數學猜想在數學教學運用中的幾種形式

林毓亮

摘 要：數學既要教證明，又要教猜想，將猜想引入數學教學之中，將有助于學生開闊視野、活躍思維、培養創新意識、促進能力的提高，雖然數學猜想是一種直覺判斷，但絕不是盲目亂猜，要猜得準，就要總結猜想方法，提高猜想能力。

關鍵詞：猜想方法 猜想能力 活躍思維

牛頓有句名言：“沒有大膽的猜想，就不可能有偉大的發明和發現。”猜想是人們依據已知事實和知識，對研究的問題和對象作出的一種預測性的判斷，數學猜想是學生不斷認識數學知識結構，完善知識系統，形成知識板塊的一種學習方法，又是解決數學問題、簡縮思維、優化解答的一種思想方法，它是一種極具創造性的思維活動。著名數學教育家波利亞也認為，要想成為一個好的數學家，首先必須是一個好的猜想家。并提出：“在數學教學中必須有猜想的地位”。

因此，教師不僅要鼓勵學生進行大膽猜想，使學生養成敢于猜想、勇于探索的思維習慣，更要教給他們一些猜想的規律和方法，使它們的猜想，猜之有“理”，猜之有“據”。

在數學解題中運用猜想對我們探索解題思路、開發智力，培養創造能力具有重要的意義。在探索數學解題過程中，主要有下列一些猜想形式：

1.歸納性猜想

歸納猜想是指運用歸納法，對研究對象或問題從一定數量的個例、特性上進行觀察分析，從而得出有關命題的形式、結論和方法的猜想。在中學數學中利用這種猜想，可發現和解決某些一般性的問題，其思維模式是：試驗—歸納—猜想.。

例1 已知數列，8·112·32，8·232·52。…8n（2n-1）2（2n+1）2。…求前n項和Sn.

解 先計算S1、S2、S3、S4得 S1=89，S2=89+169.25=2425，S3=2425+2425.49=4849，S4=4849+3249.81=8081.于是猜想得：Sn=（2n+1）2-1（2n+1）2.最后用數學歸納法證明這個猜想.

證明 對n用數學歸納法.

（1）當n=1時，S1=（2×1+1）2-1（2×1+1）2=89=a1命題成立.

（2）假設n=k時命題成立，即Sk=（2k+1）2-1（2k+1）2.

則當n=k+1時，∵ak+1=8（k+1）[2（k+1）-1]2[2（k+1）+1]2=8k+8（2k+1）2（2k+3）2

∴Sk+1=Sk+ak+1=（2k+1）2-1（2k+1）2+8k+8（2k+1）2（2k+3）2=[（2k+1）2-1]（2k+3）2+8k+8（2k+1）2（2k+3）2

=（4k2+4k+1）（4k2+12k+8）（2k+1）2（2k+3）2=（2k+1）2（4k2+12k+8）（2k+1）2（2k+3）2=（2k+3）2-1（2k+3）3

=[2（k+1）+1]2-1[2（k+1）+1]2.即當n=k+1時命題也成立.

∴對任意n∈N都有Sn=（2n+1）2-1（2n+1）2.

猜想在本題中起了很重要的作用，真正的學習存在于發現或解決問題的過程，通過對問題的觀察、猜想、論證的應用，可以達到發展智力和提高解決問題能力的目的。

2.類比性猜想

類比猜想是指運用類比的方法，比較兩個對象或問題的相似性，得出數學新命題或新方法的猜想.在中學教學中，用類比猜想，可由兩個命題中條件的相似，去猜想結論的相似；也可由兩個命題條件結論的相似，去猜想推論方法的相似；還可由兩個概念的相似，去猜想解題思路的相似.其思維的一般方式是：類比—聯想—猜想。

例2 求和cosx+2cos2x+3cos3x+…+ncosnx.

分析 注意到（sinx+sin2x+sin3x+…+sinnx）

=cosx+2cos2x+3cos3x+…+ncosnx.而sinx+sin2x+…sinnx可以與11·2+12·3+…+1n（n+1）=（1-12）+（12-13+…+（1n-1n+1）=1-1n+1相類比，由此作出猜想：設法把中的每一項也拆成兩項之差，正負項相消，問題可望得解.

解 設S=nk=1sin kx.兩邊同乘以2sinx2得

2S·sinx2=nk=12sin x2·sin kx=nk=1（cos2k-12x-cos2k+12x）

=cosx2-cos2n+12x=2sinnx2sinn+12x.從而S=sinnx2sinn+12xsinx2

對S求導可得下面結論.原式

=n（n+1）2，x=2kπ（k∈Z）

（n+1）cosnx-ncos（n+1）x-14sin2x2，x≠2kπ（k∈Z）

說明 很多問題，只要能抓住特點，通過直覺想象和判斷，大膽猜想，就能發現解題的方向和途徑。正如德國數學家康德所指出的：“每當理智缺乏可靠論證時，類比這個方法往往能指引我們前進。”恰當地運用類比猜想，可以巧妙地解決一些問題。

3.探索性猜想

探索猜想是指思維的主體依據已有的知識經驗，對研究的對象或問題作出逼近結論的方向性的猜想，并從此猜想出發，進行推理，若推理過程產生矛盾，則猜想錯誤，需重新猜想，通過多次探索修改，逐步增強其可靠性或合理性，中學數學中多被用來探求問題結論或解題方向。其思維模式是：猜想—修正—猜想。

例3 已知1a+1b+1c，abc≠0，求證1a3+1b3+1c3=1（a+b+c）3.

分析 本題的關鍵在于利用已知條件，而其中a、b、c是抽象的字母，為此，不妨用具體的數字來代替.

令a=1，b=2，則11+12+1c=11+2+c，得c=-1，-2.令a=3，b=4，則可得c=-3，-4.由此產生猜想：滿足已知條件1a+1b+1c=1a+b+c（abc≠0）的a、b、c中，至少兩個互為相反數.同時，上述試驗還給我們提供了猜想的方法是：把a、b看做已知數，解關于c的方1a+1b+1c=1a+b+c。可得c=-a或-b.此時不僅猜想被證實，整個題目也因猜想的證實而迎刃而解.更重要的是：在題設的條件下，要證的等式可推廣為：1a2n+1+1b2n+1+1c2n+1=1（a+b+c）2n+1（n∈N）.

4.結論

以上幾種是中學數學教學中最常用的猜想，綜上諸例，我們足以看出，猜想是解題過程中經常需要的一種想象形式，它對于學生深層次挖掘教材，激發學習興趣，拓展解題思路，獲取數學知識，培養直覺思維和創造思維至關重要。引導學生探索、猜想，是培養學生數學素養，數學思想方法的一條有效途徑，是培養創造性思維和創新意識的重要手段。因此，我們在教學中應經常鼓勵學生去大膽地猜想結論、猜想規律，大膽地猜想解法，然后再去驗證，使學生在不斷地猜想和驗證過程中，掌握和豐富數學知識。

當然，猜想也有局限性，特別是低年級學生，容易不加思索地亂猜，這就需要教師正確地引導，逐步培養他們在大膽猜想的同時，養成驗證的習慣。所以，在教學中還必須讓學生明確以下兩點：第一，這些猜想有時是不能截然劃分的；第二，數學猜想的結果不一定是正確的，它的正確性要經過邏輯論證。

總之，掌握數學猜想的規律和方法是數學教學中應予以加強的一項重要工作，它不僅可以提高學生的理解力，更有助于學生思維的發展和創造能力的提高。

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