高中數學解題中數形結合的巧妙應用

宋勇軍

數形結合思想，主要是借助數量和圖形之間的關系及其兩者之間的轉化解決數學問題的思想。高中數學中部分數量關系問題能夠轉化為圖形性質進行求解，也有部分圖形性質的問題能夠轉化成數量關系的形式來進行求解，利用數形結合求解的實質是將數學中直觀、形象的圖形通過某種關系和復雜、抽象的數學語言聯系起來，從而實現形象思維和抽象思維的有效結合，利用較為形象直觀的圖像對抽象概念做具體化、表象化的展示，達到化難為易，化繁為簡的解題效果。

一、數形結合思想

在數學教學中，抽象的代數式、函數解析式和方程是“數”的核心；幾何圖形和函數圖像則是“形”的代表。對于代數式，我們往往要了解其幾何或函數意義；對于幾何圖形和函數圖像，我們則需要求解其相關數量關系。在這個基礎上，我們可以將“數”與“形”結合起來，以達到“以形求數”或“以數化形”的目的。高中數學解題中對數形結合的應用，是將函數圖像應用于相應的解題過程中，以取得簡潔明晰的解題思路。

數形結合通過把人腦的形象思維與抽象思維結合起來，將復雜難懂的數學內容與直觀形象的函數圖像或幾何圖形等進行相互轉化，把復雜的問題變得簡單易懂，把抽象的問題變得具體可觀，從而順利解題。“數”和“形”反應了事物兩個方面的屬性，它們相當于一體兩面，只能以整體的形態出現。如果只是強調其中的一項，是沒有意義的。

二、數形結合思想在高中數學解題中的應用

1.循序漸進，培養學生數形結合思想

通過數形結合，可以有效避免數學教學中的枯燥性、問題的晦澀難懂，幫助高中生在數形的互相轉換中理解數學中蘊含的美，尋找到正確的學習方法，進而對數學產生濃厚的興趣，使學生學習數學的畏懼心理和厭學心態慢慢消失，進而變得積極主動，享受學習帶來的無限樂趣。對于高中生來講，領悟并應用數形結合的方法是需要一個過程的，教師在滲透時應堅持循序漸進，充分做好鋪墊和設計，幫助學生順利完成從數到形、從形到數的思維轉變，通過不斷地模仿和嘗試，逐漸體會到數形結合的優勢并在以后的學習中嘗試運用。

如：定義函數f（x）的圖像與直線x=a，x=b及x軸所圍成的圖形面積為函數f（x）在[a，b]上的面積，已知函數y=sinnx在[0，π]上的面積為

（N∈N*），求y=sin（3x-π）+1在[ ]上的面積。根據題中定義可得出下圖1中陰影部分為函數y=sin（3x-π）+1在[ ]上的面積，根據函數對稱性，所求面積既為下圖2中陰影部分面積。

圖1

圖2

圖3中陰影部分矩形的面積為：

（ ）×1=π，由已知可得，函數y=sin3x在[0， ]上的面積為 ，則圖2陰影部分面積為π+3。

2.對比應用，滲透數形結合思想的價值

數形結合理論并不是通過簡單的理論講解或者幾個例題講述就能夠完成教學任務的，需要學生在不斷地學習中反思生活并主動建構。學生自己通過不同方法的運用或者對比，可以更為直觀地體會到這種方法中蘊含的化繁為簡、化抽象為直觀的獨特之處，從而幫助學生對數形結合思想的認識自然深化。

如：已知（2，y1），（1，y2），（-1，y3），（-2，y4）均是y= 的圖象上的點，那么請比較y1和y3的大小。該題中，可以采用代入方法，分別求出各自的函數值，最后做比較，然而遇到自變量數值復雜的情況下，運算量自然加大，因而教師可以先指導學生利用代入法進行計算，然后畫出反比例函數y= 的草圖，這樣學生就會發現，四個點的位置全部非常直觀地顯示在草圖上了，可以比較容易地比較出四個點的大小。學生通過這個例子，能夠清楚地看到代入法和數形結合法的不同之處，并更為清晰地認識到數形結合的優勢，在以后的學習和解題中會更為積極主動地運用數形結合思想。

3.以形換數，用公式解決問題

在數學中，一些代數式在變形之后往往具有特殊的幾何意義，如比值，可以與斜率聯系起來；二元一次方程可以聯系到直線的截距。這樣的代數式就可以運用數形結合進行求解。

如：點P（x，y）是圓（x-2）2+ y2=3上的任意一點，求x-y的最值。假設x-y=b，則b就是x-y的值。x-y=b可變形為y=x-b，則-b就是直線y=x-b在y軸上的截距。如下圖所示，b1是x-y的最小值，b2是x-y的最大值。

