非線性微分方程的動力學特性研究

馮建霞

摘 要：本文對幾類非線性系統的非線性動力學特性進行了深入研究，對系統發生霍普夫分岔的參數條件進行了詳細的分析，給出了系統產生霍普夫分岔的參數范圍，隨后應用中心流行定理對系統進行降維約化，得到了系統平衡點的穩定性。最后，對一類食餌-捕食者系統的非線性動力學特性進行了詳細分析和研究。

關鍵詞：非線性動力學 微分方程 霍普夫分岔 中心流形

0.引言

隨著科學的發展和進步，在自然科學與社會科學的研究領域內出現了很多新的具有挑戰性的數學問題，其中動力系統解的性態分析是近年來研究的熱點之一。對非線性動力系統的研究和發展已有一個多世紀， 20世紀70年代至今，非線性動力學的分岔理論及混沌現象的研究成為了非線性微分方程新的研究熱點。

如今，幾乎每個學科領域都出現了動力系統現象，從化學中的振蕩Belousov-Zhabotinsky反應到電子工程中的蔡氏電路，從天體力學中的復雜運動到生態學中的分岔。尤其在生物數學領域，動力系統被廣泛的用來研究系統的穩定性及分岔。劉翠桃對具有密度制約情況下的HollingⅣ類功能反應的系統，徐勝林和肖東梅對一類擴展的捕食者-食餌系統進行了討論，討論了系統的平衡點的性態，并證明了極限環的存在性與唯一性及其全局穩定性。Canan Celik研究了對比率依賴性，系統地分析了時滯對模型穩定性的影響，選取時滯作為參數，利用分岔定理得出Hopf分岔，得到了系統周期解的穩定性，并進行了數值模擬。

本文通過對幾類不同非線性系統的非線性現象進行研究，特別是幾類系統霍普夫分岔進行詳細分析，應用中心流形定理對部分系統進行了降維處理，部分系統應用形式級數法對細焦點進行分析。

1.二維非線性系統的霍普夫分岔分析

對式（1.1）所示的二維非線性系統，當

f（x，μ）=ax-y+bx（x2+y2）+cx（x+y2）sinπx2+y3

x+ay+by（x2+y2）+cy（x2+y2）2sinπx2+y2

（1.1）

時的情況，進行定性與分岔分析.

此時，n=2，m=3，X=x

y，μ=a

b

c.顯然， O（0，0）為系統的奇點.

為了對參數變化時平衡點處的情況進行分析，做極坐標變換x=rcocθ

y=rsinθ，對時間t求導，

dxdt=drdtcosθ-rdθdtsinθ=arcosθ-rsinθ+br3cosθ+cr5cosθsinπr

（1.2）

dydt=drdtsinθ+rdθdtcosθ=rcosθ+arsinθ+br3sinθ+cr5sinθsinπr

（1.3）

分別進行（1.2）×cosθ+（1.3）×sinθ，（1.2）×（-sinθ）+（1.3）×cosθ可以得到

drdt=ar+br3+cr5sinπr，

dθdt=1.

（1.4）

對參數c分兩種情況進行討論.

（1） 當c=0時，

若a=0，b=0，有drdt=0，此時平衡點O（0，0）為系統的中心，系統零解穩定但不漸近穩定；

若a=0，b≠0，有drdt=br3，

當b>0，有drdt>0，平衡點O（0，0）為不穩定細焦點，系統零解不穩定；

當b<0，有drdt<0，平衡點O（0，0）為穩定細焦點，系統零解穩定.

若a≠0，b=0，有drdt=ar，

當a>0，有drdt>0，平衡點O（0，0）為不穩定焦點，系統零解不穩定；

當a<0，有drdt<0，平衡點O（0，0）為穩定焦點，系統零解穩定.

若a>0，b>0，有drdt>0，此時drdt>0，系統零解不穩定；

若a>0，b<0，此時系統有閉軌r=r0=-ab，又

當r>r0時，drrt<0，t→+∞時，系統的軌線趨向于r=r0；

當0

因此，系統有唯一的閉軌，即極限環，且極限環穩定.

若a<0，b<0，有drdt<0，所有的解都趨于平衡點O（0，0），平衡點O（0，0）為穩定焦點，系統零解穩定；

若a<0，b>0，此時系統有閉軌r=r0=-ab，

當r>r0時，drdt>0，t→+∞時，r→+∞；

當0

因此，系統有唯一的閉軌，即極限環，且極限環不穩定.

圖1給出了c=0時的雙參數分岔圖.

