V面投影m′，求作點M的H面投影m和W面投影m′′。由分析可知點M在一般位置平面上，要運用輔助線法作圖。具體作圖過程：過m作圓錐軸線的垂直線，交圓錐左右輪廓線于ab，得輔助緯圓的V面投影。再作輔助緯圓的H面的水平投影（以s為圓心，a′b′為直徑畫圓）。運用“長對正”由m′求得m，再運用“寬相等，高平齊”求點M在W面的投影m′′（不可見）

3、關于表面取點的幾點說明

立體表面取點的關鍵在于運用形體分析，明確研究點的位置。

因此表面取點過程如下：

（1） 分析三視圖，確定立體形狀

（2） 確定點所在的面或線

（3） 根據點所在面或線的特點，確定其求法

①點所在面的某一投影具有積聚性，直接利用投影關系求另外兩投影。

②點所在面的所有投影都無積聚性，用輔助線或面求其另兩投影。

③點在某一線（素線或軸線上），直接求其另兩投影。

四、表面取點的運用

表面取點的實際運用很多，在求立體被平面所截形成的截交線，兩回轉體表面的交線，補視圖中的漏線以及畫三視圖等中都充分應用到，在此以求解兩回轉體表面的相貫線為例進行分析表面取點的運用。

兩回轉體表面的相貫線一般是一條封閉的空間曲線，因此相貫線上的點具有一般性（僅有少數點位于特殊位置），兩回轉體表面的相貫線是兩立體表面的公共線，因此在求相貫線時要充分分析兩立體的形狀，對采用什么樣的輔助平面法很重要。

現舉例來分析表面取點的運用。作出圓柱和圓臺相貫線的投影，如圖4所示

投影分析：兩立體為圓柱和圓臺，軸線垂直正交，其相貫線為封閉的空間曲線，但前后對稱，在左視圖上的相貫線具有積聚性，其投影為一個圓和圓柱在左視圖的投影重合。為了求出相貫線的正面投影和水平投影，要采用輔助面法進行求解并且輔助平面選擇水平面。

作圖：1、由于圓柱和圓臺前后對稱面處的轉向輪廓相交的點為特殊點，首先求出點1′、5′，并運用前面特殊點的求解方法做出水平投影1、5。

2、由于圓柱軸線水平面上的相貫線上的點為相貫線的最前點或最后點，因此過圓柱軸線做輔助水平面，截面與圓臺交線的水平投影為圓，該圓與圓柱外形線的交點3、7為相貫線上的點，因此可以求出正面上的投影3′（7′），因為前后對稱，故圖4只標出了可見點的名稱（下同）。

3、再作輔助水平面，與兩回轉體的截交線分別為圓和直線，但在左視圖上具有積聚性，為平行于底邊的線。找出輔助平面在左視圖上與兩者相貫線的投影圓相交兩點2′′和8′′，并運用輔助圓法和點投影知識做出相貫線在水平面的投影點2、8，同時應用投影知識求出正面上投影2′（8′）。

4、采用相同的作輔助水平面的方法，可求出圖4中相貫線在左視圖上的點4′′和6′′，再求出水平投影4、6在正面投影4′（6′）。根據需要還可以多作出一些點的投影，然后按照順序連接各點同面投影就完成相貫線的投影。

綜上所述，立體表面取點關鍵在于確定研究點的空間位置，知道其所處面的特性，然后用正確的找點方法同時運用形體分析進行求點。正確理解和運用基本體表面取點在制圖中的藝術，不僅讓學生鞏固制圖的基本理論知識，為學習截交線和相貫線打下了堅實的基礎，而且讓學生嘗到了制圖的樂趣，培養了學生的空間想象能力，為最終學好制圖鋪平了道路。

參考文獻：

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