廣義嚴格對角占優陣的新判定條件

崔麗娜

摘 要：闡述了廣義嚴格對角占優陣的基本內涵，根據-鏈對角占優陣的特點，采用不等式縮放方法探求正對角因子的方法，給出了一組新的廣義嚴格對角占優陣的判定條件，并利用實際算例驗證了新方法的有效性。

關鍵詞：對角占優陣 非零元素鏈 正對角矩陣 新判定條件

1.知識準備

令A=（aij）∈Cn×n，N={1，2，…，n}=N1∪N2，N1∩N2=，∧i（A）=∑j∈Nj≠i|aij|。如果|aij|>∧i（A）（i∈N），則A為嚴格對角占優陣，記為A∈D。如果有正對角矩陣X可AX使為嚴格對角占優陣，則A為廣義嚴格對角占優陣， 記為A∈D*。如果有α∈[0，1]，可使|aii>∧αi（A）S1-αi（A），i∈N，則A為嚴格α-鏈對角占優陣，記為A∈D*α。

廣義嚴格對角占優陣在數學物理、計算數學等領域中得到了廣泛的應用，然而其判定方法卻十分困難。

2.判定方法

定理一：令A=（aij）∈Cn×n，當有N1∩N2=N，使得

|aii|>∑k≠ik∈N1|aik|+∑k∈N2|aik|·∧k（A）|akk|，i∈N1；

（|aii|-∑k≠ik∈N1|aik|）（∧j（A）-∑k≠jk∈N2|aij|∧k（A）|akk|>∑k∈N1|ajk|·∑k∈N2|aik|·∧k（A）|akk|，i∈N1

則可以判定A為廣義嚴格對角占優矩陣。

證明：令mi=∑k∈N2|aik|·∧k（A）|akk||aii|-∑k≠ik∈N1|aik|，i∈N1

mj=∧j（A）-∑k≠jk∈N2|ajk|·∧k（A）|akk|∑k∈N1|ajk|，j∈N2當∑k∈N2|ajk|=0時，則mj=+∞，由題可知0≤mj

因此存在d>0使得 0≤maxi∈N1m1

令正對角矩陣X=diag（xi|xi=d，i∈N1；xi=∧i（A）|aii|，i∈N2），又令B=AX=（bij），則當i∈N1時，

|bii|-∧i（B）=d（|aii|-∑k≠ik∈N1|aik|）-∑k∈N2|aik|·∧k（A）|akk|>0即|bii|>∧i（B），

即|bii|>∧i（B）。

當j∈N2時，|bii|-∧i（B）=∧j（A）-∑k≠jk∈N2|ajk|∧k（A）|akk|-d∑k∈N1|ajk|>0

即|bjj|>∧j（B）。

因此可判定B為嚴格對角占優矩陣，而X為正對角矩陣，則A為廣義嚴格對角占優矩陣。

定理二：令A=（aij）∈Cn×n，當有N1∩N2=N，使得

∧i（A）>∑k≠ik∈N1|aik|∧k（A）|akk|+∑k∈N2|aik|·∧k（A）|akk|，i∈N1；

（∧i（A）-∑k≠ik∈N2|aik|∧k（A）|akk|）（∧j（A）-∑k≠jk∈N2|ajk|∧k（A）|akk|）>∑k∈N1|ajk|·∧k（A）|akk|·∑k∈N2|aik|·∧k（A）|akk|，i∈N1，j∈N2

則可以判定A為廣義嚴格對角占優矩陣。

證明：令 mi=∑k∈N2|aik|·∧k（A）|akk|∧i（A）-∑k≠ik∈N2|aik|∧k（A）|akk|，i∈N1

mj=∧j（A）-∑k≠jk∈N2|ajk|·∧k（A）|akk|∑k∈N1|ajk|∧k（A）|akk，j∈N2

當∑k∈N1|ajk|=0時，則mj=+∞，由題可知0≤mi

因此存在d>0使得 0≤maxi∈N1mi

令正對角矩陣X=diag（xi|xi=d，i∈N1；xi=∧i（A）|aii|，i∈N2），又令B=AX=（bij），則當i∈N1時，

|bii|-∧i（B）=d（∧i（A）-∑k≠ik∈N2|aik|∧k（A）|akk|）-∑k∈N2|aik|∧k（A）|akk|>0，

即|bii|∧i（B）。

當j∈N2時，|bjj|-∧j（B）=∧j（A）-∑k≠jk∈N2|ajk|·∧k（A）|akk|-d∑k∈N1|ajk|>0

即|ajj|>∧j（A）。

因此可判定B為嚴格對角占優矩陣，而X為正對角矩陣，則A為廣義嚴格對角占優矩陣。

定理三：令A=（aij）∈Cn×n，當有N1∩N2=N，使得

|aii|>∑k≠ik∈N1|aik|+∑k∈N2|aik|·∧k（A）|akk|，i∈N1；

（|aii|-∑k≠ik∈N1|aik|）（（∧j（A）-∑k≠jk∈N2|ajk|∧k（A）|akk|）≥∑k∈N1|ajk|·∑k∈N2|aik|·∧k（A）|akk|，i∈N1，j∈N2，且有：

I（A）={i∈N1，j∈N2|（|aii|-∑k≠ik∈N1|aik|）（∧j（A）-∑k≠ik∈N2|ajk|∧k（A）|akk|=∑k∈N1|ajk|·∑k∈N2|aik|·∧k（A）|akk|}≠

同時對于i∈I（A），有非零元素鏈air1，ar1r2，…，ar1j使得j∈（N_I（A））≠，則可以判定A為廣義嚴格對角占優矩陣。

證明：令 mi=∑k∈N2|aik|·∧k（A）|akk||aii|-∑k≠ik∈N2|aik|，i∈N1

mi=∧j（A）-∑k≠ik∈N2|ajk|·∧k（A）|akk|∑k∈N1|ajk|，j∈N2

當∑k∈N1|aik|=0時，則mi=+∞，由題可知0≤mi

取maxi∈N1mi=d=minj∈N2mj

令正對角矩陣X=diag（xi|xi=d，i∈Ni；xi=∧i（A）|aii|，i∈N2），又令B=AX=（bij），則當i∈（N1∩I（A））時，d=mi，則有