（2） 當c≠0時，

若a=0，b=0，有drdt=cr5sinπr，當r=1n，（n=1，2，3，…），drdt=0，有一系列的閉軌出現；

若a=0，b≠0，有drdt=br3+o（r3），當b>0時，平衡點為不穩定細焦點，零解不穩定；當b<0時，平衡點為穩定的細焦點，零解穩定；

若a≠0，b=0，有drdt=ar+o（r），當a>0時，平衡點為不穩定焦點，零解不穩定；當a<0時，平衡點為穩定的焦點，零解穩定.

-z+x2+y2-2xyz，

（2.1）

時的情況，進行定性與分岔分析.

此時，n=3，m=2，X=x

y

z，μ=λ

a.分離非線性項，系統變為

dXdt=λ-1-10

1λ-10

00-1X+f1

f2

f3，

（2.2）

其中，f1=-axz，f2=-ayz，f3=x2+y2-2xyz為非線性項.

顯然，非線性項滿足定理的條件，則對于雙曲奇點非線性系統與線性系統奇點類型相同.且O（0，0，0）為系統的平衡點，對于線性化系統矩陣為

A=λ-1-10

1λ-10

00-1，

且A的特征值λ1=-1.λ2，3=λ-1±i.當λ<1時，特征值實部都小于零，平衡點為穩定的焦點；當λ>1時，存在特征值實部大于零，平衡點為鞍點，不穩定.則非線性系統的平衡點O（0，0，0）也分別為穩定的焦點和不穩定的鞍點.

當λ=1時顯然滿足中心流形存在條件，故設存在中心流形

z=h（x，y）=h20x2+h11xy+h02y2+O（r3）

（2.3）

其中r=x2+y2.

將（2.3）代入hx·dxdt+hy·dydt=-hx2+y2-2xyh，有

（2h20x+h11y）（-y+ah20x3+ah11x2+ah02xy2）

+（h11x+2h02y）（x-ah20x2y-ah11xy2-ah02y3）+O（r5）

=-h20x2-h11xy-h02y2+x2+y2-2xy（h20x2+h11xy+h02y2）.

比較x2、y2及xy的系數，得到h11=-h20+1

-h11=-h02+1

-2h20+2h02=h11，解得h02=h20=1，h11=0.故有中心流形z=h（x，y）=x2+y2+O（r3），將其代入系統（2.1）的第一、二式，有

dxdt=-y-ax（x2+y2）-aO（r4），

dydt=x-ay（x2+y2）-aO（r4），

（2.4）

由于系統（2.1）與系統（2.4）的零解穩定性相同，故對（2.4）的零解進行穩定性分析即可.

在零點處的線性化矩陣=0 -1

1 0，特征值為λ=±i.

當a=0時，平衡點O（0，0）為中心，（2.4）零解為穩定但非漸近穩定的.

當a≠0時，取Liapunov函數V（x，y）=12（x2+y2），顯然V（x，y）是正定函數，沿系統（2.4）的解求全導數得到

dVdt=x（-y-ax（x2+y2））+y（x-ay（x2+y2））=-a（x2+y2）2.

故根據Liapunov穩定性判定定理，可以知道，當a>0時dVdt<0，零解漸近穩定，O（0，0）為穩定的細焦點；當a<0時dVdt>0，零解不穩定，O（0，0）為不穩定的細焦點.

故對于系統（2.1）的平衡點O（0，0，0），在λ=0時，當a=0時為中心，零解為穩定但非漸近穩定的.由定理知，在原點鄰域內的某一曲面上全是閉軌. 當a>0時，零解漸近穩定，O（0，0）為穩定的細焦點，當a<0時，零解不穩定，O（0，0）為不穩定的細焦點.由定理知，λ在小范圍內變化時，存在極限環.

3.食餌-捕食者系統的零解穩定性及霍普夫分岔分析

這一部分將對一類正平衡點平移到原點后的兩種群非線性食餌-捕食者系統的零解穩定性及霍普夫分岔情況進行討論.平移后，系統有

f（X，μ）=-y+λx+αxy1+x+y

x+λy+y2+αxy1+x+y，

（3.1）

此時，n=2，m=2，X=x

y，μ=λ

α.分離非線性項，系統變為

dXdt=λ -1

1 λX+f1

f2，

（3.2）

其中，f1=αxy1+x+y，f2=y2+αxy1+x+y為非線性項.

顯然，非線性項滿足定理的條件，則對于雙曲奇點非線性系統與線性系統奇點類型相同.O（0，0）為系統的平衡點.

對系統（3.1）的線性化系統進行分析，則A=λ -1

1-λ，得到A的特征值λ1，2=λ±i.當λ<0時，特征值實部都小于零，平衡點為穩定的焦點；當λ>0時，特征值實部都大于零，平衡點為不穩定焦點；

當λ=0時，做變換dτ=dt1+x+y，則系統變為

dxdτ=（-y）（1+x+y）+αxy=-y-y2+（α-1）xy，

dydτ=（x+y2）（1+x+y）+αxy=x+x2+y2

+（a+1）xy+xy2+y3.