通過上述解題可以得知，很多代數問題中一般都具有幾何背景，在解題的過程中，如果將具有數量關系的代數問題，設計出一個與之相關的幾何模型，然后巧妙合理使用幾何性質，能夠將試題中一些抽象的、復雜的數量問題變得簡單，能夠理清解題思路或者找出問題的答案。

此外，人的左半腦和右半腦特征不一，其中左半腦主要用于抽象的邏輯思維，而右半腦則用于形象思維，當二者互相補充時人體大腦才會更加健全和發達。在利用數形結合解題時，學生的左半腦和右半腦功能就得到了同時鍛煉，也就是說學生的抽象思維能力和形象思維能力獲得了同步發展，從而可以幫助學生從不同層次、不同角度、不同方位對問題進行思考，有助于多向思維的養成，也可以提高學生對于數學相關知識的記憶力及理解力，對于學生其他科目的學習也是大有裨益的。

三、結束語

數和形是數學研究中的兩個基本對象，數形結合是數學教學中的常用方法，也是最基本的數學思想方法之一。高中數學教師在數學教學中應充分認識到數形結合思想方法的優勢，結合學生的特點，在日常教學中不斷強化對數形結合思想的認識，讓學生在不斷地對比應用中更為深刻地體會到數形結合的思想價值，從而幫助學生更好的完成從形到數，從數到形的轉化，認識到數學問題的本質，進而推動高中生的抽象思維和形象思維的發展，使他們的思維水平達到一個新的高度。在促進他們學習的基礎上，增強他們的記憶力和理解力。

（作者單位：江蘇省如皋市搬經中學）

數形結合思想，主要是借助數量和圖形之間的關系及其兩者之間的轉化解決數學問題的思想。高中數學中部分數量關系問題能夠轉化為圖形性質進行求解，也有部分圖形性質的問題能夠轉化成數量關系的形式來進行求解，利用數形結合求解的實質是將數學中直觀、形象的圖形通過某種關系和復雜、抽象的數學語言聯系起來，從而實現形象思維和抽象思維的有效結合，利用較為形象直觀的圖像對抽象概念做具體化、表象化的展示，達到化難為易，化繁為簡的解題效果。

一、數形結合思想

在數學教學中，抽象的代數式、函數解析式和方程是“數”的核心；幾何圖形和函數圖像則是“形”的代表。對于代數式，我們往往要了解其幾何或函數意義；對于幾何圖形和函數圖像，我們則需要求解其相關數量關系。在這個基礎上，我們可以將“數”與“形”結合起來，以達到“以形求數”或“以數化形”的目的。高中數學解題中對數形結合的應用，是將函數圖像應用于相應的解題過程中，以取得簡潔明晰的解題思路。

數形結合通過把人腦的形象思維與抽象思維結合起來，將復雜難懂的數學內容與直觀形象的函數圖像或幾何圖形等進行相互轉化，把復雜的問題變得簡單易懂，把抽象的問題變得具體可觀，從而順利解題。“數”和“形”反應了事物兩個方面的屬性，它們相當于一體兩面，只能以整體的形態出現。如果只是強調其中的一項，是沒有意義的。

二、數形結合思想在高中數學解題中的應用

1.循序漸進，培養學生數形結合思想

通過數形結合，可以有效避免數學教學中的枯燥性、問題的晦澀難懂，幫助高中生在數形的互相轉換中理解數學中蘊含的美，尋找到正確的學習方法，進而對數學產生濃厚的興趣，使學生學習數學的畏懼心理和厭學心態慢慢消失，進而變得積極主動，享受學習帶來的無限樂趣。對于高中生來講，領悟并應用數形結合的方法是需要一個過程的，教師在滲透時應堅持循序漸進，充分做好鋪墊和設計，幫助學生順利完成從數到形、從形到數的思維轉變，通過不斷地模仿和嘗試，逐漸體會到數形結合的優勢并在以后的學習中嘗試運用。

如：定義函數f（x）的圖像與直線x=a，x=b及x軸所圍成的圖形面積為函數f（x）在[a，b]上的面積，已知函數y=sinnx在[0，π]上的面積為

（N∈N*），求y=sin（3x-π）+1在[ ]上的面積。根據題中定義可得出下圖1中陰影部分為函數y=sin（3x-π）+1在[ ]上的面積，根據函數對稱性，所求面積既為下圖2中陰影部分面積。

圖1

圖2

圖3中陰影部分矩形的面積為：

（ ）×1=π，由已知可得，函數y=sin3x在[0， ]上的面積為 ，則圖2陰影部分面積為π+3。

2.對比應用，滲透數形結合思想的價值

數形結合理論并不是通過簡單的理論講解或者幾個例題講述就能夠完成教學任務的，需要學生在不斷地學習中反思生活并主動建構。學生自己通過不同方法的運用或者對比，可以更為直觀地體會到這種方法中蘊含的化繁為簡、化抽象為直觀的獨特之處，從而幫助學生對數形結合思想的認識自然深化。

