二階橢圓最優控制問題數值解的抽象誤差估計式

羅賢兵

摘 要：本文利用變分離散技巧對二階橢圓最優控制問題的數值近似得出了抽象誤差估計，該抽象誤差估計將最優控制（狀態、協態、控制變量）的誤差估計轉化為二階橢圓邊值問題數值近似的誤差估計。最后給出了一個數值例子，分別用協調有限元法，非協調有限元法，混合有限元法來求解這個數值例子。

關鍵詞：橢圓最優控制問題 變分離散 誤差估計

1.引言

在企業及管理中， 會遇到一些最優控制問題， 而求出其準確解幾乎不可能， 因此數值近似是最優控制問題得以應用的關鍵. 本文考慮如下的最優控制問題：

minu∈Uad12‖y-yd‖2L2（Ω）+v2‖u‖2L2（Ω）

-Δy=u+f，在Ω里

y=0，在Ω的邊界Γ上，

（1）

其中Ω∈R2為有界凸多角形區域，Uad={u∈L2（Ω）：在Ω上幾乎處處a≤u（x）≤b，a

-Δy=u+f，在Ω里，y=0，在Γ上，

-Δpy-yd，在Ω里，p=0，在Γ上，

（vu+p，v-u）≥0，任意v∈Uad.

（2）

設V為一Hilbert空間，定義解算子S：u+f∈L2→y∈及對偶解算子S*：y-yd∈L2→p∈V，則（2）可寫成：求（u，y，p）∈Uad×V×V， 使得

y=S（u+f）

p=S*（y-yd）

（vu+S*（y-yd），v-u）≥0，任意v∈Uad

（3）

設Vh為一有限維空間，定義解算子Sh：uh+f∈L2→y∈Vh及對偶解算子S*h：yh-yd∈L2→ph∈Vh， 則（3）可以用如下問題來近似. 求（uh，yh，ph）∈Uad×Vh×Vh， 使得

yh=Sh（uh+f）

ph=S*h（yh-yd）

（vuh+S*h（yh-yd），v-uh）≥0，任意v∈Uad

（4）

2.抽象誤差估計

以下將得出誤差估計， 為簡潔，將‖·‖L2（Ω）簡記為‖·‖， 將‖·‖L∞（Ω）簡記為‖·‖∞. 關于準確解（u，y，p）及近似解（uh，yh，ph）有以下結論.

定理1 設S，S*，Sh，S*h為前述定義的線性有界算子， f，yd∈L2（Ω）為已知， 則存在與h無關的正常數C（不同的地方取值相同）使得

‖u-uh‖≤Cv{‖（S-Sh）（u+f）‖+‖（S*-S*h）（u+f）‖+‖（S*-S*h）（yd）‖+‖（S*-S-h）（Sh-S）（u+f）‖

（5）

‖y-yh‖≤‖（S-Sh）（u+f）‖+‖（Sh-S）（u-uh）‖+C‖u-uh‖

（6）

‖p-ph‖≤‖（S*-S*h）（y-yd）‖+‖（S*h-S*）（y-yh）‖+C‖y-yh‖

（7）

證明： 在（3）的變分不等式中取v=uh， 在（4）的變分不等式中取v=u得

（vu+S*（S（u+f）-yd），uh-u）≥0

（vub+S*h（Sh（uh+f）-yd），u-uh）≥0

上兩式相加， 并注意到（u-uh，u-uh）=‖u-uh‖2可得

v‖u-un‖2+‖Sh（uh-u）‖2≤（（S*S-S*hSh）（u+f），uh-u）+（（S*h-S*）（yd），uh-u）

對于上述不等式右端的第一項有

（（S*S-S*hSh）（u+f），uh-u）=（（S-Sh）（u+f），S（uh-u））+（（S*-S*h）（S（u+f）），uh-u）+（（S*-S*h）（Sh-S）（u+f），uh-u）

將此式代入上式利用Cauchy不等式可得（5）式. 由于

y-yh=（S-Sh）（u+f）+（Sh-S）（u-uh）+S（u-uh）

利用三角不等式和算子S的有界性便可得到（6）式. 類似可得

p-ph=（S*S*h）（y-yd）+（S*h-S*）（y-yh）+S*（y-yh）

利用三角不等式和算子S*的有界性便可得到（7）式. 證畢

注： （1）算子（S-Sh）（f）表示某種數值方法的誤差， ‖（S-Sh）（f）表示某種數值方法的L2（Ω）誤差.

（2）若Vh為線性協調有限元空間（見[2]）， 則‖（S-Sh）（f）‖=O（h2），‖（S*-S*h）（f）‖=O（h2）， 根據定理1可得‖u-uh）‖=O（h2），‖y-yh‖=O（h2），‖y-yh‖=O（h2）.

（3）若Vh為線性非協調協調有限元空間， 則‖（S-Sh）（f）‖=O（h2），‖（S*-S*h）（f）‖=O（h2），根據定理1可得‖u-uh‖=O（h2），‖y-yh）‖=O（h2），‖y-yh‖=O（h2）.

（4） 若Vh取為最低階Raviart-Thomas混合有限元空間，則‖（S-Sh）（f）‖=O（h），‖（S*-S*h（f）‖=O（h），根據定理1可得‖u-uh‖O（h），‖y-yh‖=O（h），‖y-yh‖=O（h）.

3.數值例子

從文獻[3]選取一個數值例子， 取f（x）=0，Ω={（x1，x2）|0≤x1≤1，0≤x2≤1}. 此時狀態變量的準確值為

y（x）=sin（πx1）sin（πx2）-yg

其中yg為問題 “-Δyg=g，在Ω里；yg=0，在Ω的邊界Γ上的解”，函數g定義如下

g（x）=g（x1，x2）=uf-a，若uf

0，若a≤uf≤b，

uf-b，若uf>b.

其中uf=2π2sin（πx1）sin（πx2）.，yd=（4π4+1）sin（πx1）sin（πx2）-yg，p=-uf，a=3，b=15，u=max（a，min（b，p），

計算結果見下圖1和圖2中

圖1 左端為協調有限元計算結果的收斂階，右圖為非協調

有限元（最低階C-R元）計算結果的收斂階.

圖2 最低階Raviart-Thomas混合元計算結果的收斂階從圖中可以看出， 對控制、狀態、協態變量的協調非調有限元近似的收斂階都為， 最低階混和有限元近似收斂階為. 該數值例子與理論相符.

文中的結果告訴我們， 在最優性條件的基礎上，可以用不同的數值方法求解狀態方程和協態方程，并且收斂速度就是該方法的收斂速度. 此結果對企業及管理中遇到的控制問題的應用有很好的參考價值。

參考文獻：

[1]J.L. Lions， Optimal Control of Systems Governed by Partial Differential Equations， Springer- Verlag， Berlin， 1971.

[2]S.C. Brenner and L.R. Scott， The mathematical theory of finite element methods， Springer-Verlag， New York， 1994.

[3]C. Meyer and A. R？sch， Super-convergence properties of optimal control problems， SIAM Journal on Control and Optimization， Vol.43， No.3， 2004， 970-985.

基金項目：貴州省科技廳項目資助（黔科合[2011]2098）