（3.3）

用形式級數法對O（0，0）進行判斷.令

F（x，y）=x2+y2+F3（x，y）+F4（x，y）+…，

沿系統（3.1）的解求全導數得到

dFdt=（2x+F3x+F4x+…）[-y-y2+（α-1）xy]+（2y+F3y+F4y+…）[x+x2+y2+（α+1）xy+xy2+y3]

令dFdt=0，對三次項進行考察，有

-yFx+xF3y=-2y3-2αxy2-2αx2y，

（3.4）

進行極坐標變換，令F3（x，y）=r3Φ3（θ），對θ進行求導，

r3dΦ3（θ）dθ=F3θ=-rsinθF3x+rcosθF3y=-yF3x+xF3y，

（3.5）

由（3.4）和（3.5）式可以知道dΦ3（θ）dθ=-2sin3θ-2αcosθsin2θ-2αcos2θsinθ，積分有

Φ3（θ）=-23αsin3θ+23（α-1）cos3θ+2cosθ，

變回直角坐標系，故有

F3（x，y）=-23αy3+23（α-1）x3+2x（x2+y2）=-23αy3+2xy2+23（α+2）x3.

（3.6）

對四次項進行考察，有

-yF3x+xF4y

=F3x[y2-（α-1）xy]-F3y[x2+y2+（α+1）xy]-2y（xy2+y3）

2αy4+（2α2-4）xy3-2αx2y2-2α（α+1）x3y.

（3.7）

進行極坐標變換可以得到

dΦ4（θ）dθ

=4αsin4θ-2αsin2θ+（2α2-4）sin3θcosθ-2α（α+1）sinθcos3θ，

=α（cos22θ-cos2θ）+（2α2-4）sin3θcosθ-2α（α+1）sinθcos3θ，

=α1-cos4θ2-αcos2θ+（2α2-4）sin3θcosθ-2α（α+1）sinθcos3θ，

=12α+ψ*（θ）.

（3.8）

其中，ψ*（θ）以2π為周期，且∫2π0ψ*（θ）dθ=0.記ψ（θ）=12α+ψ*（θ）..

由于12α≠0，則（3.8）不存在以2π為周期的解.令

d（θ）dθ=ψ（θ）-12α，

（3.9）

則（3.9）不存在以2π為周期的解.故

f4（x，y）=r4（θ），

（3.10）

為4次齊次多項式，且

r4（θ）θ=r4ψ（θ）-12αr4，

（3.11）

將（3.11）式返回直角坐標系，得到

-yf4x+xf4y

=2αy4+（2α2-4）xy3-2αx2y2-2α（α+1）x3y-12α（x2+y2）2.

（3.12）

取

F*（x，y）=x2+y2+F3（x，y）+f4（x，y），

（3.13）

則有，

dF*dt=12α（x2+y2）2+o（r4），

（3.14）

所以，由（3.14）知，O（0，0）在的鄰域內找到了一正定函數F*（x，y），系統（3.4）對t的導數為（3.14）.

故，由Liapunov穩定性定理知，當λ=0時，若α>0時，零解不穩定，O為一階不穩定細焦點；當α<0時，零解漸近穩定，O為一階穩定細焦點.

由定理知，在α>0（α<0）時，對充分小的λ<0（λ>0），在O（0，0）的鄰域內有漸近穩定的極限環.

由于原系統正平衡點的穩定性與平移后原點的穩定性相同，故當λ<0時，平衡點是穩定的，故當兩種群數量在平衡點附近時，兩個種群的數量都將趨于這一點.又在α>0時，對充分小的λ<0，在平衡點的鄰域內有漸近穩定的極限環，則此時兩種群的數量可能會產生周期性的變化.

4.結論

本文對幾類非線性系統的非線性動力學特性進行了深入研究，對兩類二維和三維系統發生霍普夫分岔的參數條件進行了詳細的分析，應用中心流行定理對系統進行降維約化，給出了系統產生霍普夫分岔的參數范圍。隨后對食餌-捕食者系統進行分析，得到了系統平衡點的穩定性。

參考文獻：

[1]馬知恩，周義倉.常微分方程定性與穩定性方法.科學出版社，2001.

[2]徐勝林，肖冬梅.一類捕食與被捕食系統的定性分析.華中師范大學學報（自然科學版），1999，33（1）：1-10.

[3]程榮福，蔡淑云.一類具功能反應的食餌—捕食者兩種群模型的定性分析.生物數學學報，2002，17（4）：406-410.

[4]劉翠桃.捕食者與被捕食者問題的定性分析.河南科學.2009，27（9）： 1044-1046.

[5]Canan Celik.The stability and Hopf bifureation for a predator-prey system with time delay[J] .Chaos. Solitions and Fractals，2008（37）：87-99.