如：已知（2，y1），（1，y2），（-1，y3），（-2，y4）均是y= 的圖象上的點，那么請比較y1和y3的大小。該題中，可以采用代入方法，分別求出各自的函數值，最后做比較，然而遇到自變量數值復雜的情況下，運算量自然加大，因而教師可以先指導學生利用代入法進行計算，然后畫出反比例函數y= 的草圖，這樣學生就會發現，四個點的位置全部非常直觀地顯示在草圖上了，可以比較容易地比較出四個點的大小。學生通過這個例子，能夠清楚地看到代入法和數形結合法的不同之處，并更為清晰地認識到數形結合的優勢，在以后的學習和解題中會更為積極主動地運用數形結合思想。

3.以形換數，用公式解決問題

在數學中，一些代數式在變形之后往往具有特殊的幾何意義，如比值，可以與斜率聯系起來；二元一次方程可以聯系到直線的截距。這樣的代數式就可以運用數形結合進行求解。

如：點P（x，y）是圓（x-2）2+ y2=3上的任意一點，求x-y的最值。假設x-y=b，則b就是x-y的值。x-y=b可變形為y=x-b，則-b就是直線y=x-b在y軸上的截距。如下圖所示，b1是x-y的最小值，b2是x-y的最大值。

通過上述解題可以得知，很多代數問題中一般都具有幾何背景，在解題的過程中，如果將具有數量關系的代數問題，設計出一個與之相關的幾何模型，然后巧妙合理使用幾何性質，能夠將試題中一些抽象的、復雜的數量問題變得簡單，能夠理清解題思路或者找出問題的答案。

此外，人的左半腦和右半腦特征不一，其中左半腦主要用于抽象的邏輯思維，而右半腦則用于形象思維，當二者互相補充時人體大腦才會更加健全和發達。在利用數形結合解題時，學生的左半腦和右半腦功能就得到了同時鍛煉，也就是說學生的抽象思維能力和形象思維能力獲得了同步發展，從而可以幫助學生從不同層次、不同角度、不同方位對問題進行思考，有助于多向思維的養成，也可以提高學生對于數學相關知識的記憶力及理解力，對于學生其他科目的學習也是大有裨益的。

三、結束語

數和形是數學研究中的兩個基本對象，數形結合是數學教學中的常用方法，也是最基本的數學思想方法之一。高中數學教師在數學教學中應充分認識到數形結合思想方法的優勢，結合學生的特點，在日常教學中不斷強化對數形結合思想的認識，讓學生在不斷地對比應用中更為深刻地體會到數形結合的思想價值，從而幫助學生更好的完成從形到數，從數到形的轉化，認識到數學問題的本質，進而推動高中生的抽象思維和形象思維的發展，使他們的思維水平達到一個新的高度。在促進他們學習的基礎上，增強他們的記憶力和理解力。

（作者單位：江蘇省如皋市搬經中學）

數形結合思想，主要是借助數量和圖形之間的關系及其兩者之間的轉化解決數學問題的思想。高中數學中部分數量關系問題能夠轉化為圖形性質進行求解，也有部分圖形性質的問題能夠轉化成數量關系的形式來進行求解，利用數形結合求解的實質是將數學中直觀、形象的圖形通過某種關系和復雜、抽象的數學語言聯系起來，從而實現形象思維和抽象思維的有效結合，利用較為形象直觀的圖像對抽象概念做具體化、表象化的展示，達到化難為易，化繁為簡的解題效果。

一、數形結合思想

在數學教學中，抽象的代數式、函數解析式和方程是“數”的核心；幾何圖形和函數圖像則是“形”的代表。對于代數式，我們往往要了解其幾何或函數意義；對于幾何圖形和函數圖像，我們則需要求解其相關數量關系。在這個基礎上，我們可以將“數”與“形”結合起來，以達到“以形求數”或“以數化形”的目的。高中數學解題中對數形結合的應用，是將函數圖像應用于相應的解題過程中，以取得簡潔明晰的解題思路。

數形結合通過把人腦的形象思維與抽象思維結合起來，將復雜難懂的數學內容與直觀形象的函數圖像或幾何圖形等進行相互轉化，把復雜的問題變得簡單易懂，把抽象的問題變得具體可觀，從而順利解題。“數”和“形”反應了事物兩個方面的屬性，它們相當于一體兩面，只能以整體的形態出現。如果只是強調其中的一項，是沒有意義的。

