Weitzenb?ck公式的一點注記

殷煒棟

（浙江科技學院 理學院，杭州310023）

1 引 言

在黎曼幾何里，Weitzenb?ck公式有很廣泛的應用。它的特殊形式

在證明Li－Yau梯度估計時起了非常重要的作用［1］；最近它也被推廣到了Finsler幾何中去［2］。從上面公式可以看到曲率對調(diào)和形式的影響，而且由Hodge定理，又可以從調(diào)和形式得到流形整體的拓撲性質(zhì)［3］。它在黎曼幾何中的一般形式可以敘述成如下定理［4－5］：

定理1 如果ei是流形Mn上局部規(guī)范正交標架場，ei是其對偶標架場，i＝1，2…n，ω∈Ωp（M）是M上的p次微分形式，那么

式（1）中：ΔH＝dδ＋δd是Hodge Laplacian算子是Rough Laplacian算子；ei·ej是Clifford乘積；［ei·ej，R（ei，ej）ω］＝ei·ej·R（ei，ej）ω－R（ei，ej）ω·ei·ej是交換子。

2 主要結果

接下去將導出定理1在一般局部正交規(guī)范標架場中不帶Clifford乘積的計算公式，這在一般的計算中更熟悉。于是有：

定理2 如果ei是流形Mn上局部規(guī)范正交標架場，ei是其對偶標架場，i＝1，2…n，ω∈Ωp（M）是M上的p次微分形式，那么

備注：定理1用Clifford乘積的一個好處是，Weitzen?ck公式可以進一步推廣到Spin Geometry中去［6］。

在給出證明前，先約定使用的符號：g表示黎曼度量；R表示曲率算子，即

R（ei，ej）ek＝Rmijkem，〈R（ei，ej）ek，el〉＝ 〈Rmijkem，el〉＝Rmijkgml＝Rijlk，Ril＝Ricil＝gjkRijlk。首先證明引理1。

引理1 ρω定義如前，那么

即可。利用Clifford乘積的定義［4］直接計算，有

這就完成了定理2的證明。

3 應 用

最后再看一下定理2的一個簡單應用。如果有一個常曲率K＞0的閉黎曼流形（緊致無邊）（Mn，g），那么有

特別地，當｛?i｝是規(guī)范正交標架時，有

應用上面的結論，有

所以當ω是調(diào)和形式時，有

所以重新得到如下結論：

定理3 如果（Mn，g）是n維常曲率K＞0的閉流形（緊致無邊），ω∈Ωp（M）是M 上的p次調(diào)和形式，其中p＝1，2…n－1，那么ω≡0。

當然從上面的證明里面可以看到，當p＝0或p＝n時，上面的方法行不通。事實上，當然也存在非零的0次和n次調(diào)和形式。關于定理3更一般的結論可以參考文獻［4］。

［1］ Li P，Yau S T．Estimates of eigenvalues of a compact Riemannian manifold［C］∥Alan W，Robert O．Geometry of the Laplace Operator，Proceedings of Symposia in Pure Mathematics．Providence，Rhode Island：American Mathematical Society，1980，36：205－239．

［2］ Ohta S，Sturm K T．Bochner－Weitzenb?ck formula and Li－Yau estimates on Finsler manifolds［J］．Advances in Mathematics．2014，252：429－448．

［3］ Wu H H．The Bochner Technique in Differential Geometry，Mathematical Reports：vol．3，part 2［M］．London：Harwood Academic Publishers，1988．

［4］ Petersen P．Riemannian Geometry［M］．New York：Springer－Verlag，1998．

［5］ 伍鴻熙，沈純理，虞言林．黎曼幾何初步［M］．北京：北京大學出版社，2003．

［6］ Lawson H B，Michelsohn M L．Spin Geometry［M］．Princeton：Princeton University Press，1989．