二、數形結合思想在高中數學解題中的應用

1.循序漸進，培養學生數形結合思想

通過數形結合，可以有效避免數學教學中的枯燥性、問題的晦澀難懂，幫助高中生在數形的互相轉換中理解數學中蘊含的美，尋找到正確的學習方法，進而對數學產生濃厚的興趣，使學生學習數學的畏懼心理和厭學心態慢慢消失，進而變得積極主動，享受學習帶來的無限樂趣。對于高中生來講，領悟并應用數形結合的方法是需要一個過程的，教師在滲透時應堅持循序漸進，充分做好鋪墊和設計，幫助學生順利完成從數到形、從形到數的思維轉變，通過不斷地模仿和嘗試，逐漸體會到數形結合的優勢并在以后的學習中嘗試運用。

如：定義函數f（x）的圖像與直線x=a，x=b及x軸所圍成的圖形面積為函數f（x）在[a，b]上的面積，已知函數y=sinnx在[0，π]上的面積為

（N∈N*），求y=sin（3x-π）+1在[ ]上的面積。根據題中定義可得出下圖1中陰影部分為函數y=sin（3x-π）+1在[ ]上的面積，根據函數對稱性，所求面積既為下圖2中陰影部分面積。

圖1

圖2

圖3中陰影部分矩形的面積為：

（ ）×1=π，由已知可得，函數y=sin3x在[0， ]上的面積為 ，則圖2陰影部分面積為π+3。

2.對比應用，滲透數形結合思想的價值

數形結合理論并不是通過簡單的理論講解或者幾個例題講述就能夠完成教學任務的，需要學生在不斷地學習中反思生活并主動建構。學生自己通過不同方法的運用或者對比，可以更為直觀地體會到這種方法中蘊含的化繁為簡、化抽象為直觀的獨特之處，從而幫助學生對數形結合思想的認識自然深化。

如：已知（2，y1），（1，y2），（-1，y3），（-2，y4）均是y= 的圖象上的點，那么請比較y1和y3的大小。該題中，可以采用代入方法，分別求出各自的函數值，最后做比較，然而遇到自變量數值復雜的情況下，運算量自然加大，因而教師可以先指導學生利用代入法進行計算，然后畫出反比例函數y= 的草圖，這樣學生就會發現，四個點的位置全部非常直觀地顯示在草圖上了，可以比較容易地比較出四個點的大小。學生通過這個例子，能夠清楚地看到代入法和數形結合法的不同之處，并更為清晰地認識到數形結合的優勢，在以后的學習和解題中會更為積極主動地運用數形結合思想。

3.以形換數，用公式解決問題

在數學中，一些代數式在變形之后往往具有特殊的幾何意義，如比值，可以與斜率聯系起來；二元一次方程可以聯系到直線的截距。這樣的代數式就可以運用數形結合進行求解。

如：點P（x，y）是圓（x-2）2+ y2=3上的任意一點，求x-y的最值。假設x-y=b，則b就是x-y的值。x-y=b可變形為y=x-b，則-b就是直線y=x-b在y軸上的截距。如下圖所示，b1是x-y的最小值，b2是x-y的最大值。

通過上述解題可以得知，很多代數問題中一般都具有幾何背景，在解題的過程中，如果將具有數量關系的代數問題，設計出一個與之相關的幾何模型，然后巧妙合理使用幾何性質，能夠將試題中一些抽象的、復雜的數量問題變得簡單，能夠理清解題思路或者找出問題的答案。

此外，人的左半腦和右半腦特征不一，其中左半腦主要用于抽象的邏輯思維，而右半腦則用于形象思維，當二者互相補充時人體大腦才會更加健全和發達。在利用數形結合解題時，學生的左半腦和右半腦功能就得到了同時鍛煉，也就是說學生的抽象思維能力和形象思維能力獲得了同步發展，從而可以幫助學生從不同層次、不同角度、不同方位對問題進行思考，有助于多向思維的養成，也可以提高學生對于數學相關知識的記憶力及理解力，對于學生其他科目的學習也是大有裨益的。

三、結束語

數和形是數學研究中的兩個基本對象，數形結合是數學教學中的常用方法，也是最基本的數學思想方法之一。高中數學教師在數學教學中應充分認識到數形結合思想方法的優勢，結合學生的特點，在日常教學中不斷強化對數形結合思想的認識，讓學生在不斷地對比應用中更為深刻地體會到數形結合的思想價值，從而幫助學生更好的完成從形到數，從數到形的轉化，認識到數學問題的本質，進而推動高中生的抽象思維和形象思維的發展，使他們的思維水平達到一個新的高度。在促進他們學習的基礎上，增強他們的記憶力和理解力。

（作者單位：江蘇省如皋市搬經中學）